Mesure et intégration

Semestre d'automne 2016

Cours: Sylvie Benzoni

TD:

• groupe A Nadine Badr
• groupe B Jérôme Germoni
• groupe C Klaus Niederkrüger

Khôlles:

• Nadine Guillotin (K1)
• Klaus Niederkrüger (K2)
• Gadi Perets (K3)
• Caïus Wojcik (K1)

Cours le mardi de 8h à 9h30 et de 16h30 à 18h. 1er cours le 13 septembre.

TD le lundi de 9h45 à 13h et le mardi de 11h30 à 13h. 1er TD le 19 septembre.

Khôlles le mardi de 14h à 16h, et le jeudi entre 14h et 18h.

Devoirs surveillés:

• lundi 7 novembre de 11h30 à 13h. Corrigé: ds1_cr.pdf
• mardi 6 décembre de 16h30 à 18h. Corrigé: ds2_cr.pdf

Contrôle final:

• session 1 mardi 3 janvier à 14h. Corrigé: lien externe

Consultation des copies:

• vendredi 20 janvier 10h-10h30 amphi Jordan

Rappels sur la dénombrabilité et opérations sur les ensembles.

Notion de limsup et liminf.

Tribus, tribus engendrées, tribu borélienne.

Fonctions mesurables.

Mesures, exemples : mesure de comptage, mesure de Dirac, mesure de Lebesgue (admis).

Fonctions étagées, définition de l’intégrale. Lien avec l’intégrale de Riemann.

Théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée.

Intégrales à paramètre : continuité, dérivabilité.

Mesure produit, théorème de Fubini (admis).

Changement de variables (admis).

Espaces L^p : définition, inégalité de Hölder, structure espace vectoriel normé, complétude, structure hilbertienne de L².

Convolution, régularisation par convolution, lemme d’Urysohn.

Transformée de Fourier : classe de Schwartz, L¹, extension à L².

13 septembre (un cours)

Chapitre I - Notations et vocabulaire ensemblistes

1. Exemples d'ensembles : ensemble vide, ensembles de nombres classiques, singletons, paires.
2. Appartenance versus inclusion.
3. Relations entre ensembles : inclusion, égalité, équipotence.
4. Réunions et intersections : réunions et intersections de familles d'ensembles , différence entre deux ensembles.
5. Produits cartésiens : couples, n-uplets.
6. Ensembles finis : cardinal, fonctions indicatrices.
7. Fonctions : image directe, image réciproque, injections, surjections.
8. Dénombrabilité : ensembles dénombrables, au plus dénombrables.

20 septembre (deux cours)

Chapitre II - Compléments sur les suites réelles

1. Limites inférieure / supérieure : définition, caractérisation des suites convergentes.
2. Valeurs d'adhérence : rappel du théorème de Bolzano-Weierstrass (toute suite réelle bornée admet au moins une valeur d'adhérence); la limite inférieure et la limite supérieure d'une suite bornée sont respectivement sa plus petite et sa plus grande valeur d'adhérence.

Chapitre III - Tribus

1. Définitions et premiers exemples : algèbre de parties, tribu, tribu grossière, tribu discrète.
2. Tribus engendrées.
3. Tribus boréliennes : contiennent les ouverts, les fermés, les réunions dénombrables de fermés (F_σ), les intersections dénombrables d'ouverts (G_δ) ; boréliens de R.
4. Fonctions mesurables : «exemple» des fonctions indicatrices d'ensembles mesurables.

27 septembre (deux cours)

Chapitre III - Tribus, suite

4) Fonctions mesurables : fonctions boréliennes ; tribu image par une fonction (la plus grande de l'ensemble d'arrivée rendant la fonction mesurable), tribu engendrée par une fonction (la plus petite de l'ensemble de départ rendant la fonction mesurable).

5) Tribus produit : sur un produit cartésien d'ensembles mesurables, la tribu produit est engendrée par les «rectangles mesurables» (c'est-à-dire les produits d'ensembles mesurables) ; c'est la plus petite tribu rendant les projections canoniques mesurables ; la tribu borélienne sur R^d est engendrée par les pavés (énoncé sans démonstration).

