Analyse 2 et Algèbre 2 — Cursus prépa

• Colles : la moyenne est faite sur les quatre meilleures notes.
• DS : pour les P2-P5, la moyenne est faite sur les trois meilleures notes ; pour les P1, la moyenne est faite sur les six meilleures notes.
• Examen : une épreuve pour Analyse 2, une épreuve pour Algèbre 2.
• Note finale Analyse 2 : 40 % colles, 30 % DS, 30 % examen Analyse 2.
• Note finale Algèbre 2 : 40 % colles, 30 % DS, 30 % examen Algèbre 2.

• Programme : pour chaque colle, tout ce qui aura été fait jusqu'à la semaine précédente.
• Début des colles : la semaine du 23 janvier.
• Colloscope : ici.

Enseignant : François Lê

Les démonstrations indiquées comme “à connaître” sont celles qui peuvent être demandées en colle.

• 18/01 : Début du chapitre sur o, O, ~ et formules de Taylor. Dans ce chapitre, les fonctions sont en général supposées ne pas s'annuler au voisinage des points considérés. Sauf cas exceptionnel, toutes les propriétés relatives aux o, O et ~ sont prouvées avec des quotients de fonctions. Définitions et exemples de o et O. Si f=o(h) et g=o(h), alors f+g=o(h) et λf=o(h). Si f=o(h), alors fg=o(hg) et f/g=o(h/g). Reformulation du théorème des croissances comparées avec des o. Si f est dérivable en a, alors f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a). Formule de Taylor-Young. Formule et inégalité de Taylor-Lagrange. Exemples. Formule de Taylor avec reste intégral (admise pour le moment). Démos à connaître : Si f=o(h) et g=o(h), alors f+g=o(h) et λf=o(h). Si f est dérivable en a, alors f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a).
• 19/01 : Définition de f~g, exemples. f~g ssi f=g+o(g). La relation ~ est une relation d'équivalence. Multiplication et division d'équivalents, exponentiation par n entier, par α réel si les fonctions sont à valeurs >0. Contre-exemples pour l'addition et pour la composition par l'exponentielle. Si f~g et g tend vers l, alors f tend vers l. Si f~g alors f et g ont même signe au voisinage de a. Équivalents usuels : polynômes, e^x-1, ln(1+x), sin x, tan x, sh x, Arcsin x, Arctan x, (1+x)^α-1, cos x - 1, ch x - 1. Début du chapitre sur les DL : définitions, unicité de la partie régulière. DL usuels : (1+x)^α, √(1+x), 1/(1-x). Démos à connaître : Si f~g alors f et g ont même signe au voisinage de a. Exemples de f, g, h, k telles que f~g et h~k mais f+h non ~ g+k ; telles que f~g mais exp(f) non ~ exp(g).
• 25/01 : DL usuels : exp, cos, sin, ch, sh, ln(1+x), arctan. Troncage d'un DL. Si f a un DL_n(0) avec une partie principale non nulle, alors f(x)~terme de plus bas degré. Si f(x)=a_0+a_1x+…+o(x^n) avec n>0, alors a_0 = limite de f en 0 et, si f est continue en 0, alors elle est dérivable en 0 avec f'(0)=a_1. Exemples de fonctions ayant un DL_2 mais n'étant pas deux fois dérivable en 0. Opérations sur les DL (règles énoncées et admises ; traitées sur des exemples) : combinaisons linéaires, produit. Composition de DL, quotients (uniquement par composition dans ce cours, pas de division selon les puissances croissantes). Exemples de DL en un réel ≠0, en ∞, exemples de DL asymptotiques. Démo à connaître : Si f(x)=a_0+a_1x+…+o(x^n) avec n>0, alors a_0 = limite de f en 0 et, si f est continue en 0, alors elle est dérivable en 0 avec f'(0)=a_1.
• 26/01 : Étude locale d'une fonction ayant un DL d'ordre >1 : prolongement par continuité, dérivabilité, équation de la tangente en 0, position du graphe par rapport à cette tangente. Extension des o, O, ~, DL au cas des suites. Début du chapitre sur les fractions rationnelles : définition, somme, produit, notion de représentant. Représentants irréductibles (caractérisés par le degré minimal du dénominateur, non nécessairement unitaire). Zéros et pôles, leur multiplicité. Fonction associée à une fraction rationnelle. Degré : définition, propriétés deg(F+G)≤max(deg F, deg G), deg(FG)=deg(F)+deg(G) (la première est admise). Partie entière : toute fraction F s'écrit de manière unique F=E+G avec E polynôme et G fraction de degré <0. Si une fraction F a un pôle a de multiplicité m, alors F est somme de termes λ_i/(X-a)^i et de G qui n'a pas de pôle en a ; si F=P/Q avec Q=(X-a)^mQ_1, alors λ_m=P(a)/Q_1(a). Démo à connaître : toute fraction F s'écrit de manière unique F=E+G avec E polynôme et G fraction de degré <0.
• 01/02 : Cas d'un pôle simple a de P/Q : λ_1 = P(a)/Q'(a). Décomposition en éléments simples dans le cas d'un dénominateur scindé (admis). Exemples de calculs de DES. Pas de démo à connaître cette fois.
• 02/02 : DES sur R, exemples. Calcul des coefficients par DL. Début du chapitre sur les matrices : définition générale, matrice-ligne, matrice-colonne, matrice nulle, matrice identité. Matrices diagonales, triangulaires. Transposée, matrices symétriques et antisymétriques. Structure d'espace vectoriel. Matrices de la base canonique, décomposition unique de toute matrice en combinaison linéaire de ces dernières. Linéarité et involutivité de la transposition. Produit de deux matrices : définition, exemples. Démo à connaître : linéarité et involutivité de la transposition.
• 08/02 : Produit de deux matrices : associativité, bilinéarité. Matrices qui commutent. Transposée d'un produit. Puissances d'une matrice carrée, cas des matrices triangulaires et diagonales. Formule du binôme. Inversibilité d'une matrice carrée : A inversible ssi il existe B tel que AB=BA=I. Remarque : plus tard, on verra que si AB=I, alors BA=I aussi. I est inversible, 0 non. Pas de démo à connaître pour cette séance.
• 09/02 : Si A est inversible, alors A^{-1} aussi et (A^{-1})^{-1}=A ; si de plus B est inversible, alors AB aussi et (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} ; pour tout m positif, A^m est inversible et (A^m)^{-1}=(A^{-1})^m. Inverse de la transposée de A. On peut simplifier une égalité par A si elle est inversible. Si une matrice possède une ligne ou une colonne nulle, elle n'est pas inversible. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, interprétation comme produit par les matrices élémentaires correspondantes. Matrices équivalentes en lignes, en colonnes. Si une ligne ou une colonne d'une matrice est combinaison linéaire des autres, elle n'est pas inversible. Matrices échelonnées (en lignes, en colonnes) et échelonnées-réduites. Algorithme du pivot de Gauss (non démontré, mais expliqué sur des exemples). Une matrice carrée est inversible ssi elle est équivalente en lignes ou en colonnes à I. Calcul de l'inverse d'une matrice par l'algorithme de Gauss. Démo à connaître : Si A est inversible, alors A^{-1} aussi et (A^{-1})^{-1}=A ; si de plus B est inversible, alors AB aussi et (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} ; pour tout m positif, A^m est inversible et (A^m)^{-1}=(A^{-1})^m.
• 22/02 : Matrices et systèmes linéaires : pendant cette séance, tout a été fait sur des exemples ; aucun résultat impliquant dimension ou rang n'a été donné. Interprétation matricielle d'un système linéaire (homogène ou non), résolution en calculant la matrice échelonnée-réduite. “Noyau” d'une matrice. “Base” de l'ensemble des solutions / du noyau, au sens où tout élément s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de la base. Indiqué sans démonstration : la technique de passer par une matrice échelonnée-réduite et d'exprimer les inconnues correspondant aux pivots en fonction des autres donne toujours une base. Pas de démonstration à connaître.
