Analyse II- semestre de printemps 2015 (cours de L. Dupaigne)

• * TD no 6 td7_calculs_int_prim.pdf
• * TD no 3 td3_developpements_limites.pdf
• * TD no 4 td4_utilisation_des_formules_de_taylor.pdf
• * TD no 2 td2_fonctions_reciproques.pdf
• * TD no 1 td1_fonctions_usuelles.pdf

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Interrogation no 8 le 22 mai 2015.

Programme:

• réviser les exercices de la Khan Academy sur : techniques d'intégration. Savoir en particulier maitriser les outils suivants : intégration par parties, changement de variable, primitive d'une fraction rationnelle

Interrogation no 7 le 24 avril 2015.

Programme:

• exercices 3.1, 3.2, 3.4 de la feuille de TD no 3
• exercices donnés en cours sur les équations différentielles

Devoir à rendre pour le 10 avril 2015. dm2.pdf

Interrogation no 6 le 3 avril 2015.

Programme:

• connaitre avec précision les DL en a=0 à l'ordre n des fonctions usuelles donnés en cours le 26 mars 2015
• exercices donnés en cours le 26 mars 2015

Interrogation no 5 le 20 mars 2015.

Programme:

• savoir réciter la formule de Taylor à l'ordre n (version analytique et version numérique) et les hypothèses sous lesquelles elle est vérifiée.
• connaitre les développements limités à l'ordre n en a=0 des fonctions 1/(1-x), exp, -ln(1-x), (1+x)^a, cos(x), sin(x)
• exos traités en TD de la fiche 4

Pour le 13 mars 2015.

Faire des fiches synthétiques résumant les définitions, symétries, tableau de variations, dérivée 1ère et 2nde et graphes des fonctions suivantes : cos et Arccos, tan et Arctan, ln et exp, x^{alpha} et x^{1/alpha}, ln_a (c'est-à-dire ln(x)/ln(a) où a est un réel positif différent de 1) et a^x, ch et Argch, sh et Argsh, th et Argth. On soignera sa rédaction. Pour les étudiants souhaitant une source d'inspiration (mais il est plus instructif de chercher soi-même son format), voici un modèle (largement perfectible) mode_le-fiche.pdf

Interrogation no 4 le 6 mars 2015.

Programme: bien apprendre son cours et

• exos traités en TD de la fiche 2, ainsi que
• connaitre les trois définitions équivalentes d'une fonction dérivable en un point a
• connaitre les trois énoncés équivalents du théorème des accroissements finis
• connaitre les DL d'ordre 1 en a=0 des fonctions 1/(1-x) et exp(x)
• montrer que 1.1 < exp(0.1) < 1.11
• calculer la limite de sin(x^2)/x lorsque x tend vers 0

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Interrogation no 3 le 27 février 2015.

Programme: bien apprendre son cours et

• première fiche de TD, ainsi que

• On considère la fonction f : ]-oo,0] → [0,+oo[ définie par f(x)=x^2 pour tout x dans ]-oo,0] Montrer de trois manières différentes que f est une bijection. Donner sa bijection réciproque et représenter graphiquement f et f^{-1}.

• Faire l’étude et la représentation graphique de la fonction Arcsin. On montrera que Arcsin est impaire, croissante et dérivable sur l’intervalle ]-1,1[ et que

Arcsin’(y) = (1-y^2)^(-1/2)

On évaluera Arcsin en 0 et 1 et on calculera la limite de Arcsin’(y) lorsque y tend vers 1^-.

• Faire l’étude et la représentation graphique de la fonction Arctan . On montrera que Arctan est impaire, croissante et dérivable sur R et que

Arctan’(y) = (1+y^2)^(-1)

On calculera la limite de Arctan en +oo.

• Faire l’étude et la représentation graphique de la fonction Argth. On montrera que Argth est impaire, croissante et dérivable sur ]-1,1[ et que

Argth’(y) = (1-y^2)^(-1)

Caculer Argth(0) ainsi que la limite de Argth en 1^-.

Interrogation no 2 le 13 février 2015.

Programme: bien apprendre son cours et

• Etablir la formule de développement

tan(a-b) = (tan a - tan b) / (1 + tan a tan b)

• et les formules de duplication

sin t = 2tan(t/2) / (1+ tan(t/2)^2)

tan t = 2tan(t/2) / (1- tan(t/2)^2)

• Faire l’étude des fonctions cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique
• Savoir montrer que sh(a+b) = sh(a) ch(b) + ch(a) sh(b)
• Savoir calculer cos(n x) et sin(n x) en fonction de cos(x) et sin(x) pour un entier naturel n donné.
• Savoir linéariser c'est-à-dire exprimer cos^{n} (x) et sin^{n}(x) en fonction de cos(n x) et sin(n x) pour un entier n donné.
• Retrouver les expressions de : sh(a+b), ch(a+b), th(a+b) en fonction de sh(a), sh(b), ch(a), ch(b), th(a) et th(b).
• Etudier les variations et tracer la courbe d'une fonction périodique paire ou impaire comme la fonction f(t)=cos(3t)cos^{3}(t).

Interrogation no 1 le 6 février 2015.

Programme : bien apprendre son cours et

• montrer à l'aide du cercle trigonométrique que f(t)=sin(t-pi/2) est une fonction paire
• trouver les symétries de la fonction cosinus et tracer son graphe par la méthode vue en cours
• montrer que sin t = (exp(it)-exp(-it))/(2i)
• établir toutes les formules de calcul (développement, linéarisation, factorisation) laissées en exercice en cours
• trouver le domaine de la fonction tangente