Permutations d’un ensemble fini. (notion de groupe hors programme) Définition, produit de cycles à supports disjoints. Signature : définition, multiplicativité.
Déterminants d’une matrice à coefficients dans un corps. Définition, propriétés caractéristiques du déterminant : multilinéarité, caractère alterné, det(AB) = det(A) det(B), det(A) = 0 ssi A n'est pas inversible, det(tA) = det(A). Déterminant par blocs. Développement par rapport à une ligne/colonne.
Réduction. Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique. Liberté d’une famille infinie de vecteurs. Sous-espaces propres, sous-espaces caractéristiques. Diagonalisation, trigonalisation. Polynômes d’endomorphisme, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton. Décomposition de Dunford. Puissances d’une matrice, exponentielle de matrices, application aux équations différentielles à coefficients constants.
14 septembre : Motivations. Rappels rapides sur les prérequis en algèbre linéaire : espaces vectoriels, bases, dimension, applications linéaires, matrice associée à une application linéaire, matrices de changement de base. Chapitre 1 - Déterminants 1.1 Définition par récurrence du déterminant : Exemples. 1.2 Déterminant d'une famille de vecteurs colonne : Preuve de la linéarité en chaque variable de la fonction déterminant.
21 septembre : Preuve de deux résultats importants : le déterminant est multilinéaire alterné en les colonnes et une famille de n vecteurs (dans un espace vectoriel de dim n) forment une base si et seulement si le déterminant de la matrice formée par leur coordonnées dans une base quelconque est non nul. 1.3 - Permutations d'un ensemble fini : Définition, exemples. Cycles, longueur d'un cycle; décomposition en cycles à supports disjoints, décomposition en produit de transpositions.
28 septembre : Définition de la signature. 1.4 - Définition du déterminant par les permutations : preuve de l'équivalence des définitions. 1.5 Calcul de déterminants : le déterminant est invariant par transposition, le déterminant du produit est le produit des déterminants, déterminant de l'inverse d'une matrice inversible.
4 octobre : Développement du déterminant par rapport à une ligne ou une colonne quelconque. Déterminant d'un endomorphisme. 1.6 Déterminant des matrices triangulaires par blocs. Chapitre 2 - Valeurs propres, vecteurs propres 2.1 Valeurs propres : définition, exemples, polynôme caractéristique, définition d'un endomorphisme diagonalisable et d'une matrice diagonalisable. 2.2 Vecteurs propres : déf et propriétés de la somme directe de sous-espaces vectoriels.
11 octobre : Sous-espace propre; stabilité, les sous-esp. propres sont en somme directe, multiplicité géométrique inférieure ou égale à la multiplicité algébrique. 2.3 Critères de diagonalisation : équivalence entre u diagonalisable, P_u(X) scindé avec multiplicité alg=multi géom , et E=somme directe des espaces propres. corollaire : P_u(X) scindé à racines simples implique u diagonalisable (réciproque fausse!!!).
18 octobre : Chapitre 3 - Trigonalisation et applications 3.1 Critère de trigonalisation : définition, u diagonalisable ssi son poly. caract. est scindé. Pour u trigonalisable, tr u = somme des valeurs propres (avec multiplicité alg.) 3.2 Méthode de trigonalisation : exemples. 3.3 Application aux systèmes différentiels linéaires : définition d'un système différentiel linéaire à coefficients constants avec second membre, d'un système homogène, description de l'ensemble des solutions. Rappel rapide sur les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants avec second membre.
26 octobre : Partiel.
9 novembre : Chapitre 4 - Polynôme minimal 4.1 Polynômes d'endomorphismes : définition, opérations dans K[u], commutativité de la composition, polynôme annulateurs d'un endomorphisme, prop : les v.p d'un endomorphisme u sont parmi les racines de tout polynôme annulateur de u. 4.2 Théorème de Cayley-Hamilton : enoncé et preuve. 4.3 Polynôme minimal : pour un endomorphisme u preuve de l'existence d'un unique polynôme annulateur de u, unitaire qui divise tous les polynômes annulateurs de u. Prop : les v.p de u sont exactement les racines du polynôme minimal. Calcul du polynôme minimal, exemples.
16 novembre : Lemme des noyaux. Caractérisation de la diagonalisation par le polynôme minimal : un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé. Chapitre 5 - Décomposition spectrale 5.1 Espaces caractéristiques : définition des espaces caractéristiques, décomposition de tout l'espace en somme directe des espaces caractéristiques.
23 novembre : La dimension de l'espace caractéristique associé à une valeur propre est sa multiplicité algébrique. 5.2 Projecteurs spectraux : Rappels sur les projections, définition des projecteurs spectraux. Prop : 1) somme des projecteurs spectraux = identité, 2) composition de deux projecteurs spectraux différents est nulle 3) les projecteurs spectraux d'un endomorphisme u sont des polynômes en u.
30 novembre : 5.3 Décomposition de Dunford: Définition et quelques propriétés des matrices nilpotentes. Théorème de la décomposition de Dunford. Exemples.
7 décembre : Chapitre 6 - La fonction exponentielle 6.1 Calcul des puissances d'une matrice : calcul à l'aide des projecteurs spectraux dans le cas diagonalisable et trigonalisable. Exemples. 6.2 La fonction exponentielle : définition et premières propriétés (la plus part des démonstrations ont été admises). Calcul de l'exponentielle en utilisant les projecteurs spectraux pour les matrices trigonalisables. Exemples. 6.3 Retour aux systèmes d'équations différentielles : interprétation des solutions d'un tel système en utilisant l'exponentielle de matrices.
TD2 Déterminants et permutations
TD3 Valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation
TD4 Trigonalisation et applications
TD6 Décomposition spectrale,décomposition de Dunford, corrigé
TD6bis Décomposition spectrale,décomposition de Dunford, exponentielle, corrigé