Algèbre pour la géométrie et l'arithmétique - semestre d'automne 2013

Cours et travaux dirigés par Maria Carrizosa (carrizosa[at]math.univ-lyon1.fr) & Thomas Blossier (blossier[at]math.univ-lyon1.fr) Bur 239 Bâtiment Braconnier

Contrôles

CC jeudi 7 novembre (sujet)
Contrôle final vendredi 10 janvier (sujet, corrigé)

Programme du cours

1. Arithmétique élémentaire

Anneau euclidien (Z,+,x) : divisibilité, nombres premiers, division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, lemme de Gauss, PPCM, décomposition d'un entier en nombres premiers.
Arithmétique des congruences : congruence, les anneaux quotients Z/nZ, indicatrice d'Euler, théorème des restes chinois.

2. Groupes

Groupes, sous-groupes, morphismes, isomorphismes.
Exemples (en cours-TD) : groupe des racines n-ième l'unicté; centre du groupe linéaire; groupe orthogonal en dimension 2; groupe des isométries du carré.
Groupe symétrique : décomposition en cycles à supports disjoints, ordre d'une permutation (cf fiche 3 cours-TD).
Théorème de Lagrange, sous-groupes distingués, groupes quotients, théorème d'isomorphisme de Noether.

3. Anneaux de polynômes / Anneaux euclidiens

Anneaux, corps, exemples, morphismes, caractéristique, anneaux intègres, corps de fractions.
Anneaux de polynômes : définition, degré, division euclidienne, racines, polynômes scindés, rappel du théorème de d'Alembert-Gauss, polynôme dérivé et racines multiples.
Anneaux euclidiens : définition, PGCD, algorithme d'Euclide, identité de Bézout, lemme de Gauss, irréductibles, anneaux factoriels.
Critères d'irréductibilité dans Z[X] et Q[X] : polynômes primitifs de Z[X], Z[X] est factoriel, critère d'Eisenstein, réductions modulo p.

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Nombres constructibles (cf. Fiche 6)

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Fiches de TD

Fiche 1 : Arithmétique élémentaire.
Fiche 2 : Généralités sur les groupes - Groupes de matrices.
Fiche 3 : Groupe symétrique.
Fiche 4 : Groupes : ordres, sous-groupes distingués, quotients.
Fiche 5 : Anneaux de polynômes / Anneaux euclidiens.

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Fiche 6 : Constructions géométriques à la règle et au compas. (Exemples avec GeoGebra)

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<html><!– Pour réviser

De nombreux exercices (dont certains corrigés) sur le site Exo7
Les sujets de l'an dernier : Page du cours Automne 2011
Pour l'arithmétique, le problème 2 de la seconde épreuve du CAPES 2013 et les 3 premières questions du problème 1 de la première épreuve du CAPES 2013
La seconde épreuve du CAPES 2012

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<html><!– Contrôles continus

CC1 vendredi 19 octobre 2012 (45mn / 20 % note finale) (sujet)
CC2 vendredi 30 novembre 2012 (1h30 / 30 % note finale) (sujet)
3 courtes interrogations durant le semestre (10 % note finale)

Contrôle final

contrôle final vendredi 18 janvier 2013 de 13h à 16h (40 % note finale) (sujet)

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Références

D. Guin, Algèbre (Tome 1 : Groupes et anneaux), Belin (1997)
D. Guin, T. Hausberger, Algèbre I (Groupes, corps et théorie de Galois), EDP Sciences (2008)
F. Liret, D. Martinais, Algèbre 1ère année, Dunod (2003)

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