Licence de mathématiques Lyon 1

Algèbre et géométrie

Programme

Le programme de l'UE est disponible { ici}

Emploi du temps

L'UE se compose de 36h de cours magistraux, 54h de travaux dirigés et 8h de préparation aux examens.
Les cours ont lieu le mercredi matin de 9h45 à 13h00.
Les préparations aux examens auront lieu les semaines des 11/2, 11/3, 1/4, 29/4.

Enseignants

Cours : M. Nicolas RESSAYRE

Travaux dirigés :

Groupe A : M. Alexis Tchoudjem
Groupe B : M. Théresia Eisenkoelbl

Modalités d'examen

L'UE comporte une partie de contrôle continu.

Calcul de la note finale d'UE :
           (Examen final)*40% +(Examen 1)*17% + (Examen 2)*17%  +(Examen 3)*17%  + (Note de TD)*9%

Travaux dirigés

Feuille de TD no 1 ( Dualité).
Feuille de TD no 2 ( Algèbre Bilinéaire).
Feuille de TD no 3 ( Géométrie Affine).
Feuille de TD no 4 ( Barycentre et Convexité).
Feuille de TD no 5 ( Coniques et Quadriques).
Feuille de TD no 6 ( Anneaux).
Feuille de TD no 7 ( Corps).
Feuille de TD no 8 ( Géométrie Projective).

Examens

Devoir Surveillé BLANC no 1 du 14 février ( Sujet).

Devoir Surveillé no 1 du 1 mars ( Sujet Sujet Corrigé).

Devoir Surveillé no 2 du 22 mars ( Sujet).

Devoir Surveillé no 3 du 12 avril ( Sujet Corrigé).

Déroulé du cours (du 23/1 au ??/??)

Séance 1 : Chap I Dualité

Introduction, Matrice d'une application linéaire et changement de bases, Formes linéaires et hyperplans, Espace Dual, Bases duales et anteduales, Bidualité, Orthogonal d'un sev de $E$ , Anteorthogonal d'un sev de $E^*$ .

Séance 2 : Fin du Chapitre 1 : Application linéaire transposée et matrice.

Chap II Algèbre Bilinéaire : Définition d'une forme bilinéaire, point de vue application linéaire de $E$ dans $E^*$ , matrice. Noyau et rang d'une forme bilinéaire.

Séance 3 : Suite du Chapitre II : Formule de changement de bases. Formes symétriques et formes quadratiques. Théorème de réduction de Gauss. Classification des formes quadratiques sur ${\mathbb C},\,{\mathbb R}$ (théorème de Sylvester).

Séance 4 : Chap II : Sur ${\mathbb Q}$ , infinité d'orbites de formes quadratiques. Sur ${\mathbb R}$ : le cas des produits scalaires (Exemples, Cauchy-Schwarz, Minkowski, début de projection orthogonale)

Séance 5 : Chap II : Gram-Schmidt, projection orthogonale, distance à un sev, groupe orthogonal.

Séance 6 (le 6 mars) : Chap III : Géométrie affine. Définition, exemples, sous-espaces affines, parallélisme, intersection. Repère cartésien, coordonnés, équation d'un plan de ${\mathbb R}^3$ , d'une droite de ${\mathbb R}^2$ , changement de repère.

Séance 7 : Chap III. Barycentre, associativité. Coordonnées barycentrique, Applications affines, exemples (translation, homothétie, symétrie, projection). Groupe affine, réalisation comme sous-groupe de $GL_{n+1}({\mathbb R})$

Séance 8 : Chap III. Quelques théorèmes de géométrie affine plane (Théorème de Thalès, Pappus, Désargues…). Classification affine des coniques planes.

Séance 9 : Chap IV : Anneaux Définition d'un anneau (commutatif unitaire). Exemples : entiers, polynômes, entiers de Gauss, entiers quadratiques. Contre-exemples : entiers pairs, matrices. Divisibilité, éléments inversibles, irréductibles. Anneau intègre, corps. Exemples.

Séance 10 : Chap IV. Idéaux, anneaux quotients. Exemple : ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ . Idéal principal. Exemple, contre-exemple. Anneau principal. Anneau Euclidien : Gauss, Bezout, PGCD, PPCM, Décomposition en produit d'irréductibles.

Tomuss	ADE
Spiral	SAGE