Table des matières

Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - 2024-2025
Semestre d'automne
- Analyse
- Algèbre
Semestre de printemps
- Analyse
- Algèbre

Mathématiques en cursus préparatoires deuxième année - 2024-2025

Colloscope

Semestre d'automne

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

2 septembre (partie 1) : Chap.1 - Intégrales généralisées : intégrales convergentes/divergentes, cas où une seule des deux bornes est impropre, intégrales de Riemann (preuves sur [a;+infini[ et ]0;a] à connaître), propriétés des intégrales convergentes (linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, changement de variables).
2 septembre (partie 2) : Intégration par parties généralisée (preuve à connaître), fonction intégrable (ex des fonctions continues sur un segment, fonctions de Riemann), lien avec l'intégrabilité sur un intervalle inclus dans I, rappels sur les comparaisons locales de fonctions (domination, négligeabilité, équivalence, lien entre f=o(g)(ou f~g) et f=O(g)), théorème de comparaison pour l'intégrabilité (pour des fonctions positives dans le cas où f est majorée par g).
9 septembre : théorèmes de comparaison concernant l'intégrabilité (pour des fonctions complexes avec o, O et ~), exemples d'études explicites, combinaison linéaire de fonctions intégrables, inégalité de Cauchy-Schwarz, l'intégrabilité de f sur I entraîne la convergence de l'intégrale de f sur I, définition d'une intégrale absolument convergente/semi-convergente, exemple d'intégrale semi-convergente.
16 septembre (partie 1) : retour sur les intégrales semi-convergentes, règle de Bertrand au voisinage de l'infini (idée de la preuve à connaître, à savoir redémontrer sur un exemple explicite), au voisinage de 0 (savoir se ramener au voisinage de +infini par changement de variable, preuve à connaître). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Chap.2 - Séries numériques : Vocabulaire (définition d'une série, somme partielle et reste d'ordre n, convergence/divergence). Si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire, la preuve peut être demandée en colle), convergence d'une série télescopique (preuve à connaître).
16 septembre (partie 2) : exemple de série télescopique obtenue à l'aide d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence), exemples d'utilisation (convergence de la série de terme général 1/n^2 parmi les exemples). Critères de convergence pour les séries numériques : règle de D'Alembert (énoncé seulement pour l'instant).
23 septembre : Règle de D'Alembert (preuve à savoir refaire, demander uniquement un seul des cas l<1 ou l>1) et exemples, théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement d'une somme partielle à l'aide de deux intégrales à savoir refaire, la question peut être posée en colle), séries de référence : rappel des séries télescopiques et géométriques, séries de Riemann (preuve à connaître). Série définissant l'exponentielle (preuve à connaître, faite uniquement pour les séries à termes positifs pour l'instant), (attention : les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : définition de la convergence absolue.
30 septembre (partie 1) : La convergence absolue d'une série numérique entraîne la convergence. (Le critère de Cauchy sur les sommes partielles ne sera pas vu), définition de semi-convergence. Retour sur la preuve de la série définissant l'exponentielle (preuve à savoir refaire). Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). Exemples pour insister sur l'importance de l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique.
30 septembre (partie 2) : Théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Chap.3 - Suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, convergence simple, domaine de convergence simple (exemples), unicité de la limite simple, propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité (non encore prouvées).
9 octobre : Propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité (la preuve est à savoir refaire). Exemples de propriétés non préservées par passage à la limite simple : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0), la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque). Techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration), exemples rédigés.
14 octobre (partie 1) : propriétés préservées par passage à la limite uniforme : caractère borné, continuité (la preuve peut être donnée en question de cours). Énoncé du théorème de la double limite et exemple d'utilisation, théorèmes d'échange limite et intégrale : théorème d'interversion limite et intégrale dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues (la preuve peut être demandée en question de cours), généralisation du théorème d'échange limite et intégrale sur un segment dans le cas d'une suite de fonctions c.p.m. convergeant uniformément vers une fonction c.p.m.