• 23/02 : Si A est carrée, alors A est inversible ssi l'équation AX=0 possède 0 comme unique solution ssi pour tout Y, l'équation AX=Y possède une unique solution, alors donnée par A^{-1}Y. Conditions de compatibilité d'un système avec second membre : fait sur un exemple. Début du chapitre sur l'intégrale de Riemann. Fonctions en escalier, leur intégrale. Définition d'une fonction continue par morceaux (C°m). Toute fonction C°m sur un segment est bornée. L'ensemble des fonctions C°m est stable par combinaison linéaire. Approximation des fonctions C°m sur un segment par des fonctions en escalier. Démo à connaître : toute fonction C°m sur un segment est bornée.
• 01/03 : Définition de l'intégrabilité d'une fonction bornée sur une segment, au sens de Riemann. Caractérisation via les fonctions en escaliers. Les fonctions C°m sont intégrables. Linéarité de l'intégrale. L'intégrale d'une fonction C°m à valeurs positives est positive. Cas des fonctions continues positives d'intégrale nulle (idée de démonstration donnée ; sera fait complètement en TD). Pas de démo à connaître dans cette partie du cours.
• 02/03 : Croissance. Inégalité triangulaire. Égalité de la moyenne. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Relation de Chasles. Définition de . Adaptation à cette notation des propriétés précédentes (croissance, inégalité triangulaire, relation de Chasles). Sommes de Riemann : cas d'une fonction continue, partage équidistribué du segment d'intégration, points quelconques dans les sous-segments du partage (cas particuliers et exemples : la prochaine fois). Démo à connaître : Inégalité de Cauchy-Schwarz.
• 08/03 : Le CM a exceptionnellement été transformé en séance de soutien.
• 09/03 : Cas particuliers des sommes de Riemann : rectangles s'appuyant sur les bornes des sous-segments. Exemples. Théorème fondamental de l'analyse : si f est continue sur un intervalle I, si et , alors F est dérivable sur I et F'=f. Existence et unicité d'une primitive ayant une valeur donnée en un point donné. Lien entre calcul d'intégrales et primitives. Primitives usuelles, y compris sh, ch et 1/(a^2+x^2). Changement de variable si φ:[α,β]→[a,b] de classe C1 et telle que φ(α)=a et φ(β)=b, alors . Exemples. Démos à connaître : théorème fondamental de l'analyse ; changement de variable.
• 15/03 : Règles de Bioche (non exigibles). Intégration par parties (avec hypothèse que u et v sont C1). Formule de Taylor avec reste intégral. Brève extension aux fonctions à valeurs complexes. Exemples de tout cela ; énoncés des techniques de calculs de primitives de fractions rationnelles, polynômes et fractions rationnelles trigonométriques (illustrés en TD). Début du chapitre sur les espaces vectoriels. Axiomes d'ev.
• 16/03 : Exemples usuels d'ev, règles de calcul. Définition de “colinéaire” et de “combinaison linéaire”. Sous-espaces vectoriels : définition et caractérisations. Exemples : sev triviaux, droites vectorielles, un exemple de plan dans R^2, K_n[X], les matrices symétriques et antisymétriques, les fonctions de classe C^n, les suites convergentes, les suites définies par relation de récurrence linéaire d'ordre 2. L'intersection d'une famille de sev est un sev. Contre-exemple pour la réunion. Sev engendré par une partie A : c'est le plus petit sev contenant A, noté Vect(A). Cas où A est un sev, où A est vide. Si A non vide, Vect(A) est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A. Si F est un sev et les x_i appartiennent à F, alors Vect(x_i) est inclus dans F. Démo à connaître : l'intersection d'une famille de sev est un sev + contre-exemple pour la réunion de deux sev.
• 22/03 : Somme de F et G : définition, c'est un sev de E, et plus précisément le sev engendré par la réunion de F et G. Si F=Vect(x_i) et G=Vect(y_j), alors F+G=Vect(x_i,y_j). Somme directe : définition. La somme F+G est directe ssi l'intersection de F et G est réduite à 0. Si F est un sev de E et si a est un vecteur qui n'est pas dans F, alors F+Vect(a) est directe. Sous-espaces supplémentaires : définition, un exemple dans R^2, l'exemple des matrices symétriques et antisymétriques dans M_n(R). Somme de n sev, somme directe, supplémentaires (ces notions pour n sev sont surtout pour l'année prochaine). Familles liées : définition, exemple. Démos à connaître : F+G est un sev de E, et c'est plus précisément le sev engendré par la réunion de F et G. Une somme F+G est directe ssi l'intersection de F et G est réduite à 0.
• 23/03 : Une famille est liée ssi un de ses vecteurs (au moins) est combinaison linéaire des autres. Si une famille est liée, tout famille qui la contient est liée. Le vecteur nul forme une famille liée. Familles libres : définition seulement dans le cas de familles finies, exemples (dans R^3, dans l'espace des fonctions réelles ; une famille de polynômes de degrés strictement croissants (laissé en exercice). Cas des familles de deux vecteurs. Les combinaisons linéaires d'éléments d'une famille libre ont des coefficients uniques. Toute sous-famille d'une famille libre est libre. Une famille formée d'un vecteur est libre ssi ce vecteur est non nul. Si (x_1,…,x_n) est libre et si y est un vecteur, alors (x_1,…,x_n,y) est libre ssi y n'est pas combinaison linéaire de x_1,…,x_n. Familles génératrices, bases : définitions, notion de coordonnées dans une base. Bases canoniques de K^n, de M_np(K), de K_n[X]. Une famille est une base ssi c'est une famille libre maximale, ssi c'est une famille génératrice minimale. Espace de dimension finie : définition. Lemme : si p+q vecteurs sont combinaisons linéaires de p vecteurs (p,q>0), alors ils forment une famille liée. Si (x_1,…,x_p) est une famille génératrice de E, toute famille libre de vecteurs de E possède au plus p éléments. Tout ev non nul de dimension finie possède une base. Toutes les bases ont le même nombre de vecteurs, appelé dimension de E. Dimension de K^n, de M_np(K), de K_n[X] ; K[X] n'est pas de dimension finie. Dimension de l'espace des solutions d'un système linéaire : pas de théorie générale, mais explications sur comment faire dans les cas concrets. Un sous-espace défini par une équation linéaire non triviale est de dimension n-1. Suites linéaires récurrentes d'ordre 2. Démos : Une famille est liée ssi un de ses vecteurs (au moins) est combinaison linéaire des autres. Si (x_1,…,x_n) est libre et si y est un vecteur, alors (x_1,…,x_n,y) est libre ssi y n'est pas combinaison linéaire de x_1,…,x_n.
• 29/03 : Dans un espace de dimension n, toute famille libre (resp. génératrice) a au plus (resp. au moins) n vecteurs, et si elle en a n, c'est une base. Théorème de la base incomplète. Si F est un sev d'un ev E de dimension n, alors F est de dimension finie p ≤ n, et si p=n alors F=E. Corollaire : pour montrer que F=G, il suffit de montrer que F est inclus dans G et que dim(F)=dim(G). Formule de Grassmann : énoncé et début de démonstration. F et G sont en somme directe ssi dim(F)+dim(G)=dim(F+G). Analogue pour une somme de plusieurs sev (admis). F et G sont supplémentaires dans E ssi dim(F)+dim(G)=dim(E) et , ssi dim(F)+dim(G)=dim(E) et F+G=E. Tout sev d'un ev de dimension finie admet un supplémentaire. Si F et G sont supplémentaires dans E, on obtient une base de E en réunissant une base de F et une base de G. Démo à connaître : F et G sont supplémentaires dans E ssi dim(F)+dim(G)=dim(E) et $F\cap G = \{ 0\}$, ssi dim(F)+dim(G)=dim(E) et F+G=E.
