Analyse I (séquence 2 - info) - Automne 2015

Administrateur de cette page : Lorenzo Brandolese

Bibliographie et supports du cours :

• Diapositives du cours. En construction. Version du 7 septembre 2015. Chapitres 1,2,3,4,5. Ces diapositives ne sont pas un cours complet : elles ne contiennent pas les explications au tableau (exemples, dessins, démonstrations, etc.).
  • diapos.pdf. Format imprimable (paysage): 4 diapositives sur chaque page.
  • beamer-cours.pdf . Pour consultation sur écran : 1 diapositive par page.
• Polycopié 2013 de Stéphane Attal : poly-attal.pdf.

Parmi les nombreux livres bien faits, couvrant le programme d'analyse en L1 et disponibles à la BU, citons :

• Analyse 1re année - F. Liret et D. Martinais. Ed. DUNOD. [code BU 515.07 LIR] (Chap. 1 à 8).
• Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence- Sous la direction de J-P. Ramis et A. Warusfel. Niveau 1. DUNOD. [code BU 510.7 RAM]. (Chap. IV.1, IV.2, IV.3)

Annales des épreuves d'examens : lien

Interrogations en TD : les vendredis 2 octobre, 16 octobre, 6 novembre, 20 novembre, 4 décembre 2015. Interrogation de rattrapage (uniquement pour les absents justifiés signalés par la scolarité): lundi 14 décembre.

• Exercices de préparation au test du 2 octobre preparation-test1.pdf
• Exercices de préparation au test du 16 octobre preparation-test2.pdf
• Exercices de préparation au test du 6 novembre preparation-test3.pdf
• Exercices de préparation au test du 20 novembre preparation-test4.pdf
• Exercices de préparation au test du 4 décembre preparation-test5.pdf

Exemples de fiches de TD :

• fiche de TD 1 : Nombres réels, Sup, Inf, valeur absolue. Par Laurent Pujo-Menjouet.
• fiche de TD 2 : Suites.
• fiche de TD 3 : Généralités sur les fonctions réelles. Par Laurent Pujo-Menjouet.
• fiche de TD 4 : Limites de fonctions. Par Jean-Christophe Bénière et Pierre Lavaurs.
• fiche de TD 5 : Continuité, dérivées. Par Pierre Lavaurs.
• fiche de TD 6 : Equations différentielles. Par Thomas Strobl.

Plan du cours

1. Introduction à R
   1. Notations de base.
   2. Définition de l'ensemble R via l'écriture décimale.
   3. Relations d'ordre. Sup. Inf.
   4. Définition de somme et produit de nombres réels. Règles de calcul.
   5. Propriété d'Archimède, densité de Q. Racines.
   6. Valeur absolue et partie entière.
2. Suites
   1. Raisonnements par récurrence.
   2. Formule du binôme et inégalité de Bernouilli.
   3. Limite d'une suite.
   4. Propriétés des limites.
   5. Suites monotones.
   6. Suites géométriques et nombre e.
   7. Sous-suites et théorème de Bolzano-Weierstrass.
   8. Suites de Cauchy et complétude de R.
   9. Suites complexes
3. Fonctions, Limites, Continuité.
   1. Fonctions : domaine, image, inversibilité.
   2. Fonctions élémentaires.
   3. Limite des fonctions.
   4. Continuité : premières propriétés
   5. Les théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues : Weierstrass, TVI, Fonction inverse.
4. Dérivées
   1. Motivation et définition de la dérivée.
   2. Calcul de la dérivée des fonctions classiques.
   3. Opérations avec les dérivées.
   4. Théorèmes sur les fonctions dérivables : Rolle, Cauchy, accroissements finis.
   5. Étude de fonction et tracé du graphe.
   6. ln comme primitive de 1/x et exp comme inverse du logarithme.
   7. Dérivées d'ordre supérieures et convexité.
5. Équations différentielles d'ordre 1.
   1. Résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 (avec et sans second membre). Méthode de variation de la constante. Équations à variables séparées.
6. Approfondissements
   1. démonstration de quelques théorèmes admis.

Avancement du cours

Consulter le fichier diapos.pdf pour avoir une idée précise de l'avancement du cours :

• cours N.1, du 7 septembre : chapitre 1, sections 1 à 4.
• cours N.2, du 14 septembre : Fin chapitre 1. Chapitre 2, sections 1 et 2 (sauf l'inégalité de Bernouilli).
• cours N.3, du 21 septembre : Chapitre 2: Fin section 2. Définition de suite, sections 3 et 4 (sauf l'utilisation des suites pour le calcul de sup et inf).
• cours N.4, du 28 septembre : Chapitre 2, fin section 4 et sections 5,6 (sauf le nombre e)
• cours N.5, du 5 octobre. Chapitre 2, fin section 6. Sections 7,8,9 (sauf la remarque qu'une suite complexe converge si et seulement si les suites des parties réelles et complexes convergent).
• cours N.6, du 12 octobre. Fin Chapitre 2. Chapitre 3. Section 1. Début section 2 (seuls les rappels et graphes des fonctions affine, puissance et racines).
• cours N. 7, du 19 octobre. Chapitre 3. Fin section 2: fonctions périodiques, paires/impaires, trigonométriques, exp et log. Section 3. Limites : définitions et opérations. Lien avec la limite des suites. Notion d'équivalent, équivalents remarquables en 0 : sin(x), cos(x)-1, exp(x)-1, ln(1+x), tan(x) (sans démonstration pour l'instant).
• cours N. 8, du 2 novembre. Énoncé des théorèmes de croissance comparée pour l'exponentiel et le logarithme. Fonctions continues.
• cours N. 9, du 9 novembre. Chapitre 4, sections 1,2,3 (jusqu'à l'énoncé de la formule de la dérivée de la fonction composée).
• cours N. 10, du 16 novembre. Chapitre 4, fin section 3 (dérivée de la fonction composée, de l'application inverse, dérivée de arcsin, arccos, arctan). Sections 4, 5, 6. Applications du théorème de l'Hospital au calculs des limites admis précédemment.
• cours N. 11, du 23 novembre. Fin section 4.5 : asymptotes. Section 4.6. Primitives. Retour sur ln et exp. Convexité. Définition et caractérisation avec la dérivée et la dérivée seconde (sans démonstration).
• cours N. 12. du 30 novembre. Équations différentielles. Résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 1.