14 octobre (partie 2) : Théorème de convergence dominée, exemples d'utilisation. Théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1, extension aux suites de fonctions de classe C^p. Chap.4 - Séries de fonctions : vocabulaire de base (définition, somme partielle), convergence simple.
23 octobre : convergence simple d'une série de fonctions (définie par la convergence simple de la suite de fonctions des sommes partielles, puis caractérisation par la convergence de la série numérique associée en tout point), exemples d'étude de domaines de convergence simple, la convergence simple de la série de fonctions entraîne la convergence simple de la suite de fonctions de son terme général vers la fonction nulle, en cas de convergence simple définition du reste d'ordre n et propriétés de celui-ci, convergence absolue simple (lien avec la convergence simple), uniforme. La convergence uniforme entraîne la convergence simple. Condition nécessaire de convergence uniforme sur la suite de fonctions du terme général. Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemple (dans un cas où le reste pouvait se calculer explicitement seulement pour l'instant).
04 novembre : (partie 1) Exemples d'étude de convergence uniforme (utilisation du critère des séries alternées pour la majoration du reste lorsque c'est possible). Convergence normale, liens avec les autres modes de convergence (différents contre-exemple sur les implications qui ne fonctionnent pas, la démo de la convergence normale entraîne la convergence absolue simple et la convergence uniforme est à connaître). Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme, exemples (méthodes d'étude de non convergence uniforme dans le cas de fonctions positives : par minoration de R_n, par encadrement série/intégrale).
04 novembre (partie 2) : Théorème de continuité pour les séries de fonctions et exemples d'utilisation, théorème de la double limite (interversion limite/série), Théorème d'interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment), exemples, énoncé du théorème d'intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque). Exemple d'utilisation.
* 13 novembre : Brève explication concernant l'utilisation du théorème de convergence dominée sur les sommes partielles pour intervertir série et intégrale dans les cas où les théorèmes d'interversion série/intégrale ne fonctionneraient pas, théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1), exemples d'application, extension du théorème de dérivation aux fonctions de classe C^p. Chap.5 - Séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel (la preuve peut être demandée en question de cours).
18 novembre : Deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R d'une série entière (exemples de détermination de rayons), lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R (où R est le rayon de convergence), encadrement du domaine de convergence et exemples explicites de détermination du domaine de convergence d'une série entière, détermination pratique du rayon : règle de D'Alembert (la preuve est à savoir refaire, dans le cas où l appartient à ]0,+infini[), règle de Cauchy.
24 novembre (partie 1) : retour sur la règle de Cauchy (preuve à connaître, dans le cas où l appartient à ]0;+infini[), exemples de détermination du rayon de séries lacunaires (de la forme sum a_n z^{3n} par exemple). Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence). Série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence (la preuve est à savoir refaire).
24 novembre (partie 2) : Séries entières d'une variable réelle : continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans ]-R;R[, série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur ]-R;R[ et dérivable terme à terme. Exemples d'utilisation.
2 décembre : Expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Application sur les coefficients impairs/pairs d'une fonction somme de série entière paire/impaire (les étudiants doivent savoir refaire le raisonnement, la preuve peut être demandée). Fonction exponentielle complexe (définition et premières propriétés : exponentielle d'une somme, inverse, conjugué, module). Fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes (définition et écriture comme sommes de séries entières (preuves à connaître)). Fonctions d'une variable réelle développables en séries entières : définition (en 0 et en un point quelconque).

Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

Les TD d'analyse ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:

Rouchdi Bahloul (groupe P6)
Louis Dupaigne (groupe P7)
Eric Delaygue(groupe P9)
Gaelle Dejou (groupe P10)

Fiches de TD

Avancement :

Groupe P6 :

04/09 : Fiche 1 : ex. 1, 2, 3 et 4 + (correction écrite de 5, 6 et 7).
11/09 : Fiche 2 : ex. 1 et 2 (sauf 2.7).
18/09 : Fiche 2 : Fin du 2; ex. 3, 4 en partie, 5.
25/09 : Fiche 2 : Ex. 6, 7(1), 8. Fiche 3 : Ex. 1, 2, 3(1). Correction des exos restants dans la fiche 2.
02/10 : Fiche 3 : Fin de l'ex. 3 puis ex. 4, 5, 6.
09/10 : Fiche 3 : Fiche 3 : ex. 8, 9, 10, 11(2), 12(1 et 2). Fiche 4 : ex. 1 (en rappelant des définitions avant).
16/10 : Fiche 4 : ex. de 2 à 5.
23/10 : Fiche 4 : ex. 6, 7, 8, et tout début du 9 (question 1 pas terminée).
06/11 : Fiche 4 : Ex. 9, 10, 11.
13/11 : Fiche 4 : ex. 14. — Fiche 5 : ex. 1 et 2. Correction des exos restants dans la fiche 4.
20/11 : Fiche 5 : ex. 3 à 7. Correction des ex. 8 et 9 (non-traités en TD)
27/11 : Fiche 6 : ex. 1, 2, 3, 4 (questions 1 à 4).
04/12 : Fiche 6 : fin de l'ex. 4; ex. 5 et 6 (Q1 à Q4).
11/12 : Fiche 6 : ex. 7, 8, 9 et 10 (Q1 à Q6).
18/12 : Fiche 6 : ex. 11, 12 et 13 (demi-TD pour analyse, l'autre partie pour l'algèbre).

Groupe P7 :

04/09 Fiche 1 Ex 1, 2, 3.2, 4.1, 4.3, 4.4, 5, 6
11/09 Fiche 1 Ex 3.1 et 4.2 Fiche 2 Ex 1, 2.1-3, 2.5
18/09 Fiche 2 Ex 2.4, 2.6, 3, 7.1
25/09 Fiche 2 Ex 2.7, 7.2, 9 Fiche 3 Ex 3(1-3c)
02/10 Fiche 3 Ex 1.1, 2, 3.3(d), 4, 5, 6, 7
09/10 Fiche 3 Ex 8,9,11,15
16/10 Fiche 4 Ex 1,2,3,4,5
23/10 Fiche 4 Ex 6,7 Travail sur le DS1
06/11 Fiche 4 Ex 9, 11, 14 Fiche 5 Ex. 1.1, 1.2 (cv. simple et normale)
13/11 Fiche 5 Ex 1, 2, 3, 4, 5
20/11 Fiche 5 Ex 6.1, 8, 9
27/11 Fiche 6 Ex 1, 2, 3, 4
04/12 Fiche 6 Ex 6,7
11/12 Fiche 6 Ex 7(fin), 8, 9, 10, 11(1)

Groupe P9 :

04/09. Fiche 1 : Exercices 1 à 7.
11/09. Fiche 2 : Exercices 1, 2 et 3.1.
18/09. Fiche 2 : Exercices 3 à 7.
25/09. Fiche 2 : Exercices 8 et 9(1). Feuille 3 : Exercices 1 et 2.
02/10. Fiche 3 : Exercice 3.
09/10. Fiche 3 : Exercices 4, 7 et 9.
16/10. Pas de TD.
23/10 (4h30) : Fiche 3 : Exercices 6, 8, 11(1), 13 et 15. Fiche 4 : Exercices 1, 2 et 3.
06/11 : Fiche 4 : Exercices 4, 5, 7, 9 et 14.
13/11 (4h30) : Fiche 4 : Exercices 10 et 11. Fiche 5 : Exercices 1 (Q2 et Q3), 2 et 8 (Q1 et Q2).
20/11 : Fiche 5 : Exercices 3, 4, 7 et 8.
27/11 : Fiche 6 : Exercices 1, 2, 3 et 5.
04/12 : Fiche 6 : Exercices 6 (sauf Q5,7), 7, 9, 10 (sauf Q4,6,8,9), 11-13.
11/12 : Fiche 6 : Exercices 4, 8 et 10 (Q4 et Q6).

