Topologie Générale - Automne 2014

Responsable de l'UE et chargé de cours : Simon MASNOU, masnou@math.univ-lyon1.fr,
(Bureau 109B, Bâtiment Braconnier)

Chargés de TD :
Groupe A : Lorenzo BRANDOLESE, brandolese@math.univ-lyon1.fr
Groupe B : Luca ZAMBONI, zamboni@math.univ-lyon1.fr

Chargés de Khôlles :
Groupe K1 : Lorenzo BRANDOLESE, brandolese@math.univ-lyon1.fr
Groupe K2 : Luca ZAMBONI, zamboni@math.univ-lyon1.fr

Les cours auront lieu le lundi de 14h à 16h aux dates suivantes :

Le partiel aura lieu le jeudi 27 novembre de 16h30 à 18h30 dans l'amphi Jordan (bâtiment Braconnier)
Le programme du partiel couvre tout le cours jusqu'aux espaces de Banach inclus

L'examen final aura lieu le lundi 5 janvier de 13h à 16h
Le programme de l'examen final couvre tout le cours jusqu'aux résultats sur la connexité (inclus)

Archives d'examen
Partiel du 4 novembre 2013 énoncé
Partiel du 4 novembre 2013 énoncé+correction
Examen final du 10 janvier 2014 énoncé
Examen final du 10 janvier 2014 + correction énoncé+correction

Déroulement des travaux dirigés
Les TD auront lieu le vendredi de 9h45 à 13h du 19/09 au 12/12 inclus.

Les exercices de TD qui seront traités en séance sont disponibles ici

Déroulement des khôlles
Les khôlles auront lieu le lundi du 22/09 au 15/12 inclus. Les horaires sont 16h30-18h30 pour M. Brandolese et 16h15-18h15 pour M. Zamboni.

Le planning des khôlles est disponible ici

Chaque khôlle durera une heure et comportera nécessairement une ou plusieurs questions de cours suivies d'exercices (la connaissance du cours conditionne fortement la note). Chaque étudiant passera 3 khôlles au cours du semestre.

Les salles attribuées aux cours, TD et khôlles sont disponibles sur http://adelb.univ-lyon1.fr/

La moyenne des 3 notes de khôlle comptera pour 30% dans la note finale
La note de partiel (2h) comptera pour 30%
La note de contrôle final (3h, début janvier) comptera pour 40%

Les notes d'examen seront disponibles au fur et à mesure sur http://tomuss.univ-lyon1.fr

Topologie, H. Queffélec, Dunod
Topologie générale, J. Dixmier, PUF
Topologie et analyse fonctionnelle, C. Wagschal, Hermann
Analyse fonctionnelle : théorie et applications, H. Brézis, Masson

Les notes de cours seront mises à jour au fur et à mesure. Version du 27/12/14

C1(08/09) : Définition d'une topologie sur un ensemble X, ouverts; topologies grossière et discrète;
Plus petite topologie engendrée par une partie de P(X) (existence et structure); Base d'une topologie;
Fermés; Voisinages (définition et propriétés, bases de voisinages); Espace séparé;
Distance, espace métrique, exemples.

C2(15/09) : Norme, espaces normés, exemples (normes sur R^N, normes l^p et L^p sans preuves). Boules dans un espace métrique. Topologie engendrée par les boules “ouvertes” (grâce à la caractérisation de la plus petite topologie engendrée par une partie de P(X)). Les boules “ouvertes” sont ouvertes ! Tout ouvert est une union de boules ouvertes. Caractérisation des ouverts, des voisinages à l'aide des boules ouvertes. Métrique produit (deux espaces, un nombre fini d'espaces). Définitions de l'intérieur et de l'adhérence.

C3(22/09) : Propriétés de l'intérieur et de l'adhérence; points isolés, points d'accumulation, points adhérents (dans les espaces topologiques, dans les espaces métriques); Partie dense. Espace séparable. Dans un espace métrique séparable, il existe une base dénombrable de boules ouvertes.
Définition de l'équivalence topologique de métriques et de l'équivalence forte.

C4(29/09) : Fin des équivalences de métriques et de normes.
Topologie induite, sous-espaces topologiques.
Limites de suites dans un espace topologique et dans un espace métrique. Unicité de la limite dans un espace séparé.
Dans un espace métrique, l'adhérence de A coïncide avec l'ensemble des limites des suites d'éléments de A.
Valeur d'adhérence d'une suite (espace topologiFin des équivalences de métriques et de normes Sous-espaces topologiques Limites de suites dans un espace topologique et dans un espace métrique. Unicité de la limite dans un espace séparé Dans un espace métrique, l'adhérence de A coïncide avec l'ensemble des limites des suites d'éléments de A Valeur d'adhérence d'une suite (espace topologique, espace métrique) La limite d'une suite dans un espace topologique est une valeur d'adhérence. En outre, si l'espace est séparé, c'est la seule valeur d'adhérence.

C5(6/10) : Caractérisation de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite (x_n) comme le fermé ∩_{n∈ N}Adhérence({x_m, m≥n}). Différences avec les points adhérents de {x_n, n∈ N}.
Notion de suite extraite. Dans un espace topologique, si l est limite d'une suite extraite alors c'est une valeur d'adhérence de la suite initiale. Réciproquement, dans un espace métrique, si l est valeur d'adhérence alors c'est la limite d'une suite extraite. Évocation des espaces à base dénombrable de voisinages.
Limite d'une fonction entre deux espaces topologiques. Caractérisation dans un espace métrique.
Définition (par les voisinages) de la continuité d'une fonction entre deux espaces topologiques. Une fonction est continue si, et seulement si, l'image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) est ouvert (resp. fermé). Quelques propriétés de la continuité dans un espace topologique. Différences avec les applications ouvertes ou fermées. Caractérisation de la continuité d'une application entre deux espaces métriques. Définitions de la convergence simple d'une suite de fonctions entre deux espaces topologiques et de la convergence uniforme d'une suite de fonctions d'un espace topologique dans un espace métrique.

