Notion de suite de fonctions: notation (f_n) et pas f_n, definies sur un intervalle de R et a valeurs dans R ou C
CVS, CVU, exemples
La limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue
Integration sur un intervalle ferme borne pour une suite de fonctions continues qui CVU
Exemples: x → x^n, x → x e^{x/n}, et fonctions triangles sur [0,1], dont les bases tendent vers 0 et les hauteurs vers l'infini.
Critere de Cauchy uniforme comme reformulation de la convergence uniforme
2eme seance (26 janvier, 3h):
Theoreme de convergence dominee (admis), en se limitant a des suites de fonctions continues, et un majorant continu.
Theoreme sur les suites de fonctions C^1: si (f_n(x_0)) converge pour un certain x_0 et si (f'_n) CVU, alors (f_n) CVU.
Theoreme de Weierstrass: approximation uniforme des fonctions continues sur les intervalles fermes bornes par des polynomes. Preuve avec les polynomes de Bernstein.
Debut du chapitre 2 sur les series de fonctions: CVS, CVA, CVU, CVN, et liens entre ces notions.
3eme seance (2 fevrier, 3h):
Suite du chapitre 2 sur les series de fonctions: l'exemple de x → (-1)^n/(x + n) sur R_+ pour illustrer les differences entre les diverses notions de convergence.
Proprietes qui decoulent du chapitre 1: (1) limite uniforme d'une serie de fonctions continues, (2) integration terme a terme sur un intervalle ferme borne pour une serie de fonctions qui CVU. (3) Soit une serie de fonctions de terme general f_n avec f_n C^1 pour tout n. On suppose que la serie de terme general f_n(x_0) converge pour un certain x_0, et on suppose que la serie des derivees CVU sur un intervalle ferme borne. Alors la serie de terme general f_n CVU sur cet intervalle, la somme est C^1, et la derivee de la somme est la somme des derivees.
Debut du chapitre 3 sur les series entieres: definition du rayon de convergence et exemples.
4eme seance (9 fevrier, 3h):
Suite du chapitre 3: Lemme: le rayon de CV est le sup des r dans R_+ tels que (a_n r^n) tend vers 0.
Calcul du rayon de CV: criteres de d'Alembert et Cauchy.
CVN dans toute boule fermee a l'interieur du disque ouvert de convergence, DV a l'exterieur du disque ferme de convergence. Exemples pour montrer que toutes les situations sont possibles au bord du disque de convergence.
Operations sur les series entieres: somme et produit de Cauchy.
Regularite (sur R): on utilise les theoremes sur les suites de fonctions et la CVN dans toute boule fermee a l'interieur du disque ouvert de convergence. En particulier: la somme d'une serie entiere est C^\infty dans le disque ouvert de convergence.
Principe des zeros isoles.
Exercice sur les suites de fonctions: Soit (f_n) une suite de fonctions toutes definies sur un intervalle ferme borne et toutes K-Lipschitziennes sur cet intervalle (la meme constante de Lipschitz pour toutes les fonctions). Alors (f_n) CVS implique (f_n) CVU.
5eme seance (23 fevrier, 1h30):
Suite du chapitre 3: notion de fonction developpable en serie entiere (DSE).
Conditions necessaires pour qu'une fonction soit DSE: regularite, rayon de convergence de sa serie de Taylor.
Fonctions plateaux.
Exemple d'une fonction C^infini dont la serie de Taylor est identiquement nulle. Donc DSE est strictement inclus dans C^infini.
Enonce du theoreme de Borel: l'application qui a une fonction C^infini associe la suite des coefficients de sa serie de Taylor est surjective sur l'ensemble des suites complexes.
6eme seance (16 mars, 3h):
Suite du chapitre 3: preuve du theoreme de Borel.
Fin du chapitre 3: Developpements en serie entieres de fonctions usuelles: exp, cos, sin ch, sh, 1/(1-x), ln(1 - x), ln(1 + x), (1 + x)^alpha, par majoration du reste de Taylor sous forme integral.
Chapitre 4: integrales dependantes d'un parametere. Theoreme 1: continuite sous le signe integral. Theorem 2: derivabilite sous le signe integral. Exemple: fonction Gamma.
7eme seance (23 mars, 1h30):
Fin du chapitre 4: l'exemple de la fonction Gamma.
Debut du chapitre 5: integrales dans R^2 et R^3. Domaines de R^2 (dits domaines ``simples“) sur lesquels on definit une integrale: collection de segments horizontaux, ou collection de segments verticaux. Coherence des definitions.
8eme seance (30 mars, 1h30):
Fin du chapitre 5: exemple de calcul d'integrale dans R^2. Domaines de R^3 sur lesquels on definit une integrale: graphe au-dessus d'un domaine simple de R^2, ou famille de domaines simples parametres par une coordonee de l'espace. Exemple de calcul.
Debut du chapitre 6: Theoreme d'inversion locale.
9eme seance (20 avril, 1h30):
Fin du chapitre 6: notion de C^1-diffeomorphisme. Theoreme de changement de variables. Exemple des changements de variables en coordonnees polaires, cylindriques, spheriques. Exemple de calcul d'integrale dans R^3 avec des coordonnées sphériques.
