Analyse numérique - semestre d'automne 2014

On rappelle que, outre ce que contient cette page, l'on peut trouver en lignes des informations sur :

• les notes et les groupes de TD/TP ;
• les emplois du temps et les salles ;
• les archives de l'année dernière.

Il est possible de contacter les intervenants aux adresses suivantes :

• Cours magistral : M. Rodrigues.
• Groupe A de TD/TP : Mme Bergot.
• Groupe B de TD/TP : M. Rodrigues.
• Groupe C de TD/TP : M. Tine.

Tous les intervenants possèdent un bureau dans le bâtiment de mathématiques (bâtiment Braconnier). Il est possible de les y rencontrer sur rendez-vous.

La note finale sera constituée d'une moyenne des notes de cinq épreuves :

• deux contrôles continus d'environ une heure, comptant chacun pour 20% de la note finale ;
• deux comptes-rendus de travaux pratiques de 3h, comptant chacun pour 15% de la note finale ;
• un contrôle final de trois heures, comptant pour 30% de la note finale.

Les travaux pratiques notés seront ceux du 18 novembre et du 16 décembre. Pendants ces épreuves seules sont autorisées les fiches des travaux pratiques précédents et deux feuilles A4 recto verso de la main de l'étudiant.

Les contrôles continus auront lieu le 13 novembre (à la place du cours) et le 4 décembre (à la place du cours). Pendant les contrôles continus sont autorisées les fiches de rappel et une feuille A4 recto verso de la main de l'étudiant.

• Devoir 1 : sujet et corrigé.
• Devoir 2 : sujet et corrigé.
• Devoir 3 : le QCM et ses réponses, les problèmes et des éléments de correction.

L'épreuve finale se déroulera le 12 janvier à 8h30. Pour cet examen sont autorisées les fiches de rappel et deux feuilles A4 recto verso de la main de l'étudiant.

La consultation des copies de l'épreuve finale et la remise des derniers travaux pratiques notés auront lieu en amphi Jordan du bâtiment de mathématique (bâtiment Braconnier), le lundi 19 janvier à 10h.

Le cours ne suit à la lettre aucun livre précis mais il s'inspire de quelques classiques du sujet :

• G. Allaire et S.M. Kaber, Algèbre linéaire numérique ;
• P. Ciarlet, Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation complété par son livre d'exercices Exercices d'analyse numérique matricielle et d'optimisation par P. Ciarlet, J.-M. Thomas et B. Miara ;
• M. Crouzeix et A.L. Mignot, Analyse numérique des équations différentielles complété par son livre d'exercices Exercices d'analyse numérique des équations différentielles par les mêmes auteurs ;
• J.-P. Demailly, Analyse numerique et équations differentielles ;
• F. Filbet, Analyse numérique ;
• M. Schatzman, Analyse numérique ;

ou de sommes plus complètes comme :

• A. Quarteroni, R. Sacco et F. Saleri, Méthodes numériques ;
• J. Stoer et R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis.

Si ce n'est tous, du moins une grande partie de ces livres sont consultables à la bibliothèque de mathématiques (bâtiment Braconnier).

Le cours s'étale sur vingt-quatre heures.

Chaque jeudi de cours une heure de permanence est ouverte aux questions, sans rendez-vous, de 12h45 à 13h45 en le bureau 258 du bâtiment de mathématiques (bâtiment Braconnier).

Plan et avancement :