• 30/03 : Point de vue matriciel : dans K^n, pour trouver une base d'un espace engendré par plusieurs vecteurs, on peut écrire ces vecteurs en tant que colonne d'une matrice et échelonner celle-ci en colonnes : une base est donnée par les colonnes non nulles de la matrice échelonnée. Cas d'un autre espace : idem en mettant en colonne les coordonnées des vecteurs dans une base donnée (seulement expliqué sur un exemple avec des polynômes ; la théorie sera faite au chapitre sur les applications linéaires). Début du chapitre sur les équations différentielles linéaires. Définitions générales. Cas d'une équation homogène y'+a(x)y=0 avec a continue sur un intervalle I, à valeurs dans K=R ou C. L'ensemble des solutions est un sev de C^1(I,K). Les solutions sont les fonctions , où A est une primitive de a sur I. Exemples. Cas d'une équation complète y'+a(x)y=b(x), avec a et b continues sur I. Les solutions s'obtiennent en ajoutant une solution particulière à la solution générale de l'équation homogène. Si b=b_1+b_2, une solution particulière s'obtient en ajoutant une solution particulière de y'+a(x)y=b_1(x) à une solution particulière de y'+a(x)=b_2(x). Principe de variation de la constante. Unicité de la solution vérifiant une condition initiale. Exemples. Exemples de recherche de solutions d'équations singulières (aucune théorie sur ce point) : xy'-2y=0, xy'-y=0, xy'+2y=0. Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants. Cas homogène. L'ensemble des solutions est un sev de C^2(R,K). Équation caractéristique associée à ay“+by'+cy=0. Description des solutions selon la valeur du discriminant : cas complexe. Démo à connaître : les solutions de y'+a(x)y=0 sont les fonctions , où A est une primitive de a sur I.
• 05/04 : Cas réel. Exemples. Équation ay”+by'+cy=d(x) avec d continue : principe de superposition des solutions. On admet l'existence d'une solution particulière. Cas où d(x)=P(x)e^(αx) : on cherche une solution particulière de la forme Q(x)e^(αx) ; pas de résultat théorique sur le degré de Q : il faut le chercher sur chaque exemple. Cas où d(x)=C*cos(αx) ou C*sin(αx) : on cherche une solution particulière de la forme A*cos(αx)+B*sin(αx). Exemples. Unicité de la solution de ay“+by'+cy=d(x) telle que y(x_0)=y_0 et y'(x_0)=y_1. Début du chapitre sur les applications linéaires. Définitions. Une application linéaire conserve les combinaisons linéaires. Exemples : application nulle, identité, transposition des matrices, intégration, dérivation. L'ensemble L(E,F) des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel. La composée de deux applications linéaires est linéaire. Distributivité de la composition sur les combinaisons linéaires d'applications. Pas de démo à connaître.
• 06/04 : Si u est linéaire bijective, alors u^(-1) est linéaire. Composition de deux automorphismes de E. Exemple des homothéties. Définition d'une application linéaire à l'aide d'une base : si E est de dimension finie n, (e_1,…,e_n) une base de E, (f_1,…,f_n) une famille de vecteurs de F, alors il existe une unique application linéaire u telle que u(e_i)=f_i pour tout i. En particulier, pour montrer que deux applications linéaires sont égales, il suffit de montrer qu'elles prennent les mêmes valeurs sur les vecteurs d'une base de E. L'image directe d'un sev par une application linéaire est un sev. Image. u est surjective ssi Im(u)=F. Si E'=Vect(x_1,…,x_n) alors u(E')=Vect(u(x_1),…,u(x_n)). En particulier si (x_1,…,x_n) engendre E, alors (u(x_1),…,u(x_n)) engendre Im(u). Si (x_1,…,x_n) est une base de E, alors u est surjective ssi (u(x_1),…,u(x_n)) engendre F. L'image réciproque d'un sev par une application linéaire est un sev. Noyau. u est injective ssi ker(u)={0}. Si u est injective et (x_1,…,x_n) est libre, alors (u(x_1),…,u(x_n)) est libre. Si (x_1,…,x_n) est une base, alors u est injective ssi (u(x_1),…,u(x_n)) est libre. conséquences : si (x_1,…,x_n) est une base de E, alors u est bijective ssi (u(x_1),…,u(x_n)) est une base de F. Si E et F sont isomorphes, alors dim(E)=dim(F). Réciproque. Rang d'une application linéaire, rang d'une famille de vecteurs, lien entre les deux : le rang d'une application linéaire est la dimension de l'espace engendré par les images des vecteurs d'une famille génératrice de E. Exemples. Si G est un supplémentaire de ker(u) dans E, alors la restriction de u à G réalise un isomorphisme de G sur Im(u). Théorème du rang. Si u est linéaire entre E et F avec dim(E)=dim(F), alors u injective ssi u surjective ssi u bijective ; u inversible à gauche ssi u inversible à droite ssi u inversible. Projecteurs : si F et G sont deux sev supplémentaires dans E, notion de projection p_F sur F parallèlement à G. C'est une application linéaire. p_F+p_G=id. Im(p_F)=F, ker(p_F)=G. p_F^2=p_F, p_G^2=p^G, p_G\circ p_F = p_F\circ p_G =0. Un projecteur de E est un endomorphisme p tel que p^2=p. Alors Im(p) et ker(p) sont supplémentaires dans E, et p est la projection sur Im(p) parallèlement à ker(p). Symétries vectorielles : polycopié distribué en cours et non discuté collectivement. Exemple. Démos à connaître : L'image directe d'un sev par une application linéaire est un sev. L'image réciproque d'un sev par une application linéaire est un sev. u est injective ssi ker(u)={0}. Merci de ne pas poser de question de cours sur les symétries vectorielles.
• 19/04 : Matrice d'une application linéaire dans des bases données. Exemples, exemple des matrices d'homothéties, de rotations dans R^2. Isomorphisme entre L(E,F) et M_np(K). Matrice colonne des coordonnées d'un vecteur x. Calcul matriciel de u(x) par AX. Lien entre noyau et image d'une application linéaire et de la matrice. En particulier, A=0 ssi AX=0 pour toute colonne X. La matrice d'une composée est le produit des matrices. Un endomorphisme u est inversible ssi sa matrice dans une base donnée est inversible. Les propriétés de calcul vues sur les matrices se traduisent pour les applications linéaires. Par exemple, formule du binôme. Définition du rang d'une matrice A comme valeur commune des rangs de toutes les applications linéaires ayant A pour matrice dans certaines bases. Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Le rang d'une matrice est le rang de la famille de ses colonnes. rg(A)=0 ssi A=0. Pas de démo à connaître ici.
• 20/04 : Si A est carrée, A est inversible ssi rg(A)=n ssi la famille des colonnes forme une base de K^n. Le rang de A ne change pas quand on multiplie A par une matrice inversible. Le rang de la transposée est égal au rang de A (justifié plus bas, avec la réduite canonique) ; conséquences : rg(A) est le rang de la famille des lignes de A ; rg(A) est inférieur à Min(n,p). Matrice de passage entre deux bases et : définition. Une matrice de passage est inversible et . Formule de changement de base pour les coordonnées d'un vecteur ; pour les matrices d'une application linéaire. Exemples. Matrices équivalentes : définition, c'est une relation d'équivalence. Une matrice de rang r est équivalence à sa réduite canonique J_r. Deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang. Formule de changement de base pour les endomorphismes. Exemple complet. Matrices semblables. La similitude est une relation d'équivalence. Matrices diagonalisables : définition, utilité pour calculer A^k. Exemple simple où les vecteurs propres sont donnés : rien n'est au programme au sujet de la diagonalisation. Trace d'une matrice : définition, linéarité, tr(AB)=tr(BA), deux matrices semblables ont même trace. Trace d'un endomorphisme. Dans le cas d'un projecteur, la trace est égale au rang. Fin du CM !