6) Stabilité de la classe des fonctions mesurables : la composée de deux fonctions mesurables est mesurable ; si deux fonctions f et g à valeurs réelles sont mesurables, les fonctions f₊=max(f,0), f_-=max(-f,0), |f|, f+g, fg, min(f,g) et max(f,g) le sont ; une fonction f à valeurs complexes est mesurable si et seulement si Re f et Im f le sont ; si deux fonctions f et g à valeurs complexes sont mesurables, les fonctions |f|, f+g et fg le sont ; si une fonction f à valeurs complexes est mesurable il existe une fonction g telle que |g|=1 et f=g|f| ; une fonction à valeurs dans un produit est mesurable si et seulement si ses composantes le sont ; pour une suite de fonctions mesurables (f_n) à valeurs dans la droite réelle achevée, sup(f_n), inf(f_n), limsup(f_n), liminf (f_n) sont mesurables ; si une suite de fonctions mesurables (f_n) converge simplement, sa limite est mesurable.

4 octobre (deux cours)

Chapitre IV - Introduction aux théories de l'intégration et de la mesure

1. Rappels sans démonstrations sur l'intégrale de Riemann: subdivisions d'un segment, fonctions en escalier, sommes de Riemann, fonctions intégrables au sens de Riemann, théorème de convergence dominée dans ce cadre.
2. Premiers pas vers la notion de mesure (approche heuristique): lien entre mesure des ensembles et intégrale de leurs fonctions indicatrices, fonctions étagées et leur intégrale, approximation de fonctions par des fonctions étagées.

Chapitre V - Mesures

1. Définitions et exemples: mesure (positive) sur un espace mesurable; mesure de comptage, mesure de Dirac, mesure de probabilité; un espace mesuré est un espace mesurable (c'est-à-dire un ensemble muni d'une tribu) muni d'une mesure.
2. Propriétés élémentaires: une mesure positive est monotone et sous-additive; la mesure d'une réunion croissante dénombrable de parties mesurables est la limite des mesures de ces parties; la mesure d'une intersection décroissante dénombrable de parties mesurables, dont la première est de mesure finie, est la limite des mesures de ces parties.
3. Premier aperçu de la mesure de Lebesgue: il existe une unique mesure positive sur R muni de sa tribu borélienne telle que la mesure de tout intervalle ouvert ]a,b[ avec a<b réels soit égale à b-a (admis); la mesure de Lebesgue des singletons est nulle.

11 octobre (deux cours)

Chapitre V - Mesures, suite

mesure de Lebesgue des intervalles; ensembles de Cantor.

4) Complétion des mesures: une partie N d'un ensemble X muni d'une tribu et d'une mesure μ sur cette tribu est dite μ-négligeable s'il existe une partie de X mesurable contenant N et de mesure nulle; une mesure μ est dite complète (sur sa tribu) si toute partie μ-négligeable est mesurable; la mesure de Lebesgue sur la tribu borélienne n'est pas complète (admis); par définition, la tribu complétée sur un espace mesuré est la tribu engendrée par les parties mesurables et les parties négligeables; les éléments de la tribu complétée sont les réunions de parties mesurables et de parties négligeables; de façon équivalente, une partie E est dans la tribu complétée si et seulement s'il existe des parties mesurables A et B telles que A ⊂ E ⊂ B et μ(B\A)=0; il existe une unique mesure μ* prolongeant μ à la tribu complétée, et μ*(A ∪ N) = μ(A) si A est dans la tribu de départ et N est négligeable.

5) Tribu et mesure de Lebesgue sur R^d

a) Cas d=1. On appelle tribu de Lebesgue sur R la tribu complétée de la tribu borélienne pour la mesure de Lebesgue. On appelle encore mesure de Lebesgue la mesure complétée sur la tribu de Lebesgue. Il existe des parties de R non Lebesgue-mesurables.

b) Cas d quelconque. Théorème admis: il existe une unique mesure positive λ_d sur R^d muni de sa tribu borélienne telle que la mesure de tout pavé P= ∏_i [a_i,b_i] est λ_d(P)=∏_i (b_i-a_i). On appelle mesure de Lebesgue la mesure λ_d sur la tribu borélienne ainsi que la mesure complétée sur la tribu de Lebesgue.

Propriétés géométriques (admises): la mesure de Lebesgue est invariante par translation et rotation; si u est un endomorphisme de R^d et E une partie Lebesgue-mesurable, alors λ_d(u(E))=|dét u| λ_d(E).

Propriétés topologiques (admises): la mesure de Lebesgue est borélienne, c'est-à-dire qu'elle ne prend que des valeurs finies sur les compacts, et elle est régulière, c'est-à-dire que pour toute partie E Lebesgue-mesurable,

λ_d(E) = sup { λ_d(K) ; K ⊂ E, K compact} = inf { λ_d(U) ; E ⊂ U, U ouvert}.