Groupe P10 :

04/09 : Fiche 1 : exercices 1 à 5 (correction des 6 et 7 donnée)
11/09 : Fiche 2 : Exercices 1, 2 (sauf Q4) et question 1 de l'exo 3.
18/09 : Fiche 2 : Q4 de l'exo 2, fin de l'exo 3, exo 4, Q1 de l'exo 5 et Q1 de l'exo 7.
25/09 : Fiche 2 : fin des exos 5 et 7, exos 8 et 9. Fiche 3 : exo 1 (Q1 et Q2), exo 2 (Q1 et Q2).
02/10 : Fiche 3 : fin des exos 1 et 2, exos 3 et 5.
09/10 : Fiche 3 : exos 4, 6, 9, 10 et 11 (Q1 et 2 seulement).
16/10 : Fiche 3 : exos 8 et 13 (corrigés des 7, fin du 11, 12 et 14 donnés). Fiche 4 : exercices 1 et 2.
23/10 : Fiche 4 : exercices 3, 4, 5, 7 et 9.
06/11 : Fiche 4 : exercices 10, 11 et 14 (corrigés des 6, 8, 12, 13 et 15 donnés). Fiche 5 : 1.1 (uniquement la convergence simple pour l'instant).
13/11 : Fiche 5 : exo 1 (Q1 et Q2), exos 2 et 3 (sauf Q4), Q1 de l'exo 4.
20/11 : Fiche 5 : fin des exos 3 et 4, exos 5, 7 et 8.
27/11 : Fiche 5 : exos 6 et 9. Fiche 6 : exos 1, 2 et uniquement la Q1 de l'exo 3.
04/12 : Fiche 6 : fin de l'exercice 3, exo 4 (sauf Q6), exo 6 (Q1 à 3 seulement).
11/12 : Fiche 6 : fin de l'exo 6, exos 7, 9, début du 10.
18/12 : Fiche 6 : fin de l'exo 10 (sauf Q8 et Q9), 11 (Q1 et Q2) (demi-TD pour l'analyse seulement).

Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Gaelle Dejou.