• Feuille 1 : Révisions
• Feuille 2 : Développements limités, équivalents, formules de Taylor
• Feuille 3 : Fractions rationnelles
• Feuille 4 : Matrices
• Feuille 5 : Intégration
• Feuille 6 : Espaces vectoriels
• Feuille 7 : Espaces engendrés, bases, dimension, supplémentaires
• Feuille 8 : Équations différentielles
• Feuille 9 : Applications linéaires
• Feuille 10 : Applications linéaires et matrices, changement de base

• 18/01. Feuille 1 : 1, 5, 6, 10 (1&2), 13, 19(1).
• 20/01. Feuille 1 : 4, 10(3), 19, 17, 18, 23.
• 25/01. Feuille 1 : 9, 12, 25. Feuille 2 : 7, 8 (1-3).
• 27/01. Feuille 1 : 15 (rappel définitions, exemple cosinus, (a) et (b)). Feuille 2 : 1, 10(a-d).
• 01/02. Feuille 2 : 10 (e-f), 11(a,b), 13, 4, 9, 14 (3).
• 03/02. Feuille 2 : 11(c,e,f, g,h), 14 (1,2), 15, 16. Feuille 3 : 1 (A).
• 08/02. Feuille 3 : 1 (B-F), 4 (1,2a), 6; 2 (A-C).
• 10/02. Feuille 3 : 4(2b,c), 2(D), 3. Feuille 4 : 1, 2, 5, 9.
• 24/02. Feuille 4 : 7, 10, 14, 15, 16(2).
• 28/02. Feuille 4 : 16, 10, 4(1).
• 01/03. Feuille 4 : 4(2), 17, 19.
• 03/03. Feuille 4 : 18 (1&2). Feuille 5 : 1, 4(a,b,c,e)
• 10/03. Feuille 5 : 3, 5, 4(f,g,i), 2(1).
• 15/03. Feuille 5 : 2(2), 8, 9(1-4).
• 17/03. Feuille 5 : 9(5), 6, 12,11.
• 22/03. Feuille 5 : 7 (a,b,c), 14 (1, 2, 3), 13
• 24/03. Feuille 6 : 1, 2, 6
• 29/03. Feuille 6 : 8, 11, 15, 16
• 31/03. Feuille 6 : 12, 4. Feuille 7 : 2 (1-3), 6, 7.
• 05/04. Feuille 7 : 2(4-6), 3, 4, 5 (en dimension finie), 8, 10.
• 07/04. Feuille 8 : 1(1-2), 2, 3, 5 (a,b).
• 19/04. Feuille 8 : 1(3-4), 5 (d,g). Feuille 9 : 1,2.
• 20/04. Feuille 8 : 7, 6. Feuille 9 : 3, 4, 5.
• 21/04. Feuille 8 : 5 (h), 8. Feuille 9 : 6 (sauf 5 & 6)
• 26/04. Une équa diff second ordre avec changement de variable. Feuille 9 : 6 (retour sur 5 et fin). 10, 11, 15.
• 27/04. Feuille 10 : 1 (avec en plus vérification avec matrice de passage), 3, 5 (sauf 6).
• 28/04. Feuille 10 : 5(6), 8. Feuille 9 : 14.

