Cours : Simon Masnou
TD :
TP :
Note finale = max(CT, 0.49*CP+0.51*CT) (NB : les coefficients 0.49 et 0.51 sont dus à l'obligation imposée par l'administration de Lyon 1 de prendre des coefficients différents)
Il existe de nombreux ouvrages couvrant le programme du cours qu’on pourra trouver à la bibliothèque de l’université Lyon 1, parmi lesquels :
Si on préfère les documents accessibles en ligne, on pourra consulter :
6 septembre (3h) Chapitre I : Dualité en dimension finie On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie, avec K=R ou C. Définition du dual E*, justification de dim E*=dim E. Base duale associée à une base de E : définition e_i*(e_k)=delta_i^k à l'aide du symbole de Kronecker, preuve que c'est bien une base de E*, caractérisation de chaque élément de la base duale comme projection sur un axe de coordonnées dans E. Coefficients de la décomposition dans la base duale d'un élément de E*. Détermination matricielle d’une base duale (à partir d’une base de référence). On utilise la convention suivante : si u est linéaire de E dans F munis des bases B et B', on note Mat_B’ , B (u) la matrice de l’application relativement à ces bases. Base antéduale : définition, théorème d’existence et d’unicité. Bidual, isomorphisme canonique entre E et son bidual, introduction du crochet de dualité.
Chapitre II : Formes bilinéaires, formes quadratiques 1) Formes bilinéaires a) Définitions : forme bilinéaire, forme bilinéaire symétrique, antisymétrique, alternée. Exemples (y compris en dimension infinie) Remarque sur le fait qu’on s’intéressera surtout aux formes symétriques car elles sont naturellement associées aux formes quadratiques. Applications linéaires (à gauche et à droite) associées à une forme bilinéaire. Application linéaire canonique dans le cas symétrique
13 septembre (3h) b) Représentation matricielle d'une forme bilinéaire dans une base e donnée. Lien avec la matrice de l'application linéaire associée dans les bases e et e* (base duale de e). Une forme bilinéaire est symétrique ssi sa matrice dans une base quelconque est symétrique. c) Changement de base pour les formes bilinéaires. Les matrices liées par la formule M'=P^t M P où P est une matrice de changement de base sont dites congruentes. Comparaison avec le changement de base pour les applications linéaires. d) Rang et noyau d’une forme bilinéaire symétrique définis à partir de l’application linéaire canonique associée. Le rang est aussi celui de la matrice de la forme bilinéaire. Notion de formes bilinéaires non dégénérées / dégénérées. Exemples.
e) Orthogonalité : vecteurs orthogonaux, orthogonal d’une partie, parties orthogonales, vecteurs isotropes Cône isotrope. Remarque sur la structure de cône. Il contient le noyau. Exemples où il le contient strictement. L’orthogonal d’une partie A coïncide avec l’orthogonal de Vect(A). L’orthogonal de E est le noyau de la forme bilinéaire et rang(phi)=dim E - dim E^orth. L'orthogonal de F contient toujours Ker phi. Si phi est non dégénérée et F est un sev alors dim E = dim F + dim F^orth (preuve). On admet que dans le cas général dim E + dim(E^orth \cap F) = dim F + dim F^orth. Si F est régulier i.e. F^orth \cap F={0} alors F et F^orth sont supplémentaires dans E. Rappel que dans un espace euclidien un sev F et son orthogonal F^\orth sont toujours supplémentaires. Exemple d'une forme bilinéaire pour laquelle F=F^\orth.
Théorème de représentation de Riesz pour une forme bilinéaire non dégénérée sur un espace de dimension finie.
2) Formes quadratiques a) Définitions. q est quadratique s'il existe une forme bilinéaire phi telle que q(x)=phi(x,x). Proposition et définition : il existe une unique forme bilinéaire symétrique qui vérifie cette égalité. On l’appelle la forme polaire. Identités de polarisation reliant forme polaire et forme quadratique. Corollaire : théorème de Pythagore. Exemple de détermination pratique de la forme polaire à partir d'une forme quadratique explicite.
20 septembre (3h) Représentation matricielle. Noyau, rang, cône isotrope. Forme quadratique à valeurs réelles définie positive ou définie négative. Equivalence entre (q est une forme quadratique) et (dans toute base q(x) est une fonction polynomiale homogène de degré 2 en les coordonnées de x) c) Orthogonalité, bases orthogonales. La matrice de q est diagonale dans une base orthogonale. d) Théorème de diagonalisation en base orthogonale : si q est de rang r, il existe une base dans laquelle q(x)=somme pour i allant de 1 à r des lambda_i x_i^2, avec tous les lambda_i non nuls. La matrice de q dans cette base est diag(lambda_1,…,lambda_r,0,…0). La preuve s'appuie sur le théorème de décomposition en carrés de Gauss : si q est de rang r alors q(x) est la somme pour i allant de 1 à r des lambda_i [l_i(x)]^2 où les l_i forment une famille libre de formes linéaires et les lambda_i sont non nuls. Preuve par récurrence forte. Un exemple de décomposition.