04 septembre (partie 1) : Introduction aux objectifs de réduction sur un exemple explicite. Chap.1 Groupe symétrique : définition d'un groupe, du groupe symétrique, cardinal, pour n supérieur à 3, le groupe symétrique n'est pas commutatif (preuve à connaître), cycle, transposition. Deux permutations à supports disjoints commutent. Décomposition de toute permutation en produit de cycles à supports disjoints puis en produit de transpositions. Nombre d'inversions d'une signature, signature d'une permutation.
04 septembre (partie 2) : Signature d'une transposition (preuve à connaître), signature d'une composée de deux permutations, application à la signature d'un cycle de longueur p. Chap.2 Déterminants : définition du déterminant d'une matrice carrée de taille n, expression explicite du déterminant dans le cas n=1 et le cas n=2 (les preuves sont à connaître), déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (la preuve est à connaître), d'une matrice diagonale, le déterminant d'une matrice et de sa transposée sont les mêmes.
09 septembre : Effet sur le déterminant d'une permutation des colonnes de la matrice, le déterminant est une application multilinéaire alternée. Déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales (la preuve est à connaître), ou dont les colonnes sont liées (preuve à connaître), déterminant d'un produit de matrices. Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice à l'aide du déterminant et déterminant de la matrice inverse. Retour sur les effets des opérations élémentaires sur les colonnes (ou les lignes).
11 septembre : Exemples de calculs de déterminants par triangulation. Définition d'un mineur d'ordre r d'une matrice et des cofacteurs, formule de développement du déterminant selon une rangée, exemples de calculs explicites. Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure par blocs. Comatrice, le produit d'une matrice A et de la transposée de sa comatrice donne det(A) I_n (pas encore prouvé), application au calcul d'inverse d'une matrice.
18 septembre : Preuve de la formule liant une matrice et la transposée de sa comatrice. Le rang d'une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice, caractérisation du rang comme l'ordre maximal des mineurs non nuls extraits/comme la taille maximale des matrices carrées inversibles extraites, exemples d'utilisation. Formules de Cramer. Déterminant d'un endomorphisme : les matrices d'un endomorphisme ont toutes le même déterminant (preuve à connaître), déterminant d'un endomorphisme (invariance du déterminant par changement de base, définition, caractérisation de la bijectivité, déterminant d'une composée).
23 septembre : Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée (définition, effet d'un changement de base, caractérisation d'une base, déterminant d'une famille d'images de vecteurs par un endomorphisme u en fonction du déterminant de u et de celui de la famille). Chap.3 - Diagonalisation (version géométrique) : Somme directe d'une famille de sous-espaces vectoriels, lien avec l'intersection des sev, caractérisation à l'aide de la dimension (preuve à connaître), caractérisation à l'aide de la concaténation des bases respectives des sous-espaces, définition d'une base adaptée à la décomposition de l'espace en somme directe de sev.
25 septembre : Sous-espaces stables : définition, exemples, somme et intersection de sous-espaces stables (preuve à connaître). Si deux endomorphismes u et v commutent, leurs noyaux et images respectifs sont stables par u et v (preuve à connaître). Endomorphisme induit : définition, endomorphisme induit par une somme, une composée, noyau et image d'un endomorphisme induit. Caractérisation matricielle en dimension finie de la stabilité d'un sev, de plusieurs sev. Éléments propres d'un endomorphisme : définition de valeur propre, vecteur propre.
2 octobre : Définition du sous-espace propre associé à une valeur propre. Les sous-espaces propres de u sont stables par tous les endomorphismes commutant avec u. Somme directe des sous-espaces propres, liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. En dimension n, un endomorphisme admet au plus n valeurs propres distinctes. Exemples d'étude des éléments propres d'un endomorphisme en dimension infinie. Éléments propres d'une matrice carrée : définition de valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice. Lien entre le spectre d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base, idem avec les sous-espaces propres respectifs (en particulier, spectre et espaces propres de l'endomorphisme de M_{n,1}(K) canoniquement associé à une matrice A). Deux matrices semblables ont même spectre.
7 octobre (partie 1) : Polynôme caractéristique d'une matrice carrée (défini comme unitaire), coefficients remarquables du polynôme caractéristique (preuve à connaître), les valeurs propres d'une matrice sont exactement les racines dans K de son polynôme caractéristique (preuve à connaître), nombre maximal de valeurs propres d'une matrice de taille n, une matrice complexe possède au moins une valeur propre complexe. Matrice compagnon d'un polynôme unitaire P, son polynôme caractéristique est égal à P. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique (preuve à connaître), définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme. Traduction des résultats précédemment vus sur les matrices en terme d'endomorphismes.
7 octobre (partie 2) : Retour sur la définition de polynôme scindé/scindé à racines simples sur K. Définition des multiplicités algébriques et géométriques d'une valeur propre. La somme des multiplicités algébriques des valeurs propres est inférieure ou égale à la dimension de l'espace vectoriel, tout endomorphisme d'un C-ev possède exactement dim(E) valeurs propres comptées avec multiplicité algébrique. Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit divise le polynôme caractéristique de u (démonstration à connaître), la multiplicité géométrique est supérieure à 1 et inférieure à la multiplicité algébrique. Diagonalisabilité : définition d'un endomorphisme diagonalisable (il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale), caractérisation équivalente avec l'existence d'une base formée de vecteurs propres, caractérisations équivalentes à l'aide des sous-espaces propres (E est la somme directe de ceux-ci/la somme de leurs dimensions vaut dim(E)/le polynôme caractéristique est scindé sur K et les multiplicités algébriques et géométriques de chaque valeur propre sont égales). Condition suffisante de diagonalisabilité : \chi_u est scindé à racines simples sur K.
