Semestre d'automne 2026-2027

Cours Sylvie Benzoni-Gavage

TD

• Sylvie Benzoni-Gavage (groupe A)
• Jérôme Germoni (groupe B)
• Julien Roques (groupe C)

TP

  1.
  2.
  3.
  4.
  5.
  6.

  Cours magistraux : tous les vendredis matins de 8h à 11h15 (1er cours le vendredi 4 septembre).
  Travaux dirigés : 10 séances de TD (3h) le lundi après-midi de 14h à 17h15 (1er TD lundi 14 septembre).
  Travaux pratiques : 2 séances de TP (3h) le lundi 16/11 de 14h à 17h15 et le lundi 7/12 de 14h à 17h15
  Contrôle partiel le vendredi 13/11 de 9h à 10h30 (1h30)
  Contrôle terminal à préciser (2h)

  Un contrôle partiel (CP, 90 mn) et un contrôle terminal (CT, 120 mn).

Note finale = max(CT, (CP+CT)/2)

  Session 2. Un contrôle terminal de session 2 (CT2) est proposé uniquement aux étudiant·es ajourné·es. Ce contrôle est facultatif. Pour les étudiant·es qui se présentent à la session 2, la note finale est max(CT2, (CP+CT2)/2).
  →

1. (4 septembre) Chapitre I : Dualité. Dans tout ce chapitre, les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie sur le corps K = R ou K = C. 1) Formes linéaires: définition; exemples et contre-exemples. Formes coordonnées. Les matrices des formes linéaires dans une base de taille n sont des matrices à une ligne et n colonnes. Pour n'importe quelle application linéaire u entre deux espaces de dimension finie, on utilise la convention de notation suivante : Mat_(e’,e) u désigne la matrice de u dans les bases e de l'espace de départ et e' de l'espace d'arrivée; lorsque l'espace de départ est de dimension n et celui d'arrivée de dimension p, cette matrice est à p lignes et n colonnes. Le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan. 2) Espace dual: définition; l'espace dual E* est de même dimension que E; on peut définir un isomorphisme en choisissant des bases de E et de E*; il n'y a pas d'isomorphisme canonique. 3) Bases duales: définition; existence et unicité; méthode de calcul. Étant donnée une base e = (e_1,…,e_n) on note e* = (e_1,…,e_n) sa base duale, qui vérifie par définition e_i*(e_k)=δ_(i,k), où δ_(i,k) = 0 si i et k sont différents et δ_(i,i) = 1 (symboles de Kronecker). Si e et c sont deux bases de E, alors la matrice de la base duale c* dans la base duale e* est la transposée de l'inverse de la matrice de la base c dans la base e. 4) Bases antéduales: définition; existence et unicité. 5) Bidual: définition; le bidual E* * de E est isomorphe à E par l'application x ∈ E \mapsto (φ ∈ E* \mapsto φ(x) ∈ K). 6) Crochet de dualité: pour tout x ∈ E et φ ∈ E*, on note ‹φ,x› = φ(x). Chapitre II : Formes bilinéaires. On considère à nouveau des espaces vectoriels de dimension finie sur le corps K = R ou K = C, et de préférence R. 1) Formes bilinéaires sur un produit E x F : définition; exemples (dont le crochet de dualité sur E* x E) et contre-exemples.
2. (18 septembre) suite du chapitre II: Les formes bilinéaires sont des cas particuliers d'applications bilinéaires: f: E x F → G est bilinéaire (avec E,F,G trois ) si: i) pour tout x ∈ E, l'application partielle y ∈ F \mapsto f(x,y) ∈ G est linéaire; ii) pour tout y ∈ F, l'application partielle x ∈ E \mapsto f(x,y) ∈ G est linéaire. Si f: E x F → G est bilinéaire, si φ ∈ G*, alors φ o f est une forme bilinéaire. Exemples: trace du produit deux deux matrices; intégrale du produit de deux polynômes. Une forme bilinéaire f sur E x E est : symétrique si f(x,y)=f(y,x) quel que soit (x,y) ∈ E x E; antisymétrique si f(x,y)=-f(y,x) quel que soit (x,y) ∈ E x E; alternée si f(x,x)=0 quel que soit x ∈ E. Une forme bilinéaire est alternée si et seulement si elle est antisymétrique. 