1. Algèbre linéaire :
   1. Introduction : efficacité, stabilité, consistance, grande matrice et approximation.
   2. Rappels d'algèbre linéaire dont décomposition spectrale, décomposition de Schur et caractère ouvert de l'ensemble des matrices inversibles.
   3. Normes et conditionnement : rappels sur les normes, normes lp, normes matricielles, norme de Frobenius, norme subordonnée, conditionnement.
   4. Systèmes linéaires bien posés : méthodes directes par factorisation, factorisation PLU et algorithme de Gauss, factorisation de Cholesky, factorisation QR ; méthodes approchées itératives par décomposition, critères de convergence, méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel et de relaxation, cas des matrices à diagonale strictement dominante, cas des matrices symétriques définies positives.
   5. Moindres carrés : définition, équation normale, existence, critère d'unicité, pseudo-inverse, calcul par Cholesky, calcul par QR.
   6. Recherche de modes propres : continuité des valeurs propres, régularité dans le cas à valeurs propres simples, conditionnement spectral, caractère Lipschitz du spectre dans le cas diagonalisable ; méthode de la puissance, puissance inverse, recherche de la plus proche valeur propre ; méthode QR.
2. Problèmes non linéaires :
   1. Rappels de calcul différentiel dont différentiabilité, développements de Taylor, convexité, point fixe de Banach, inversion locale.
   2. Méthodes itératives : notion de convergence locale, vitesse de convergence, ordre 1, ordre alpha>1, représentation graphique, critères locaux ou itératifs.
   3. Systèmes non linéaires : unicité locale, stabilité ; méthode de Newton, convergence locale et ordre 2 ; méthode de la sécante, convergence locale et ordre le nombre d'or ; dichotomie, convergence locale et ordre 1.
   4. Optimisation : unicité locale des minima locaux comme point critique, stabilité ; méthode du gradient à pas fixe, convergence globale et ordre 1.
3. Interpolation et méthodes de quadrature :
   1. Interpolation polynomiale : interpolation de Lagrange, forme de Lagrange, stabilité, différences divisées, forme de Newton, erreur d'interpolation, rayon de convergence et convergence de l'approximation, phénomène de Runge, points de Tchebychev, interpolation polynomiale par morceaux, interpolation de Hermite.
   2. Quadrature : ordre de convergence d'une méthode à un pas de discrétisation, méthodes des rectangles à gauche et à droite, du point milieu, des trapèzes, ordre d'exactitude polynomiale et ordre de convergence, méthode de Gauss-Legendre.
   3. Interpolation trigonométrique : séries de Fourier, périodisation et phénomène de Gibbs ; polynôme trigonométrique d'interpolation, transformée de Fourier discrète, approximation des coefficients de Fourier, erreur d'interpolation, précision spectrale ; principe du calcul rapide (FFT), diviser pour régner.
4. Équations différentielles :
   1. Rappels sur les équations différentielles dont réduction d'ordre, formulation intégrale, théorème de Cauchy-Lipschitz, propagation de la régularité, dépendance Lipschitz par rapport à la donnée initiale, critère d'explosion en temps fini, cas globalement Lipschitzien, lemme de Gronwall, cas linéaire autonome, formule de Duhamel.
   2. Schémas numériques : principe, itération et quadrature, schéma d'Euler explicite ; schémas à un pas, convergence, ordre de convergence, consistance, ordre de consistance, critères explicites d'ordre de consistance, stabilité, cas continu et discret, consistance plus stabilité donnent convergence, ordres de consistance et de convergence, ordre 1 pour Euler explicite ; schéma d'Euler implicite, justification pour des pas petits, réécriture comme un schéma à un pas, ordre 1 pour Euler implicite, méthodes de Runge-Kutta d'ordre 2 et d'ordre 4, tableaux des méthodes de Runge-Kutta.

Les travaux dirigés se déroulent sur vingt-quatre heures.

• Normes matricielles et conditionnement [1]
• Systèmes linéaires bien posés [2]
• Moindres carrés [3]
• Modes propres [4]
• Problèmes non linéaires [5]
• Interpolation et quadrature [6]
• Équations différentielles [7]

Douze heures de travaux pratiques sont programmées.

Pour vous permettre de vous entraîner à l'exercice, les jours ouvrés, des salles informatiques sont à votre disposition en journée dans le bâtiment Ariane. Pour vous seconder dans votre entraînement, vous trouverez un « Petit Guide de Survie en Scilab » sur la page de M. Joly, un collègue grenoblois, et une page de documents pour « Démarrer en Scilab » parmi le matériel pédagogique de l'Université de Grenoble.