Contenu
1. Bases de logique : Quantificateurs, équivalence, contraposée, négation, récurrence.
2. Les ensembles : Ensembles, inclusion, intersection, réunion, complémentaire, parties d’un ensemble E, produit cartésien, cardinal d’un ensemble fini (comme nombre d’éléments d’un ensemble).
3. Application de E vers F : Injectivité, surjectivité, bijectivité, composée de deux applications.
4. Arithmétique dans Z : Division euclidienne, congruence, théorème de Gauss, identité de Bézout, petit théorème de Fermat, pgcd, ppcm, divisibilité, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, congruences.
5. Nombres complexes : Propriétés algébriques, exponentielle complexe, racines n-ième de l’unité, résolution des équations du second degré à coefficients complexes. Écriture dans C des transformations suivantes : translations, rotations et homothétie.
6. Géométrie dans R2 : Bases, applications linéaires, matrice d’une application linéaire dans une base. Automorphismes de R2, matrice d’une bijection réciproque (par inversion d’un système). Critère nécessaire et suffisant de bijectivité (déterminant non nul). Composées d’applications linéaires, matrices de ces composées. Définition d’une rotation, définition d’une projection p2=p, d’une symétrie s2=Id, homothétie.
On traitera en cours un certain nombre d’exemples de composées de ces diverses transformations du plan et on donnera des exemples de droites invariantes de façon à caractériser ces projections et symétries dans le but de donner de donner une culture de base dans le domaine des applications linéaires.
Contrôles
Six Contrôles Continus de vingt minutes toutes les deux semaines au début des TD (à partir du deuxième) : 60%
Les exercices seront semblables à ceux des listes suivantes :
Interro 1 le 26 septembre Interro 2 lme 10 octobre Interro 3 le 24 octobre Interro 4 le 14 novembre Interro 5 le 28 novembre Interro 6 le 12 décembre
Contrôle Final : 40%
Documents en ligne
Le livre d'Alain Soyeur, François Capaces et Emmanuel Vieillard-Baron. Nous concernent les chapitres 1 (nombres complexes), 2 (géométrie de R2), 8 (entiers, ensembles finis) et 20 (arithmétique) ainsi que l'appendice A (techniques de démonstration) pour la logique.
Fiches de TD
Livre recommandé
François Liret et Dominique Martinais, Algèbre 1re année, Dunod.
Pour s’entraîner
Dans cette page vous trouverez les CCF des années passées ainsi que des exercices corrigés.
CC et CF du cours d'automne 2011 :
CC1 Séq 1, CC1 Séq 2 , CC1 corrigé Séq 1, CC1 corrigé Séq 2.
CC2, CC2 corrigé.
CC3 Séq 1, CC3 corrigé Séq 1, CC3 Séq 2, CC3 corrigé Séq 2.
CF, CF corrigé.
CC et CF du cours de printemps 2012 :
CC1, CC1 corrigé.
CC2, CC2 corrigé.
CC3, CC3 corrigé.
CF, CF corrigé.
CC et CF du cours d'automne 2012 :
CC1 Séq 5, CC1 corrigé Séq 5.
CC2, CC2 corrigé.
CC3 Séq 5, CC3 corrigé Séq 5.
CF, CF corrigé.
CF du cours d'automne 2013 :
Sujet et corrigé.
CF du cours d'automne 2014 :
Sujet et corrigé.
Quelques exercices corrigés sur la récurrence, les applications, le binôme de Newton, les complexes et la géométrie plane.
Avancement du cours
* semaine du 08 septembre : Raisonnement mathématique : énoncés, négation, conjonction (et), disjonction (ou), implication et équivalence. Quantificateurs. Équivalence entre énoncés, table de vérité. Types de raisonnement : direct, par cas, par contraposée, par l'absurde. Récurrence simple et récurrence forte.
* semaine du 15 septembre : Ensembles et notation ensembliste. Ensemble, appartenance, égalité entre ensembles. L'ensemble vide. Sous-ensembles, inclusion. Réunion, intersection, complémentaire et leurs propriétés. Ensemble des parties d'un ensemble. Produit cartésien de deux ou plusieurs ensembles, couples et n-uples. Égalité entre deux couples / n-uples. Applications : Ensemble de départ ou domaine, ensemble d'arrivée, image, graphe. La fonction identité idX.
