TD1 TD2 TD3 TD4 TD5 TD6 TP1 TP2

Rappel sur quelques principes de base : Principe de multiplication, principe d'addition, principe des bergers, principe d'inclusion-exclusion, principe de tiroir ou pigeonniers. Permutations, r-arrangements parmi n éléments, combinaisons, coefficients binomiaux et coefficients multinomiaux. Formule du binôme (et multinôme) de Newton. Formule de Chu-Vandermonde sous forme de série hypergéométrique 2F1. Exemples de réécriture des identités de binomiaux en 2F1.

Anneaux de séries formelles K[X]] (comme l'extension de polynômes K[X]). Caractérisation d'éléments inversibles. L'identité (1-X) (1+X+X^2+…)=1. Quelques séries remarquables. Fonctions génératrices ordinaires, fonctions génératrices exponentielles d'une suites. Nombres de Fibonacci: calcul de la F.G.O. et en déduire une formule explicite.

Dérivée de séries formelles. Caractérisation des séries satisfaisant f'=0; f'=f. Les correspondances entre opérations de séries et leur séries génératrices ordinaires (resp. exponentielles). Exemples de calcul pour extraire un coefficient de séries. Nombres de Catalan: interprétations combinatoires et calcul de sérié génératrice (à terminer).

Calcul de série génératrice de nombres de Catalan et en tire une expression explicite. Une preuve combinatoire l’expression binomial(2n, n)/(n+1) en utilisant le principe de réflection d’André dans le modèle de chemins de Dyck. Fonction génératrices rationnelles: Equivalence entre récurrence linéaire à coefficients constants et séries génératrices rationnelles. Le produit Hadamard de deux séries rationnelles est rationnel.

1. L'espace des états (univers) Ω est l'ensemble des résultats possibles de l'expérience. Notion d'événements et Tribu A. Définition de probabililté P: A –>[0,1]. Espace probabilisé (Ω, A, P). 2. Construction d'espaces probabilisés 2.1 Espace des états fini Probabililité uniforme. Version probabiliste du principe d'inclusion-exclusion. Dénombrement, modèle d'urne avec remise et sans remise: loi binomiale et loi hypergéométrique. 2.2 Espace des états infini dénombrable 2.3 Espace des états infini non-dénombrable.

1. Probabilité conditionnelle. Définition. Exemples. Formule des probabilités totales. Formule de Bayes. Exemples d'application.

3. Arbre de probabilité. Applications : calcul des probabilités et probabilités conditionnelles. 4. Indépendance des événements.

1. Définition. Fonction de probabilité. Quelques lois usuelles: Loi binomiale, loi de Poisson, loi géométrique, loi binomiale négative, loi hypergéométrique. Théorème: Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson.

2. Fonctions de répartition. Espérance mathématique. Linéarité de l'espérance. Théorème de transfert. Variable carré intégrable. Variance et écart-type. Inégalité de Markov et Bienaymé-Tchebychev.

3. Vecteurs aléatoires discrètes Définition d'un couple aléatoire Z=(X,Y). Loi de Probabilité de Z, lois marginales, loi conditionnelle. Espérance, covariance. Inégalité de Cauchy-Schwartz. Coeffiicent de corrélation. Variables aléatoires indépendantes.

Chapitre 6. Variables aléatoires continues

1. Loi d'une v. a. continue 2. Exemples de v.a. continues: Loi uniforme, loi normale, loi exponentielle. Calcul des espérances et variances.

Chapitre 7. Théorèmes limites.

Loi faible des grands nombres. Théorème central limite. Intervalles de confiance. Exemples. Utilisation des tables de loi normale.

Chapitre 8. Statistique descriptive et tests statistiques

Vocabulaire de statistique descriptive. Méthode des moindres carrés: droite de régression. Estimateur. Tests d'hypothèses.

Chapitre 9. Introduction aux chaînes de Markov sur un espace d’états fini.

Probabilité de transition, matrice de transition, probabilités invariantes, convergence en loi des chaînes de Markov irréductibles et apériodiques.