Polycopié succinct de P. Mironescu et J. Kellendonk, recommandé aux étudiants qui suivent régulièrement le cours. (pdf).
Polycopié détaillé de J. Melleray, mieux adapté aux étudiants qui ne peuvent pas suivre le cours (double cursus, etc.). (pdf). Chapitres 1,2,3,4 (sauf 4.6 et 4.7), 5 et 6 (sauf 6.8).
Liste des démonstrations à connaître pour l'examen
Informations pratiques
Emploi du temps
Cours magistraux. 1er CM le vendredi 6 septembre 14:00-17:15.
Travaux dirigés. TD A, B et C le jeudi 9:45-13:00. TD D le jeudi 8:00-11:15. Premier TD le 12 septembre.
Partiel le vendredi 25 octobre 2024, 14:00-16:00, Amphi Astrée. Programme: exercices et questions de cours sur les chapitres 1 et 2.
Modalité de contrôle des connaissances et de compétence
Un contrôle partiel (CP) + un contrôle terminal (CT). Note finale : max(CT, (0.49*CP + 0.51*CT)/2).
Session 2. Un contrôle terminal de session 2 (CT2) est proposé uniquement aux étudiants ajournés ou défaillants. Ce contrôle est facultatif. Pour les étudiants qui se présentent à la session 2, la note finale est max(CT2, (0.49*CP+0.51*CT2)/2).
Programme
Espaces topologiques
Topologies sur un ensemble. Définition, premiers exemples.
Espaces normés. Rappels sur les normes classiques de R^n. Distance issue d'une norme
Intérieur et adhérence. Exemples. Réunion, intersection, complémentaire.
Voisinages. Caractérisation de l'intérieur et de l'adhérence.
Suites. Notion de convergence. Unicité de la limite dans un espace topologique séparé.
Suites dans un espace métrique. Caractérisation de l'adhérence.
Comparaison de topologie et des distances. Distances topologiquement équivalentes et Lipschitz-équivalentes.
Prébases et bases d'une topologie.
Espaces produit. Produit finis d'espaces métriques et distance-infinie. Convergence d'une suite dans un espace produit.
Sous-espaces métriques. Distance et topologie induite.
Partie denses. Espaces métriques séparables
Continuité
Fonctions continues. Retour sur la définition topologique. Caractérisation de la continuité dans un espace métrique. Fonctions lipschitzienne entre espaces métriques.
Applications linéaires entre e.v.n.. Critères de continuité. L'espace L(E,F). Continuité des applications multilinéaires.
Propriétés de fonctions continues. Composition. Espace produits et continuité des projections. Somme, produit de fonctions continues.
Continuité uniforme. Convergence uniforme. Continuité de la fonction distance.
Homéomorphismes et isométries.
Espaces complets
Suites de Cauchy
Complétude et fermés. Complétude d'espaces produits. L'espace des fonctions continues et bornées. Complétude de L(E,F). L'espace des suites réelles bornées.
Théorème des contractions. Applications.
Séries dans un e.v.n.. Inversibilité dans L(E).
Compacts
Compacité et compacité séquentielle. Théorème de Borel-Lebesgue.
Propriétés des espaces compacts. Compacts et fermés. Compacts et espaces produits.
Compacité dans R^n. Bolzano-Weierstrass. Caractérisation des fermés-bornés de R^n.
Fonctions continues sur un compacts. Théorème de Weierstrass et ses variantes. Théorème de Heine.
Compacité dans un e.v.n. de dimension finie. Équivalence des normes. Théorème de la meilleure approximation.
Connexité
Définition. Adhérence d'un connexe. Réunions de connexes.
Composantes connexes. Produit de connexes.
Connexes de R. Intervalles. Caractérisation des ouverts de R.
Convexes et étoilés dans un e.v.n.
Connexes par arcs.
Compléments
Prolongements. Prolongement des applications uniformément continues et des applications linéaires.
Complété d'un espace métrique.
Le théorème d'Ascoli.
Avancement TD
Pierre Lavaurs (groupe A)
12/09 : Feuille 1 exos 1 à 8 (inachevé) en bâclant un peu la fin du 6 et les détails du 7. Travailler la fin de la fiche pour la semaine prochaine.
19/09 : …
Thomas Blossier (groupe B)
12/09 : Feuille 1, exercices 1 à 6, et variante ex 7 (normes sur espace des fonctions continues sur [0,1]). Préparer exos 8 à 10 et premiers exos feuille 2 pour le 19/09.
19/09 : …
Hamza Si Kaddour (groupe C)
12/09 : Feuille 1 exo 1, 2, 3, 4, 5, 6(1).
19/09 : …
Avancement du cours
6 septembre (3h). Motivations. Définition de topologie. Exemples : topologie euclidienne de Rn, discrète, chaotique, co-finie (laissée en exercice). Exercice : dans un espace topologique l'intersection de fermés est fermée et la réunion finie de fermés est fermée. Définition de distance. Exemples : distance euclidienne sur R^n, distance discrète. Boules. Définition d'ouvert et fermé dans un espace métrique. Exemple : construction de la boule centrée en 2 et de rayon 1/2, d'abord dans R et ensuite dans l'espace métrique [2,3]. Les boules sont ouvertes. Exercice : les boules “avec inégalité large” sont fermées. Construction de la topologie métrique. La distance discrète induit la topologie discrète. Espaces topologiques séparés. Exemples : la topologie métrique est séparée. La topologie chaotique n'est pas séparée. Dans un espace séparé les singletons sont fermés. Définition de norme. Exemple: norme euclidienne sur Rn. Exercice : la norme-infini et la norme-1 sur l'espace C([a,b],R) vérifient les axiomes de norme. Construction de la distances issue d'une norme. Définition d'intérieur et d'adhérence. Complémentaire de l'intérieur/adhérence. Intérieur et adhérence d'une réunion et intersection de deux ensembles.
13 septembre (3h). Voisinages. x appartient à l'adhérence de A ssi tout voisinage de x intersecte A. Suites. Sous-suites. Convergence (définition avec les voisinages). Unicité de la limite. Suites dans un espace métrique. Dans un espace métrique x appartient à l'adhérence de A ssi existe une suite de A convergente vers x. Corollaire : critère pour qu'une partie d'un métrique soit fermée utilisant les suites. Définition de distances topologiquent équivalentes. C.n.s pour que deux distances soient topologiquement équivalentes utilisant les suites. Exemple : dans R, (x,y)→ |e^x-e^y| définit une distance topologiquement équivalente à la distance euclidienne. C.n.s. pour que deux distances soient topologiquement équivalentes utilisant les boules emboîtées. Définition de distances lipschitz-équivalentes. Distances Lipschitz équivalentes implique distances topologiquement équivalentes. Sous espaces métriques. Caractérisation des ouverts et des fermés dans un sous-espace métrique. Exemple d'un espace métrique (une réunion de deux intervalles disjoints) possédant des parties non-triviales simultanément ouvertes et fermées. Notion de partie dense d'un espace métrique. Notion d'espace métrique séparable. Un sous-espace d'un espace métrique séparable est séparable (démonstration hors programme). Critère de non séparabilité et exemple d'un espace métrique non séparable. Produit fini d'espace métriques et distance-infinie. Convergence dans une produit fini d'espace métriques. Boule dans un produit pour la distance-infinie comme produit de boules. Le produit d'ouverts/fermés est ouvert/fermé. Le produit fini d'espace séparables est séparable. Définitions : partie bornée d'un espace métrique, point d'accumulation. Inégalité de Young, de Holder et de Minkowski. La norme-p dans Rn et espaces de suite lp.
