Cours de Nicolas Ressayre
Cette page contient des informations relatives à l'UE Fondamentaux des mathématiques I, groupe MATH (séquences 5 et 1).
Pour les autres séquences, voir ici
Le programme de l'UE est disponible ici
L'UE se compose de 46h de cours magistraux, 64h de travaux dirigés et 24h d'études surveillées.
Les cours ont lieu le lundi matin (2h ou 3h selon les semaines) et le jeudi matin (2h).
Les travaux dirigés ont lieu le mardi après-midi (3h) et le vendredi après-midi (2h30).
Les études surveillées (2h) sont organisées le jeudi matin, avant le cours. Deux enseignants y sont présentes pour répondre aux questions sur les cours ou les TD. Il est fortement conseillé aux étudiants d'y assister.
Cours : M. Nicolas RESSAYRE
Travaux dirigés :
Études surveillées : M Jean-Christophe BÉNIÈRE et M. Julien ROQUES
Le site Exo7 contient une grande base d'exercices (avec indications et corrections) ainsi que des éléments de cours pour les étudiants en mathématiques à l'université ou en classes préparatoires.
Des exercices corrigés et des annales d'examen sont également disponibles ici (voir notamment les rubriques Maths I Analyse, Maths I Algèbre et Fondamentaux des mathématiques I).
Livre recommandé : ce cours téléchargeable est une bonne référence couvrant toutes les mathématiques de première année.
L'UE comporte une partie de contrôle continu.
Calcul de la note finale d'UE :
(Examen final)*30% + Partiel*30% +[Examen 1 + Examen 2 +Examen 3 + Max(Examen1, Examen2, Examen 3)]*10%
Un polycopié est saisi par le chargé de cours à mesure que celui avance. Ce document est susceptible de contenir des erreurs et doit s'accompagner d'un présence en cours. Plus précisément le cours complète, corrige (le cas échéant), illustre et explique le document ( CoursFdM1).
Feuille de TD no 1 ( Calculs algébriques).
Feuille de TD no 2 ( Applications).
Feuille de TD no 3 ( Bases de logique).
Feuille de TD no 4 ( Fonctions usuelles).
Feuille de TD no 5 ( Nombres complexes).
Feuille de TD no 6 ( Suites réelles).
Feuille de TD no 7 ( Arithmétique).
Feuille de TD no 8 ( Limites et continuité).
Feuille de TD no 9 ( Polynômes).
Feuille de TD no 10 ( Dérivabilité).
Devoir Surveillé no 1 du 4 octobre ( Sujet Corrigé).
Devoir Surveillé no 2 du jeudi 8 novembre( Sujet Corrigé).
Partiel du jeudi 29 novembre ( Sujet Corrigé).
Devoir Surveillé no 3 du jeudi 8 décembre( Sujet Corrigé).
Séance 1 (2h30): Nombres réels : définition comme écriture décimale, inclusion des rationnels, propriétés de +, x et ⇐ (existence admise), propriété de la borne supérieure (esquisse d'une preuve de l'existence), valeur absolue. Sommes finis de nombres réels, Changement d'indice, sommes télescopiques, produit de sommes.
Séance 2 (2h00):
Somme des n premiers entiers, n premiers carrés d'entiers, etc.
Factorielle. Coefficients binomiaux. Formule du triangle de Pascal. Formule du binôme de Newton.
Séance 3 (2h30) : Parties d'un ensemble, intersection, réunion, exemples. Applications d'un ensemble dans un autre (les ensembles de départ et d'arrivée sont donnés !) : exemples. On peut y penser comme une collections de flèches entre ensemble, un graphe, ou une collection d'étiquettes sur un ensemble $E$ marquées avec les éléments d'un ensemble $F$. Injectivité, surjectivité, bijectivité : définition + interprétation sur les 3 “modèles” sus-cités. Composition : définition, exemple. Attention au sens !
Séance 4 (2h00) : Logique. Notion de prédicat, opérations ou, et, implique, non. Quantificateurs il existe et pour tout. Quelques techniques de preuve : disjonction de cas, inclusion de 2 parties d'un ensemble (directe, par passage au complémentaire), égalité de deux ensembles, implication (directe, contraposé), récurrence.
Séance 5 (3h00, le lundi 24 septembre) : Fonctions usuelles.
Séance 6 (2h00, le jeudi 27 septembre) : Suites réelles : définitions, exemples, monotonie,
Séance 7 (2h00, le jeudi 4 octobre) : limite d'une suite, définition exemples.
Séance 9 (2h00, le jeudi 11 octobre) :
Séance 10 (2h00, le lundi 15 octobre) : suites extraites Bolzano-Weierstrass.
Séance 12(2h00, le lundi 22 octobre) : Fin du chapitre : Une illustration d'application des suites : la Méthode de Héron de calcul d'une racine carré. Théorème de Cauchy.
Séance 13 (2h00, le lundi 5 novembre): Un exemple d'utilisation des suites pour atteindre des nombres inatteignables : $\exp(x)$. On a défini $e^x$ comme la limite de $(1+x/n)^n$ et montré que la fonction ainsi définie était bien sa propre dérivée.
Séance 7 (2h00, le lundi 1 octobre) : Nombres complexes.
Séance 8 (2h00, le lundi 8 octobre) :
Séance 11 (2h00, le jeudi 18 octobre) :
Séance 14 (2h00, le jeudi 8 novembre) : nombres premiers (définition, infinité, test de primalité, crible d'Erathostène), décomposition en produit de nombres premiers (preuve de l'existence), pgcd (définition et algorithmes par décomposition en facteurs premiers et Euclide).
Séance 16 (2h00, le jeudi 15 novembre) : théorèmes de Bezout, Gauss, congruence et théorème chinois
Séance 18 (2h00, le jeudi 22 novembre) : polynômes définition, somme, évaluation, composé, dérivation…
Séance 20 (2h00, le jeudi 29 novembre) : polynômes division euclidienne, nombre de racines d'un polynôme, polynômes irréductibles, théorème de décomposition.
Séance 21 (2h00, le lundi 3 décembre) : polynômes : pgcd, ppcm, Bezout, Gauss, congruence.
Séance 22 (1h00, le jeudi 3 décembre) : polynômes : ordre de multiplicité d'une racine
Séance 15 (2h00, le lundi 12 novembre) : Définition de limites, exemples et règles de calcul. Définition de fonction continue.
Séance 17 (2h00, le lundi 19 novembre) : théorème des valeurs intermédiaires, continuité, sur un intervalle fermé et borné.
Séance 19 (2h00, le lundi 26 novembre) : fonction continue :injectivité et monotonie, prolongement par continuité.
Séance 21 : définition, interprétation géométrique