• 18/01. Feuille 1 : 1, 2, 4, 5, 10(1-a).
• 20/01. Feuille 1 : 10, 13, 17.
• 25/01. Feuille 1 : 18, 23. Feuille 2 : 1, 4.
• 27/01. Feuille 2 : 2, 7, 8, 9.
• 01/02. Feuille 2 : 10, 11, 13.
• 03/02. Feuille 2 : 14(1,2,3), 15, 16. Feuille 3 : 1(A,B,C,D).
• 08/02. Feuille 3 : 1(F), 2(D), 3, 4(1).
• 10/02. Feuille 3 : 4, 5. Feuille 4 : 1, 2, 3, 4(1).
• 20/02. Feuille 4 : 5, 7, 8(1,2).
• 21/02. Feuille 4 : 8(3), 9, 10, 11, 12.
• 22/02. Feuille 4 : 14, 15, 16(1,2,3).
• 24/02. Feuille 4 : 17, 18.
• 03/03. Feuille 4 : 19. Feuille 5 : 1, 2, 3(1).
• 10/03. Feuille 5 : 3(2), 4(a-f), 5, 8, 9.
• 15/03. Feuille 5 : 14.
• 17/03. Feuille 5 : 6, 11, 12.
• 22/03. Feuille 5 : 13, 15. Feuille 6 : 1(D1-D6).
• 24/03. Feuille 6 : 2, 3, 4(1), 5(a-f), 6, 7(1).
• 27/03. Feuille 6 : 7(2), 8, 9, 14.
• 28/03. Feuille 6 : 10, 11, 12, 16.
• 29/03. Feuille 6 : 15, 17, 18. Feuille 7 : 1.
• 31/03. Feuille 7 : 2, 3, 4, 5, 6.
• 07/04. Feuille 7 : 7, 8, 9, 10, 12(1).
• 18/04. Feuille 7 : 13, 14. Feuille 8 : 1(1,2,3).
• 19/04. Feuille 8 : 1(4), 2, 5, 6.
• 20/04. Feuille 8 : 7, 8, 3. Feuille 9 : 1, 2, 3.
• 21/04. Feuille 9 : 4, 5, 6, 10(1-2).
• 26/04. Feuille 9 : 10(fin), 11 ; feuille 10 : 1, 3, 5(1-3).
• 28/04. Feuille 10: 5(fin), 6, 7.

