1 contrôle partiel (CP) le vendredi 8/11, pendant le TD et 1 contrôle terminal (CT) le lundi 6 janvier 2005 à 14H ¹⁾

note finale = max(0,49 × CP + 0,51 × CT, CT)

sujet de l'examen final (avec barème),

corrigé

• Cours les lundis de 14H à 16H ²⁾ ; enseignant : Alexis Tchoudjem tchoudjem@math.univ-lyon1.fr

• Travaux dirigés les vendredis de 9H45 à 13H ; enseignant : Todor Tsankov

1er cours le lundi 9 septembre ; 1er td le vendredi 13 septembre

Programme. «Dans le cadre des fonctions d'une variable réelle, on travaillera les notions d'image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité. Les réels : sup, valeurs approchées, nombres décimaux … Suites réelles ou complexes : limites, critères de convergence, suites récurrentes. Fonctions d'une variable réelle, à valeurs réelles : continuité, dérivabilité, étude locale, analyse asymptotique. Extension aux fonctions à valeurs dans R^2 (ou dans C). Exemples simples de courbes paramétrées. Séries numériques.»

Sommaire.

Cours du lundi 9/9. Chapitre 1 Construction de R. Suites de Cauchy, inclusion de Q dans R, opérations sur R, ordre total sur R, propriété de la borne sup, toute suite croissante majorée converge, toute suite de Cauchy converge. Cours du lundi 16/9. Construction des racines nièmes (avec la borne sup), développement décimal d'un nombre réel, R n'est pas dénombrable (argument de la diagonale). Chapitre II Les limites. Rappel de la définition de la limite d'une suite. Construction de exp(x) = lim (1+x/n)ⁿ Cours du lundi 23/9. Construction de exp(x) et de Log(x) (suite et fin), définitions des limites de fonctions, encadrement des limites, opérations sur les limites, composée de limites. Cours du lundi 30/9. Chapitre III Continuité. Définition, caractérisation séquentielle, les somme, produit, composée de deux, maximum de deux fonctions continues sont continus. Sup d'une fonction continue sur un segment : atteint. Théorèmes des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un intervalle. Uniforme continuité. Cours du lundi 7/10 Chapitre IV Dérivabilité. Définition, exemple de Exp et Log, dérivée de la somme, du produit, du quotient, de la composée et de la réciproque (d'une fonction bijective), théorème de Rolle et des accroissements finis, règle de L'Hospital Cours du lundi 14/10 Chapitre V Formules de Taylor et DL Taylor-Lagrange, Taylor-Young, Applications : Ln(2)=1-1/2+1/3-1/4+1/5 +…. exp(x)=1+x+x²/2+x³/6+x⁴/24+…, notations o, O, ~, Cours du lundi 21/10 développements limités : unicité des coefficients, opérations : somme, produit, division, composée, dérivation, primitive, exemples de calculs : 1/cos, tan Cours du lundi 4/11 Chapitre VI Suites 1) Suites de Cauchy 2) Suites extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass 3) Suites arithmétiques 4) Suites géométriques 5) Suites arithmético-géométriques 6) Suites homographiques 7) Récurrence linéaire (à coefficients constants) d'ordre 2 8) Suites récurrentes générales : exemple x_n+1=1/2(x_n+a/x_n), a>0. Cours du lundi 18/11 9) Convergence en moyenne de Cesaro Chapitre VII Séries 1) Convergence, convergence absolue, divergence, divergence grossière, convergence absolue ⇒ convergence 2) Séries géométriques : ∑ qⁿ converge ⇔ |q|<1 3) Séries de Bertrand : ∑ 1/n^a converge ⇔ a>1, ∑ 1/n ln^bn converge ⇔ b>1 4) Critères : si ∀ n a_n >0, lim a_n+1/a_n <1 ⇒ ∑ a_n converge, limsup a_n^1/n <1⇒ ∑ a_n converge. Cours du vendredi 29/11 4) convergence absolue ⇒ convergence 5) séries alternées 7) produit de Cauchy des séries 8) équivalences : a ∼ b ⇒ Σ a_n et Σ b_n de même nature et sommes partielles équivalentes en cas de divergence, restes équivalents en cas de convergence 9) séries entières : rayon de convergence Cours du lundi 2/12 10) Exemples. a) Formule de Stirling n! ~ C√n(n/e)ⁿ b) Développement du sinus en produit infini (Euler) : ln (sin x/x) = ∑_k=1^∞ln(1-x²/k²π²) c) Wallis π/2=∏_n=1^∞(2n)(2n)/(2n-1)(2n+1) ⇒ C=√(2π) d) ∑_n=1^∞1/n²=π²/6 Cours du lundi 9/12 Chapitre VIII Courbes paramétrées Définition 1) Points multiples 2) Points singuliers, tangentes 3) Allure de la courbe par rapport à la tangente 4) Branches infinies 5) Exemples : folium de Descartes et courbe de Lisaajous. Supplément Fonctions convexes Définition, caractérisation, application : inégalié de Minkowski

Quelques notes de cours

Construction des réels à partir des suites de Cauchy rationnelles

Construction des racines n-ièmes

Développement décimal d'un réel

Définitions de l'exponentielle et du logarithme avec des suites adjacentes

Continuité

Règle de L'Hospital

Composée de développements limités

Développement du sinus en produit infini(Euler)

Suppléments

à propos de l'exponentielle complexe

Sur les fonctions convexes

1. Définition de la borne sup et de la borne inf,
2. Notion de suite de Cauchy, toute suite de Cauchy réelle converge dans R, toute suite croissante majorée converge (vers sa borne sup),
3. Définition de la continuité,
4. Théorème des valeurs intermédiaires (énoncé),
5. «Toute fonction continue sur un segment atteint ses bornes» (énoncé)
6. (fg)'=f'g+fg', (fog)'=f'og.g'
7. Formules de Taylor-Lagrange et de de Taylor-Young (hypothèses et conclusions)
8. Taylor-Young pour exp et (1+x)^a
9. Suites de Cauchy (définition)
10. Théorème de Bolzano-Weierstrass (énoncé)
11. Convergence des séries à termes géométriques ;
12. Convergence des séries de Bertrand ∑ 1/n^a, ∑ 1/n ln^b n
13. Critères de convergence du quotient et de la racine n-ème

(fiches de l'an dernier)

1. fiche 1 sur les nombres réels
2. Fiche 2 (suites numériques)
3. séries
4. limites
5. continuité, dérivabilité
6. formules de Taylor

1ère session

sujet, corrigé

2ème session

sujet, sujet corrigé

examen final

cc2, corrigé

cc1, corrigé