2) Espace des formes bilinéaires. On note Bil(E x F; K) (ou simplement Bil(E x F)) l'espace des formes bilinéaires sur E x F, qui est un K-espace vectoriel pour les lois définies par (f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y) et (λf)(x,y) = λ f(x,y) quel que soit (x,y) ∈ E x F. Pour tout f ∈ Bil(E x F; K), les applications Φ_g: x ∈ E \mapsto Φ_g(x): y ∈ F \mapsto f(x,y) ∈ K et Φ_d: y ∈ F \mapsto Φ_d(y): x ∈ E \mapsto f(x,y) ∈ K sont linéaires, respectivement de E dans F* et de F dans E*. Ce sont les applications linéaires, respectivement à gauche et à droite, associées à f. En particulier, si E=F et f est symétrique, Φ_g = Φ_g =: Φ est l'application linéaire canonique associée à f. Par définition, pour tout (x,y) ∈ E x F, ‹Φ_g(x),y› = f(x,y) = ‹Φ_d(y),x›, où ‹,› désigne le crochet de dualité (F*,F) pour Φ_g, et le crochet de dualité (E*,E) pour Φ_d. 3) Représentation matricielle d'une forme bilinéaire. Si u=(u_1,…,u_n) est une base de E, v=(v_1,…,v_p) une base de F, la matrice de f ∈ Bil(E x F) dans ces bases a pour coefficients f(u_i,v_j), i ∈ {1,…,n}, j ∈ {1,…,p}. Inversement, tout matrice M à n lignes et p colonnes définit une unique forme linéaires par la formule f(x,y) = X^T M Y, où X, Y sont les vecteurs colonne dont les coefficients sont les composantes de x et de y dans les bases u et v respectivement. Si A_g est la matrice de Φ_g dans les bases u et v* , A_d celle de Φ_d dans les bases v et u* , la matrice M de f dans les bases u et v est donnée par M = A_g^T = A_d. Une forme bilinéaire est symétrique (resp. antisymétrique) si et seulement si sa matrice est symétrique (resp. antisymétrique). Si u' est une autre base de E et v' une autre base de F, P la matrice de passage de u à u' et Q la matrice de passage de v à v', la matrice M' de f dans les bases u' et v' est donnée M' = P^T M Q. 4) Formes bilinéaires non dégénérées. Une forme bilinéaire est non-dégénérée à gauche (resp. droite) si l'application linéaire associée à gauche (resp. droite) est injective, c'est-à-dire que son noyau à gauche {x ∈ E; ∀ y ∈ F, f(x,y)=0} (resp. droite {y ∈ F; ∀ x ∈ E, f(x,y)=0}) est réduit à 0_E (resp. 0_F). Si f ∈ Bil(E x F) avec E et F de même dimension, f est non-dégénérée si et seulement si sa matrice est inversible. Exemple: le crochet de dualité est non-dégénéré sur E x E*. Si f ∈ Bil(E x F) avec E et F de même dimension, son noyau à gauche et son noyau à droite sont de même dimension. 5) Rang d'une forme bilinéaire. Les applications linéaires associées à une forme bilinéaire sont de même rang. On appelle rang de la forme bilinéaire le rang de ses applications linéaires associées. 6) Représentation de Riesz. Si f ∈ Bil(E x F) avec E et F de même dimension, et f est non-dégénérée, alors: pour tout ψ ∈ F*, il existe un unique a ∈ E tel que pour tout y ∈ F, ‹ψ,y› = f(a,y); pour tout φ ∈ E*, il existe un unique b ∈ F tel que pour tout x ∈ E, ‹φ,x› = f(x,b).
3. (25 septembre) Fin du chapitre II: 7) Orthogonalité. Chapitre III : Formes quadratiques. 1) Caractérisation des formes quadratiques: forme polaire; identités de polarisation; identité du parallélogramme; Pythagore. 2) Représentation matricielle d'une forme quadratique. 3) Définitions : noyau, cône isotrope, formes non-dégénérées, rang. Formes réelles (définies) positives / négatives. 4) Réduction des formes quadratiques: vecteurs q-orthogonaux, familles q-orthogonales, théorème de décomposition/réduction de Gauss: si q est une forme quadratique sur un K-espace de dimension finie n, il existe des scalaires (λ_1,…,λ_n) ∈ K et une base (φ_1,…,φ_n) de E* tels que q = Σ_i λ_i (φ_i)^2.