Une partie E est Lebesgue-mesurable si et seulement si elle s'écrit: E= G \ N avec G un G_δ et N mesurable de mesure nulle, ou de façon équivalente, E = F ∪ N avec F un F_σ et N mesurable de mesure nulle.

Chapitre VI - Intégrale de Lebesgue

1. Intégration des fonctions étagées positives mesurables

18 octobre (deux cours)

Chapitre VI - Intégrale de Lebesgue, suite

1. Intégration des fonctions étagées mesurables positives: définition, propriétés fondamentales (additivité, homogénéité positive, monotonie); mesure associée à une fonction étagée mesurable positive; toute fonction mesurable positive est limite croissante d'une suite de fonctions étagées mesurables positives.
2. Intégration des fonctions mesurables positives: définition, homogénéité positive, monotonie; théorème de convergence monotone (Beppo Levi); additivité de l'intégrale; interversion ∫ et ∑ (intégrale et somme d'une série de fonctions mesurables positives); lemme de Fatou; propriétés vraies presque partout.

25 octobre (deux cours)

Chapitre VI - Intégrale de Lebesgue, suite

1. Intégration des fonctions mesurables positives: mesure à densité par rapport à une autre mesure.
2. Fonctions Lebesgue-intégrables: fonctions à valeurs réelles, monotonie et linéarité de l'intégrale; fonctions à valeurs complexes; espace des fonctions Lebesgue-intégrables; sur un espace mesuré complet, une fonction coïncidant presque partout avec une fonction intégrable est intégrable; une fonction bornée est intégrable sur tout ensemble mesurable de mesure finie; théorème de convergence dominée; mesure image, théorème de transfert.

8 novembre (deux cours)

Chapitre VI - Intégrale de Lebesgue, suite

1. Lien entre intégrale pour la mesure de Lebesgue et intégrale de Riemann pour les fonctions d'une variable réelle.
2. Lien entre intégrale pour la mesure de comptage et somme de séries.

Chapitre VII - Intégrales à paramètres

1. Passage à la limite / continuité sous le signe ∫ : théorème de continuité sous le signe ∫ ; applications aux transformées de Fourier et de Laplace des fonctions intégrables, et à la fonction Γ.
2. Dérivation sous le signe ∫ : théorème de dérivabilité sous le signe ∫ ; application à la transformée de Laplace d'une fonction intégrable, et à la fonction Γ.

15 novembre (deux cours)

Chapitre VIII - Intégrales multiples

1. Mesures produits: rappels sur les tribus produits, classes monotones, espaces mesurés σ-finis, existence et unicité de la mesure produit sur le produit cartésien de deux espaces mesurés σ-finis.
2. Intégration sur un espace produit: théorème de Tonelli (pour les fonctions à valeurs dans [0,+∞]), théorème de Fubini (pour les fonctions à valeurs dans R ou C).

22 novembre (deux cours)

Chapitre VIII - Intégrales multiples, suite et fin

Exemples d'application des théorèmes de Tonelli et Fubini: intégration par parties sur un segment d'un intervalle de R (sans calcul différentiel) pour les fonctions localement intégrables sur cet intervalle; convolution de deux fonctions intégrables sur R.

Variante des théorèmes de Tonelli et Fubini pour les fonctions mesurables sur la tribu produit complétée.

3) Intégration sur R^d

Résultat partiellement admis: si p,q,d sont des entiers naturels non nuls avec d=p+q, la tribu borélienne sur R^d est la tribu produit de la tribu borélienne sur R^p et de la tribu borélienne sur R^q; elle est strictement incluse dans la tribu produit de la tribu de Lebesgue sur R^p et de la tribu de Lebesgue sur R^q, qui est elle-même strictement incluse dans la tribu de Lebesgue sur R^d; l'espace mesuré R^d muni de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue λ_d est le complété de R^pxR^q muni de la tribu produit de la tribu de Lebesgue sur R^p et de la tribu de Lebesgue sur R^q et de la mesure produit de λ_p⊗λ_q.

Calcul de la mesure de la boule unité dans R^d.

4) Changement de variables dans R^d

Rappel du théorème de transfert. Justification de la formule λ_d(u(A))=|dét u| λ_d(A) pour A borélien de R^d et u un endormorphisme de R^d. Justification de la formule de changement de variables lorsque le changement de variables est un isomorphisme de R^d.