3) Classification des formes quadratiques Définition de la congruence de deux formes quadratiques. C'est une relation d'équivalence. On entend par classification l'étude des classes d'équivalence. Point de vue matricielle. Congruence de deux matrices symétriques. Deux questions : qu'est-ce que deux formes congruentes ont en commun (recherche d'invariants) ? Inversement, comment reconnaître deux formes quadratiques congruentes (notion d'invariant total) ? a) Formes quadratiques sur C : deux formes quadratiques sur C sont congruentes ssi elles ont même rang. Une forme quadratique sur C de rang r est congruente à la matrice diagonale par bloc diag(I_r, 0). b) Formes quadratiques sur R. Si q est de rang r, il existe une base et deux entiers s et t tq s+t=r et q(x)=somme de 1 à s des (x_i)^2-somme de s+1 à s+t des (x_i)^2. Théorème d'inertie de Sylvester : le couple (s,t) ne dépend pas de la base, il est unique, on l'appelle la signature. s est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel sur lequel q est définie positive. t est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel sur lequel q est définie négative. Théorème d'inertie de Sylvester en version matricielle. Tableau récapitulatif : sur C, le rang est un invariant total et la forme normale est diag(I_r, 0). Sur R, la signature est un invariant total et la forme normale est diag(I_s, -I_t, 0).
Remarque : la preuve du théorème de Sylvester a été entamée, elle sera finie au prochain cours.
27 septembre (3h) Retour sur la réduction des formes quadratiques, fin de la preuve du théorème de Sylvester.
Chapitre III : Espaces euclidiens (rappels) : produit scalaire, norme, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité. Toute famille orthogonale est libre. Décomposition d'un vecteur dans une base orthonormée. Orthonormalisation de Gram-Schmidt et son corollaire : tout espace euclidien admet une base orthonormée. Un sous-espace euclidien et son orthogonal sont supplémentaires. Rappel sur la définition d'un projecteur dans un espace vectoriel. Projection orthogonale dans un espace euclidien : définition et caractérisation. Expression du projeté orthogonal sur un sev F dans une base orthonormée de F. Le projeté orthogonal minimise la distance à F.
4 octobre (1h30) NB : les résultats sur les endomorphismes adjoints et les endomorphismes orthogonaux étant au programme de l'UE “Algèbre 4” de L2, ils ont été simplement rappelés sans démonstration.
3) Adjoint d’un endomorphisme. a) Application adjointe d’une application linéaire entre deux espaces vectoriels, on se restreint désormais aux endomorphismes, représentation matricielle b) Endomorphismes symétriques. u est symétrique ssi sa matrice dans une base orthonormée est symétrique. Si F est stable par u alors F^orth est stable par l'adjoint u*, et donc par u s'il est auto-adjoint. Un endomorphisme est une projection orthogonale ssi c'est un projecteur et qu'il est auto-adjoint. c) Théorie spectrale des endomorphismes auto-adjoints. Théorème : si u est auto-adjoint alors toutes ses valeurs propres sont réelles, il est diagonalisable dans une base orthonormée, ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. Corollaire : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable et admet une base de vecteurs propres qui est orthonormée pour le produit scalaire usuel de Rn.
4) Endomorphismes orthogonaux. Notion générale d'isométrie entre espaces métriques, transformation orthogonale définie comme un endomorphisme préservant la norme. Équivalence avec la préservation du produit scalaire. Un endomorphisme orthogonal préserve l'orthogonalité. La matrice dans une base orthonormée vérifie A^tA=I. Un élément de O(E) a 1 ou -1 comme seules valeurs propres. Son déterminant est +-1, notion d'isométrie directe, indirecte. f est dans O(E) ssi f transforme toute base orthonormée en une base orthonormée ssi il existe un base orthonormée dont l'image par f est une base orthonormée. Définition de O_n(R), SO(E), SO_n(R). La matrice de passage d'une base orthonormée à une base orthonormée est orthogonale. Théorème (admis) : réduction des endomorphismes orthogonaux → si f est dans O(E) il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs, avec soit des 1 ou -1 sur la diagonale, soit des blocs 2×2 représentant des rotations dans le plan d'angles différents de 0[Pi].
Chapitre IV : Espaces hermitiens 1) Formes hermitiennes, produit scalaire hermitien a) Formes sesquilinéaires (semilinéaires à gauche, linéaires à droite), formes sesquilinéaires à symétrie hermitienne (formes hermitiennes). Formes hermitiennes positives (négatives) / définies positives (négatives).