* semaine du 22 septembre : Associativité de la composition. Injectivité, surjectivité, bijectivité d'une application, exemples. Le cardinal d'un ensemble fini ; propriétés. Cardinal d'un produit cartésien de deux ensembles finis, et de l'ensemble des fonction d'un ensemble fini X dans un autre Y.
* semaine du 29 septembre : Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini. Coefficients binomiaux, triangle de Pascal, formule binomiale. Équivalence de l'injectivité/surjectivité/bijectivité et l'existence d'un inverse à gauche/droite/bilatère. Fonction réciproque ; fonction réciproque d'une fonction composée. Arithmétique : entiers (naturels) et entiers relatifs, diviseur, multiple. Propriétés de base. Division euclidienne (avec quotient et reste).
* semaine du 6 octobre : Plus grand commun diviseur de deux entiers, algorithme d'Euclide, théorème de Bézout et applications. Solutions de ax + by = c. Théorème de Gauss. Plus petit commun multiple. Les nombres premiers : définition, facteur premier. Preuve de l'existence d'une infinité de nombres premiers.
* semaine du 13 octobre : Décomposition en facteurs premiers (existence et unicité). Congruences : symétrie, transitivité, invariance additive et multiplicative. Calcul d'une puissance modulo un entier. Résolution de l'équation ax≡b [n]. Théorème chinois des restes. Résolution du système d'équations x≡a [n] et x≡b [k]. Petit théorème de Fermat.
* semaine du 20 octobre : Le corps C des nombres complexes. Définition, addition, multiplication, inverse multiplicatif. Propriétés (commutativité, associativité additive et multiplicative). Partie réelle et partie complexe. R comme sous-corps de C. Conjugué complexe et module, propriétés. Inégalité triangulaire. Racines carrées d'un nombre complexe (forme algébrique).
* semaine du 3 novembre : Équations polynomiales de degré 2 à coefficients complexes. Exponentiation complexe, identité d'Euler. Formes cartésienne, trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe. Le plan complexe. Formules de Moivre et d'Euler. Racines n-ièmes, racines de l'unité. Applications a la trigonométrie, linéarisation.
* semaine du 10 novembre : Transformations du plan complexe : Translation, rotation (centre et angle), homothétie (centre et rapport) ; conjugaison complexe z → z. Similitudes directes z → a z+b et indirectes z → a z+b ; points invariants. Composition de similitudes. Inversion z → 1/z et transformation de Möbius z → (az+b)/(cz+d) avec ad-bc≠0.
* semaine du 17 novembre : Géométrie du plan. Points, vecteurs ; addition vectorielle et multiplication scalaire ; espace vectoriel réel. Combinaisons linéaires, droites vectorielles. Vecteurs colinéaires, bases ; caractérisation d'un base de R² comme couple de vecteurs non colinéaires. Applications linéaires ; image et noyau d'une application linéaire comme sous-espace vectoriel. Matrice associée à une application linéaire.
* semaine du 24 novembre : Déterminant : Définition, expression dans une base orthonormale directe. Propriétés : antisymétrie, bilinéarité, invariance par rotation. Interprétation du déterminant comme aire orienté du parallélogramme engendré. Coordonnées d'un vecteur dans une base arbitraire. Changement de base, matrice de changement de base. Résolution d'un système de deux équations linéaires en deux inconnus.
* semaine du 1 décembre : Base orthogonale, normale, directe, indirecte, orthonormale. Produit scalaire : définition, expression dans une base orthonormale. Propriétés : symétrie, bilinéarité, invariance par rotation et réflexion. Similitudes directes linéaires : Rotations et homothéties de centre 0 ; matrices associées. Similitudes indirectes linéaires : symétrie par rapport à une droite vectorielle, composée avec une similitude directe linéaire. Déterminant positif/négatif pour une application linéaire bijective directe/indirecte. Projections orthogonales sur une droite. Distance d'un point à une droite. Équation cartésienne d'une droite. Équation cartésienne, équation AP.BP=0 pour le cercle de diamètre AB.