• 18/01. Feuille 1 : 1(BC), 5(un, wn), 10, 13, 17. Pour vendredi: 1(A), 5(vn)
• 20/01. Feuille 1 : 1(A), 5(vn), 14, 15(1-2), 19(1-4), 22(à finir). Pour mercredi: montrer que x cos(1/x) est uniformément continue sur ]0,1], sin(x) est uniformément continue sur R (indication:TAF), 15(3), 19(5-7), finir l'exercice 22.
• 25/01. Feuille 1 : 22, 15(3), 19(5-7), 25(1) et montrer que x cos(1/x) est uniformément continue sur ]0,1], sin(x) est uniformément continue sur R. Feuille 2 : 2, 7 Pour mercredi: Feuille 1 : 25(2-3), 18, connaître les DL de 1/(1-x) et 1/(1+x) en 0
• 27/01. Feuille 2 : 1, 8 + travail sur les graphes de fonctions avec Micheli Roloff Pour mercredi: Feuille 2 : 9
• 01/02. Feuille 1 : 18, 25. Feuille 2: 9, 11(a-d). Pour vendredi: feuille 2, 11(e-h)
• 03/02. Feuille 2 : 4, 11(e-h), 13, 14(1-2), 16
• 08/02. Feuille 1 : 16. Exercices issus d'annales d'anciens DS, à la demande.
• 10/02. Feuille 3 : 1,2. Feuille 4 : 1,2,7. Pour la rentrée : finir les exercices 1&2 de la feuille 3
• 22/02. Feuille 3 : 1(fin), 2(A,B)), 5. Feuille 4: 14, 15 (sauf bases des noyaux), 16(a). Pour vendredi: finir exercices 2&4 feuille 3.
• 24/02. Feuille 3 : 2(C), 4(2b). Feuille 4: 9, 10, 16(b), 17.
• 03/03. Feuille 4 : 15(A-B, noyaux), 19(A). Feuille 5 : 4(a-c, e) Pour vendredi prochain: 15(C), 19(B) feuille 4, finir e feuille 5.
• 10/03. Feuille 4 15(C), 19(B). Feuille 5: 4(e-f), 6(a-b, e), 7(b).
• 15/03. Uniquement des révisions sur les questions que se posaient les étudiants sur les feuilles 3 et 4.
• 17/03. Feuille 5. 4(g), 6, 8, 9, 11. Pour mercredi: 5, 7
• 22/03. Feuille 5. 5, 7(e),12 Feuille 6. 1, 6(1-2)
• 24/03. Feuille 5. 3,13,14 Feuille 6. 6(3)
• 29/03. Feuille 6. 6, 8, 11, 12, 15
• 31/03. Feuille 6 : 10, 16, 17 Feuille 7 : 2
• 05/04. Feuille 7 : 2(fin), 6, 7, 8. Feuille 8 : 1, 2(1-2)
• 07/04. Feuille 7 : 1, 3, 4. Feuille 8 : 2(3), 3
• 19/04. Feuille 7 : 10. Feuille 8 : 5. Feuille 9 : 1(1-5)
• 28/04. Travail sur le sujet d'examen 2022

