* Enseigants: Jiang Zeng (CM, mél), Alexis Tchoudjem (TD, mél)
* Séq: 3, CM jeudi 14h00-17h15 (1er CM 07/09/2023), TD mardi 9h45-13h (1er TD 12/09/2023).
Il y a deux CC (90 minutes) et un CT (120 minutes).
* CC1: 12/10/2023 14h-15h30, Amphi Thémis 11 (RDC)
* CC2: 23/11/2023 14h–15h30, Grignard 02 (RDC)
* Note de l'UE: max ((CP+CT)/2, CT), où CP=(CC1+CC2)/2.
Polycopié de cours ici
Applications, relations, relations d’ordre et relations d’équivalence. Exemples de relations d'ordre et d'équivalence dans Z.
L'axiome de bon ordre de , les deux principes de récurrence.
Rappels sur le groupe
et anneau
.
1. Divisibilité.
Division euclidienne.
Tout sous-groupe de Z peut s'ecrire aZ ().
2. Pgcd et Ppcm. Identité de Bézout.
Interpretation en termes d'ideaux de l'anneau Z.
.
Entiers premiers entre eux; théorème de Bézout.
3. Nombres premiers.
Tout entier >1 admet un diviseur premier et s'il est
composé il admet un diviseur premier majoré par
.
Il y a une infinité de nombres premiers.
Lemme de Gauss. Lemme d'Euclide.
Théorème fondamental de l'arithmetique.
4. Algorithme d'Euclide et algorithme de Bezout.
Résolution d'equation diophantienne ax+by=c.
5. Congruences dans Z. L'anneau Z/nZ.
Equations lineaires modulo n. Algorithme d'inversion.
6. Petit theoreme de Fermat. Theoreme de Wilson. Theoreme des restes chinois.
Indicateur d' Euler. Theoreme d'Euler.
7. Application a la cryptographie a clefs publiques.
1. L'anneau K[X], où K est un corps commutatif. 2. Division des polynômes, PGCD. 3. Racines d'un polynôme. Formule de Taylor. Théorème de D'Alembert-Gauss (admis). 4. Polynômes irréductibles. Décomposition dans R[X] et C[X].
Sous-groupes, morphismes de groupes. Groupes cycliques. Groupes Z/nZ, groupe des racines n-ième de l'unité. Groupes symétriques. Exemples de groupes agissant sur un ensemble, exemple de groupes laissant invariante une partie du plan ou de l’espace.
Fiche 1 (bijections), quelques corrections, quelques autres corrections,
Fiche 3 (aritmétique : exercices supplémentaires)
Fiche 5 (polynômes (somme des puissances et racines des polynômes de degré 3)
Fiche 6 (groupes) Exercices supplémentaires (sur Z/nZ et le groupe symétrique) correction de l'exercice 1