(13/10) : pas de cours

C6(20/10) : La limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. Métrique uniforme sur l'espace vectoriel des fonctions bornées entre un espace topologique et un espace métrique. Application lipschitzienne. Isométrie.
Homéomorphismes : définition, plusieurs exemples notamment la projection stéréographique.
Applications linéaires entre deux espaces normés : la continuité globale équivaut à la continuité en 0, à l'uniforme continuité et au caractère lipschitzien.

C7(3/11) Norme usuelle (et ses différentes expressions) sur l'espace vectoriel L(E,F) des applications linéaires et continues entre deux espaces normés E et F. Exemple d'application linéaire non continue. Toute application linéaire entre deux espaces de dimensions finies est continue.
Produit de deux espaces normés et norme sur le produit, produit de n espaces normés.
Formes bilinéaires continues et norme sur l'espace de ces formes.
Suites de Cauchy, critère de Cauchy. Toute suite de Cauchy est bornée. Toute suite extraite d'une suite de Cauchy est une suite de Cauchy. Toute suite convergente dans un espace métrique est une suite de Cauchy. Une suite de Cauchy converge ssi elle a une valeur d'adhérence. Définition d'un espace complet. R muni de sa métrique usuelle est complet. La complétude n'est pas un invariant topologique. R muni de d(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)| n'est pas complet alors que d est topologiquement équivalente à la métrique usuelle. De même R est homéomorphe à ]0,1[ qui n'est pas complet.
Un sous-espace complet d'un espace métrique est fermé. Tout fermé d'un complet est complet. Corollaire aux deux propositions : si E est complet alors une partie A de E est complète ssi elle est fermée. Dans un complet, l'intersection d'une suite décroissante de fermés non vides dont le diamètre tend vers 0 est un singleton. Un produit fini d'espaces complets est complet.

C8(10/11) Si X est un ensemble et Y un espace métrique complet alors l'espace B(X,Y) des applications bornées de X dans Y est complet pour la métrique uniforme. Si X est un espace topologique et Y un espace métrique complet alors l'espace C_b(X,Y) des applications continues et bornées de X dans Y est complet pour la métrique uniforme. Théorème de prolongement des applications uniformément continues sur un sous-espace dense.
Application strictement contractante. Théorème du point fixe de Picard.
Définition d'un espace de Banach. Si X est un ensemble et E un Banach, l'espace (B(X,E),d_∞) est un Banach. De même si X est un espace topologique et E un Banach, (C_b(X,E),d_∞) est un Banach. Si E est un espace normé et F un Banach, l'espace L(E,F) des applications linéaires et continues de E dans F est un Banach pour la norme naturelle.

C9(17/11) Les espaces L^p sont des espaces de Banach (résultat énoncé sans preuve). L² est un espace de Hilbert (idem). L'espace C_b(X,E) muni d'une norme L^p avec p<∞ n'est pas un espace de Banach (contre-exemple). Prolongement des applications linéaires continues sur un sous-espace vectoriel dense d'un espace normé, à valeurs dans un espace de Banach.
Compacité : un espace compact est un espace séparé vérifiant la propriété de Borel-Lebesgue. Partie compacte d'un espace topologique. Caractérisation de la compacité par la propriété sur les fermés duale de Borel-Lebesgue. Corollaire : dans un compact, l'intersection d'une suite décroissante de fermés non vides est non vide. Toute suite d'éléments d'un compact admet au moins une valeur d'adhérence. La suite converge si cette valeur d'adhérence est unique. Tout fermé d'un compact est compact. Tout compact est fermé. Stabilité de la compacité par intersection quelconque et par union finie, mais pas pas union quelconque.

C10(24/11) Théorème de Tychonoff (énoncé sans preuve). L'image d'un compact par une application continue à valeurs dans un espace séparé est compacte. Compacts métrisables : toute partie compacte d'un espace métrique est fermée et bornée. Propriété de Bolzano-Weierstrass (preuve avec le lemme de Lebesgue). Corollaire : tout espace métrique compact est complet.
Tout compact non vide de R contient un plus petit point et un plus grand point. L'intervalle [0,1] est compact. Les parties compactes de Rⁿ sont les parties fermées et bornées. Rⁿ est complet.
Si f est continue sur un compact et à valeurs réelles alors f est bornée et atteint ses bornes.

C11(1/12) Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Théorème de Heine.
Connexité : définitions ensemblistes et équivalence avec le fait que toute application continue sur l'espace et à valeurs dans Z est constante (et plus géné ralement toute application continue à valeurs dans un espace discret de cardinal au moins 2). Lemme du passage des douanes. [0,1] est une partie connexe de R.
Résultats de stabilité : union quelconque de connexes d'intersection totale non vide, chaîne finie de connexes. Produit de connexes (sans preuve)
L'image d'un connexe par une application continue est un connexe.
Tout ensemble coincé entre un connexe et son adhérence est connexe.

C12(8/12) Connexité par arcs. C'est une relation d'équivalence. La connexité par arcs entraîne la connexité. Réciproque pour les ouverts connexes d'un espace vectoriel normé. Contre-exemple pour le cas général. Les connexes de R sont les intervalles. Conséquences : théorème des valeurs intermédiaires et théorème du point fixe de Brouwer en dimension 1.

Espaces de Hilbert. Rappel des définitions. Théorème de la projection, sous-espace orthogonal, théorème de représentation de Riesz.