• 18/01. Feuille 1 : Exos 1, 4, 5, 6, 8, 7 (juste l'idée, séparer l'étude de partie réelle, partie imaginaire)
• 20/01. Feuille 1 : Exos 10, 13, 17, 18. Execices recommandés pour mercredi : tout le reste de la section continuité et dérivabilité.
• 25/01. Feuille 1 : Exos 19, 23, 25 1), un mot sur les méthodes de résolution de systèmes de type ex 22 par changement de variable. Feuille 2 : Exos 1 1) à 3), 2 1) à 3).
• 27/01. Feuille 2 : Exos 2(fin), 3, 4, 7, 8 1) à 3), 10 a) à f)
• 01/02. Feuille 2 : Exos 11 (étoilés), 13, 15, 16
• 03/02. Feuille 2 : Exos 14 1) 2) 3), 9, Feuille 1 : retour sur l'exo 15 et la notion d'uniforme continuité. Preuve du lemmme : Si f est UC° sur I_1 et sur I_2 d'intersection non vide, alors f est UC° sur l'union, dans le cas I_1=[0;2] et I_2=[1;+infty[
• 08/02. Feuille 3 : Exos 1, 4 sauf la dernière somme, remarque rapide sur le fait que l'exercice 8 est exactement le théorème de DES dans le langage des espaces vectoriels.
• 10/02. (Remplacé par Antonio Scielzo) Feuille 3 : Exos 2 (sauf B), 3. Feuille 4 : Exos 1,2, 4 1).
• 22/02. Feuille 4 : Exos 7, 5 (alternative conjecture + récurrence ou binôme), 9, 10, 14, 15 première matrice à échelonner + explication sur le noyau, les matrices représentant les transformations élémentaires, et pourquoi une matrice et ses matrices échelonnées EN LIGNES ont le même noyau.
• 24/02. Feuille 4 : Reprise de l'Exo 15, Exos 16 2),3),5) et 17 1) en leur laissant beaucoup de temps pour calculer et s'​approprier les méthodes.
• 01/03. Feuille 4 : Exos 17 2), 19 en reprenant les notions d'image/noyau d'une matrice, évocation du théorème du rang, évocation de la notion de base (à travers les vecteurs redondants dans le vect des colonnes d'une matrice pour calculer son image), rappel du résultat qui sera vu plus tard “inversible à gauche ou à droite implique inversible tout court avec cet inverse” + Exos 11, 12. Feuille 5 : Exo 4 a) b) c).
• 03/03. Prof malade, pas d'exercice traité. Intervention de Micheli Roloff pendant 1h30 avec une activité didactique pour présenter les intégrales de Riemann.
• 10/03. Feuille 5 : Exos 4 e) f), 1, 3. Preuve de “Une fonction continue et positive non identiquement nulle sur un segment admet une intégrale strictement positive”. Contre-exemples en enlevant des hypothèses. Corollaire “Une fonction continue positive d'intégrale nulle sur un segment y est identiquement nulle”.
• 15/03. Feuille 5 : Exos 5, 6, 8, 9 1) 2).
• 17/03. Feuille 5 : Exos 9 (fin), 11, 14, 13 jusqu'à 4)a).
• 22/03. Feuille 5 : Exos 13 fin (avec Bonus), 12. Feuille 6 : Exo 1, seulement 1) corrigé mais les étudiants ont eu le temps de réfléchir à leur rythme pendant plusieurs dizaines de minutes.
• 24/03. Feuille 6 : Exos 1 fin, 2, 6.
• 29/03. Feuille 6 : Exos 5, 8, 11, 12.
• 31/03. Feuille 6 : Exos 15,16. Feuille 7 : Exo 2.
• 05/04. Feuille 7 : Exos 6, 7, 8, 11, 14 (+ un mot sur le fait que 13 et 14 sont le même exercice à la forme près).
• 07/04. Feuille 8 : Exos 1, 2 1) et 2), 5 (étoilés). J'ai oublié de faire trouver la solution lorsqu'on a des conditions initiales dans 5, à faire à la rentrée.
• 18/04. Feuille 8 : Solutions avec conditions initiales dans l'exercice 5, + Exos 7, 8 1)a) et b).
• 19/04. Feuille 8 : Fin de l'exo 8. Feuille 7 : Exo 1. Feuille 9 : Exos 1, 2, 4 1).
• 21/04. Feuille 9 : Exos 3, 4 fin, 5 (avec retour sur les preuves de “inversible à gauche (resp droite) équivaut à injective (resp surjective)”), 6 jusqu'à 4).
• 25/04. Feuille 9 : Exos 6 fin, 10.
• 26/04. Feuille 9 : Exos 11, 9. Point culture sur les polynômes d'interpolation de Lagrange avec recherche du polynôme valant 1 en a_i et 0 sur les autres a_j. Feuille 7 exo 4.
• 27/04. Feuille 9 : Exo 13 1) et 2). Remarque sur le fait que les noyaux emboîtés seront utiles plus tard pour la décomposition de Jordan. Feuille 10 : Exos 1, 2, 3 1).