4. (2 octobre) Démonstration du théorème de Gauss. Corallaire: si q est une forme quadratique de rang r sur un K-espace vectoriel E de dimension finie n, il existe une base de E dans laquelle la matrice de q est la matrice diagonale dont les r premiers coefficients diagonaux sont des nombres non-nuls λ_1,…,λ_r, et les n-r suivants sont nuls. 5) Classification des formes quadratiques. Deux formes quadratiques p et q sur un K-espace vectoriel E de dimension finie n sont dites congruentes s'il existe un isomorphisme de l'espace E tel que p = q o u. a) Classification des formes complexes. Théorème: deux formes quadratiques complexes sont congruentes si et seulement si elles ont même rang. Étant donnée une base e = (e_1,…,e_n) d'un C-espace vectoriel, toute forme quadratique de rang r est congruente à la forme normale définie par q(x) = Σ_{i=1}^r x_i^2 pour x de composantes (x_1,…,x_n) dans la base e. b) Classification des formes réelles. Proposition: Pour toute forme quadratique sur un R-espace vectoriel de dimension n, il existe des entiers naturels s et t et une base (φ_1,…,φ_n) de E* tels que q = Σ_{i=1}^s (φ_i)^2 - Σ_{i=s+1}^{s+t} (φ_i)^2 (avec la convention de notation habituelle si s ou t est nul). De plus s = max(dim W; la restriction de q à W soit définie positive), t = max(dim W; la restriction de q à W soit définie négative), et s+t est le rang de q. Loi d'inertie de Sylvester: pour toute forme quadratique réelle q il existe une base (e_1,…,e_n) et des entiers s,t tels que q(x) = Σ_{i=1}^s x_i^2 - Σ_{i=s+1}^{s+t} x_i^2 pour tout x de composantes (x_1,…,x_n) dans la base (e_1,…,e_n), et les entiers s et t ne dépendent pas de la base (e_1,…,e_n). Le couple (s,t) est appelé signature de q. Théorème: Deux formes quadratiques sur un R-espace vectoriel de dimension finie sont congruentes si et seulement si elles ont même signature. Étant donnée une base e = (e_1,…,e_n) d'un R-espace vectoriel, toute forme quadratique de signature (s,t) est congruente à la forme normale définie par q(x) = Σ_{i=1}^s x_i^2 - Σ_{i=s+1}^{s+t} x_i^2 pour x de composantes (x_1,…,x_n) dans la base e. (6) Discriminant d'une forme quadratique. Proposition: le déterminant de la matrice d'une forme quadratique dans une nouvelle base est égal au déterminant de sa matrice dans la base de départ multiplié par le carré du déterminant de la matrice de passage. On appelle discriminant d'une forme quadratique le déterminant de sa matrice dans une base quelconque modulo la multiplication par un carré non nul.) 7) Point de vue matriciel. Proposition: deux formes quadratiques sont congruentes si et seulement si leurs matrices sont congruentes (deux matrices M et N sont congruentes s'il existe une matrice inversible P telle que M = P^T N P).
5. (9 octobre) Fin du chapitre III. Chapitre IV : Espaces euclidiens. Voir les notes de cours, le bâtiment étant bloqué.
6. (16 octobre) Chapitre V : Espaces hermitiens. Voir les notes de cours, le campus étant bloqué.

Notes de cours: notes-chapitreiii-formes-quadratiques.pdf notes-chapitreiv-espaces-euclidiens.pdf notes-chapitrev-espaces-hermitiens.pdf

Compléments: groupes-endomorphismes-matrices.pdf

TD1 (lundi 14 septembre): énoncés td1-26-27.pdf; éléments de solutions td1-26-27_cr.pdf

TD2 (lundi 21 & 28 septembre): énoncés td2-26-27.pdf ; éléments de solutions td2-26-27_cr.pdf

TD3 (lundi 5 & 12 octobre): td3-26-27.pdf

TD4 (lundi 19 octobre): td4-26-27.pdf