Définition d'un difféomorphisme de classe C¹ entre deux ouverts de R^d. Caractérisation à l'aide du déterminant de la matrice jacobienne. Exemple des coordonnées polaires.

Théorème de changement de variables (admis). Application à l'intégration en coordonnées polaires.

29 novembre (deux cours)

Coordonnées sphériques.

Chapitre IX - Espaces L^p

1. Espaces L^p pour p ∈ [1,+∞[: définition; décroissance avec p lorsque l'espace est de mesure finie; croissance avec p lorsque l'espace est muni de la mesure de comptage.
2. Inégalités fondamentales: Hölder, en particulier Cauchy–Schwarz, Minkowski.
3. Espaces vectoriels normés L^p pour p ∈ [1,+∞[: théorème de Riesz-Fischer; L² est un espace de Hilbert.

6 décembre (un cours)

Chapitre IX - Espaces L^p, suite

4) Espaces L^∞: majorants essentiels, fonctions essentiellement bornées, inégalité de Hölder avec p=1, q=∞, L^∞ est complet.

19-20 Septembre: Feuille 1: Exercices 1 à 6 et 9 à 11.
26-27 Septembre: Feuille 1: Ex 7,12. Feuille 2: Ex 1 à 5.
3-4 Octobre: Feuille 2: Ex 6,7,8,10,11, 15.
10-11 Octobre: Feuille 2: Ex 16. Feuille 3: Ex 1 à 4. Ex 5, 1. , Ex 6 à 8.
17-18 Octobre: Feuille 3: Ex. 9-10-11. Feuille Intégrale de Riemann: Ex 1-2. Feuille 4: Ex 1 à 6.
25-26 Octobre: Feuille 4: Ex 8-9-10. Feuille 5: Ex 1, Ex 2 jusqu'à 3), Ex 3. Feuille 6: Ex 1,2.
7-8 Novembre: Feuille 6: Ex 3 à 7, 9, 10.
14-15 Novembre: Feuille 6: Ex 11 à 19, 21.
21-22 Novembre: Feuille 6: Ex 23. Feuille 7: Ex 1,2,3,6.
28-29 Novembre: Feuille 7: Ex 4,8,12. Feuille 8: Ex 1,2, début 3.
5-6 Décembre: Feuille 8: Ex 3,4,7,9, 10,11, début 13.

• 19-20 septembre : Feuille 1 : exercices 1 à 6 et 8.
• 26-27 septembre : Feuille 1 : exercices 9 à 12.
• 3-4 octobre : Feuille 2 : exercices 1 à 6 début du 7, 10 et 11.
• 10-11 octobre : Feuille 2 : fin exercice 7, exercices 8 et 16 ; feuille 3 : exercices 1, 2, 3, 4, 5.
• 17-18 octobre : Feuille 3 : exercice 6, 7, 8. Feuille 3,5 (intégrale de Riemann) : exercice 1, 2. Feuille 4 : exercice 1 (début).
• 24-25 octobre : Feuille 4 : fin exercice 1, exercices 2, 3, 5, 6, 8, 9. Feuille 5 : exercices 1, 2. Feuille 6 : exercices 1, 2, 3.1.
• 7-8 novembre : Feuille 6 : fin exercice 3, exercices 4, 5, 6, 7, 9, 10.
• 14-15 novembre : Feuille 6 : exercices 11 (CVM), 12 à 20 (CVD).
• 21-22 novembre : Feuille 6 : exercice 23. Feuille 7 : exercices 1 à 3.
• 28-29 novembre : Feuille 7 : exercices 4, 12. Feuille 8 : exercices 1, 2.
• 5-6 décembre : Feuille 8 : exercices 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12.
• 12-13 décembre : Feuille 9 : exercices 0 (intégrale de Gauss), 1, 3, 5, 7 (partie 2) + question 4 de l'examen 2016.

• Feuille 1: Ex. 1, 2, 5, 6, 9 à 12
• Feuille 2: Ex. 1 à 9, 10, 11, 15
• Feuille 3: Ex. 1 à 3, 6, 8, 9
• Feuille 3,5: Ex 1
• Feuille 4: Ex 1, 3, 5, 8, 10, 11
• Feuille 5: Ex 1
• Feuille 6: Ex 1-7, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 19, 21
• Feuille 7: Ex 2, 3, 4, 6, 11
• Feuille 8: Ex 1–4, 7,8