• 18/01. Feuille 1 : Exos 1, 4, 5, 10, 13.
• 20/01. Feuille 1 : Exos 6, 9, 7, 11, 18, 23
• 25/01. Feuille 1 : Exos 17, 19 et 25. Feuille 2 : Exo 1 Q1.
• 27/01. Feuille 2 : Exos 1,3,4,7,8(1,2,3),9(1,2)
• 01/02. Feuille 2 : Exos 9(c-e), 10(a-f), 11(a-c).
• 03/02. Feuille 2 : Exos 11(c,g,h), 13, 14(1,2,3), 15, 16(1)
• 08/02. Feuille 2 : Exos 16(2). Feuille 3 : Exos 1 et 2(A).
• 10/02. Feuille 3 : Exo 2, 3, 4, 6.
• 22/02. Feuille 4 : Exos 1, 4, 7, 9 et 14.
• 24/02. Feuille 4 : Exos 15, 16, 19(A).
• 01/03. Feuille 4 : Exos 17, 18(1) et 19(B). Feuille 5 : Exo 4(a-c, e).
• 03/03. Feuille 5 : Exos 3, 4(f,g,i), 5, 6
• 08/03. Feuille 5 : Exo 7(a) et 8.
• 10/03. Feuille 5 : Exo 9, 11, 12, 14(1,2)
• 15/03. Feuille 5 : Exo 13 avec Bonus et Exo 14(3,4).
• 17/03. Feuille 5 : Exo 1,2,7.
• 22/03. Feuille 6 : Exos 1, 6 & 8. (+Définition et propriétés familles libres et liées).
• 24/03. Feuille 6 : Exos 11, 12, 15, 16(1,2)
• 29/03. Feuille 6 : Exos 16(3),2,3,4,5,7(1)
• 31/03. Feuille 7 : Exos 2, 3, 5, 6 et 7.
• 05/04. Feuille 7 : Exos 1, 4, 8 et 13.
• 07/04. Feuille 7 : Exos 9, 10, 12, 14, 15.
• 19/04. Feuille 8 : Exos 1, 2 et 5(a,b,d,g).
• 20/04. Feuille 8 : Exos 6, 7 et 8.
• 21/04. Feuille 9 : Exos 1, 2(1,3,5), 3, 5, 6(1,3)
• 25 & 26/04 : Feuille 9 : Exos 2(2), 6(fin), 10 et 11. Feuille 10 : Exo 1(1-4).

• 08/02 — Sujet DS1 Corrigé DS1
• 08/03 — Sujet DS2 Corrigé DS2
• 29/03 — Sujet DS3 Corrigé DS3
• 26/04 — Sujet DS4 Corrigé DS4

• 22/02 — Sujet DS CUPGE 1 Corrigé DS CUPGE 1
• 15/03 — Sujet DS CUPGE 2 Corrigé DS CUPGE 2
• 05/04 — Sujet DS CUPGE 3 Corrigé DS CUPGE 3
• 26/04 — Sujet DS CUPGE 4 Corrigé DS CUPGE 4

• Le contrôle final d'analyse 2 : sujet et corrigé.
• Le contrôle final d'algèbre 2 : sujet et corrigé.
• La session 2 d'analyse 2 : sujet et corrigé.
• La session 2 d'algèbre 2 : sujet et corrigé.

Auparavant, Analyse 2 et Algèbre 2 étaient fondus en une UE appelée Fondamentaux des mathématiques 2.

• Les sujets d'examen de 2021-2022 : session 1 et session 2.
• Le lien vers les années d'avant : lien.