Arithmétique et groupes (UE-MAT3159L)
* Enseigants: Jiang Zeng (CM, mél), Alexis Tchoudjem (TD, mél)
* Séq: 3, 1er CM mardi 06/09/2022, 8h00-11h15, Amphi Berthollet, 1er TD jeudi 15/09/2022,
dernier TD le jeudi 8/12/2022
ATTENTION : pas de TD le jeudi 13 octobre après-midi ! (ni le jeudi 15 décembre)
* CP: CC1 (11/10, 8h00-9h30, Amphi Themis 7); CC2 (29/11, 9h45-11h15, Amphi Themis 9). Note de CP est la moyenne de CC1 et CC2.
Modalité d'évaluation
Il y a deux CC (90 minutes) et un CT (120 minutes).
Note de l'UE: max (MP, CT), où MP est la moyenne pondérée du CP (50%) et du CT (50%).
Plan du cours
Chapitre 1. Vocabulaire de la théorie des ensembles (3h00)
Applications, relations, relations d’ordre et relations d’équivalence. Exemples de relations d'ordre et d'équivalence dans Z.
L'axiome de bon ordre de 
, les deux principes de récurrence.
Rappels sur le groupe 
et anneau 
.
Chapitre 2. Arithmétique dans Z (9h00)
1. Divisibilité.
Division euclidienne.
Tout sous-groupe de 
peut s'ecrire aZ (
).
2. Pgcd et Ppcm. Identité de Bézout.
Interpretation en termes d'ideaux de l'anneau .
.
Entiers premiers entre eux; théorème de Bézout.
3. Nombres premiers.
Tout entier >1 admet un diviseur premier et s'il est
composé il admet un diviseur premier majoré par 
.
Il y a une infinité de nombres premiers.
Lemme de Gauss. Lemme d'Euclide.
Théorème fondamental de l'arithmetique.
4. Algorithme d'Euclide et algorithme de Bezout.
Résolution d'equation diophantienne ax+by=c.
5. Congruences dans Z. L'anneau Z/nZ.
Equations lineaires modulo n. Algorithme d'inversion.
6. Petit theoreme de Fermat. Theoreme de Wilson. Theoreme des restes chinois.
Indicateur d' Euler. Theoreme d'Euler.
7. Application a la cryptographie a clefs publiques.
Polycopié de Chapitres 1 et 2 ici
Chapitre 3. Polynômes à coefficients réels et complexes (3h00)
1. L'anneau K[X], où K est un corps commutatif. 2. Division des polynômes, PGCD. 3. Racines d'un polynôme. Formule de Taylor. Théorème de D'Alembert-Gauss (admis). 4. Polynômes irréductibles. Décomposition dans R[X] et C[X].
Chapitre 4. Groupes (9h00)
Sous-groupes, morphismes de groupes. Groupes cycliques. Groupes Z/nZ, groupe des racines n-ième de l'unité. Groupes symétriques. Exemples de groupes agissant sur un ensemble, exemple de groupes laissant invariante une partie du plan ou de l’espace.