16 octobre : Matrice diagonalisable : définition, lien avec la diagonalisabilité d'un endomorphisme associé, traduction matricielle des caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité vues sur les endomorphismes, explication de la méthode de diagonalisation et exemples rédigés de diagonalisation d'endomorphismes, de matrices. Chap. 4 : Diagonalisation (version algébrique) : définition de l'évaluation d'un polynôme en un endomorphisme, propriétés (évaluation d'une combinaison linéaire de polynômes et d'un produit seulement pour l'instant).
21 octobre (partie 1) : Polynômes d'endomorphismes. Définition d'un polynôme annulateur d'un endomorphisme et exemples, les valeurs propres d'un endomorphisme figurent parmi les racines des polynômes annulateurs (la démo est à savoir refaire), inclusion réciproque fausse, exemples, théorème de Cayley-Hamilton. Évaluation d'un polynôme en une matrice, exemples sur des matrices diagonales/triangulaires, propriétés des polynômes en une matrice, polynôme annulateur d'une matrice, lien avec les polynômes annulateurs d'un endomorphisme associé. Deux matrices semblables ont même polynômes annulateurs (preuve à connaître (2 versions faites en cours)). Version matricielle du théorème de Cayley-Hamilton.
21 octobre (partie 2): Polynôme minimal (défini comme l'unique polynôme annulateur unitaire de u de degré inférieur à celui de tout polynôme non nul annulateur de u), son degré est supérieur ou égal à 1, les polynômes minimaux d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base quelconque sont égaux, le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur (la preuve est à connaître), les valeurs propres sont les racines du polynôme minimal. Lemme des noyaux et corollaire avec m polynômes 2 à 2 premiers entre eux.
6 novembre : Caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité à l'aide du polynôme minimal ou d'un polynôme annulateur, exemples, réduction d'un endomorphisme induit sur un sous-espace stable, application à la codiagonalisation de deux endomorphismes diagonalisables qui commutent, version matricielle.
18 novembre : Chap. 5 : Trigonalisation : définition d'un endomorphisme trigonalisable (donnée avec une matrice triangulaire supérieure, puis explication du passage à une matrice triangulaire inférieure). Une base (e_1,..,e_n) de E est une base de trigonalisation de u ssi les espaces vectoriels Vect(e_1,…,e_k) sont stables par u. Définition d'une matrice trigonalisable, lien entre matrice trigonalisable et endomorphisme trigonalisable. Endomorphismes nilpotents, caractérisations équivalentes d'un endomorphisme nilpotent : par l'existence d'une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure stricte, par le polynôme caractéristique. Version matricielle.
20 novembre : Un endomorphisme u est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé sur K, ssi il existe un polynôme annulateur de u scindé sur K, ssi son polynôme minimal est scindé sur K, cas des endomorphismes d'un C-ev (resp. matrices complexes). Dans le cas trigonalisable, la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité est la trace,et le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité le déterminant, exemple d'utilisation pour obtenir toutes les valeurs propres d'un endomorphisme de rang 1. Toute matrice trigonalisable est semblable à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme lambda I + N où N est nilpotente, trigonalisabilité d'un endomorphisme induit. Sous-espace caractéristique (défini comme le noyau de (u-lambda Id)^m où m est la multiplicité algébrique de lambda, égalité avec le noyau de (u-lambda Id)^alpha où alpha est la multiplicité de lambda en tant que racine du polynôme minimal de u, dimension de cet espace). Explication de la méthode de trigonalisation dans le cas où la somme des dimensions des sous-espaces propres est égal à dim(E)-1.
27 novembre : méthode de trigonalisation pour obtenir une matrice triangulaire supérieure T spécifique : diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme lambda I + N où N est nilpotente (afin d'écrire T= D'+N' avec D' diagonale, N' nilpotente et D'N'=N'D'), exemples. Chap. 6 : Applications de la réduction : puissances de matrices et d'endomorphismes dans le cas diagonalisable à l'aide de la diagonalisation, dans le cas trigonalisable, formule du binôme de Newton (pour des endomorphismes/matrices qui commutent), calculs de puissances à l'aide de la division euclidienne de X^k par un polynôme annulateur. Exemples explicites.
2 décembre : Systèmes récurrents linéaires, exemple de résolution d'un système récurrent. Exponentielle de matrices : définition de la convergence d'une suite de matrices (par la convergence de chacun des coefficients), d'une série de matrice, la convergence absolue entraîne la convergence (j'ai utilisé la norme infinie pour la définition de la convergence absolue), convergence de la série de terme général A^k/k!, définition de exp(A). Exponentielle d'une somme de matrices lorsque celles-ci commutent, exp(P^{-1}AP) =P^{-1} exp(A)P.
4 décembre : Exemples de calculs d'exponentielles de matrices (par diagonalisation, cas d'une matrice nilpotente, par utilisation d'un polynôme annulateur). Définition de la dérivation d'une fonction à valeurs dans M_n(K), dérivation d'une somme, d'un produit, dérivabilité de l'application t→ exp(tA). Définition de l'exponentielle d'un endomorphisme u comme l'unique endomorphisme dont la matrice dans une base B est l'exponentielle de Mat_B(u). Systèmes différentiels homogènes X'(t)=AX(t) : la solution générale est t→ exp(tA) X_0, unicité d'un problème de Cauchy associé.

Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

Les TD d'algèbre ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:

Rouchdi Bahloul(groupe P6)
Lorenzo Scaglione (groupe P7)
Adrien Perrel (groupe P9)
Gaelle Dejou (groupe P10)

Fiches de TD

Avancement

Groupe P6 :

06/09 : Fiche 1 : ex. 1 à 4 (le 4 presque fini).
13/09 : Fiche 1 : Fin du 4; ex. 5, 6, 7 et 8 (question 1).
20/09 : Fiche 1 : fin du 8; ex. 10, 11, 12, 16 (1) avec deux méthodes dont la formule avec la comatrice, 17. ( Correction TD 1 des exos non-traités en TD)
27/09 : Fiche 2 : ex. 1 à 9, 10 (presque fini).
04/09 : Fiche 2 : fin du 10; puis ex. 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
11/10 : Fiche 3 : ex. 1 à 6.
18/10 : Fiche 3 : ex. 7 – Fiche 4 : ex. 1 (sauf question 5), ex. 2 (question 1).
25/10 : Fiche 4 : Fin du 2 puis ex. 3, 4, 5, 6, 7 (question 1).
08/11 : Fiche 4 : fin du 7. Fiche 5 : Ex. 1, 2 et 3(Q1, Q2, Q3).
15/11 : Fiche 5 : fin de l'ex. 3 puis ex. 4, 5, 6, 7, 9.
22/11 : Fiche 5 : ex. 10, 11, 12, 13 —- Fiche 6 : ex. 1.
29/11 : Fiche 6 : ex. 2 à 6.
06/12 : Fiche 6 : ex. 7 à 12.
13/12 : Fiche 7 : ex. 1 à 6.
18/12 : Fiche 8 : ex. 1 à 4 (demi-TD en algèbre)
20/12 : Fiche 8 : ex. 5 à 9 + indications ou début des ex. 11, 12 et 13.

Groupe P7 :

06/09 : feuille 1, exercices 1, 3 ex. 2 à faire pour prochaine séance
13/09 : feuille 1, exercices 4, 5, 6, 7(1,2), 8
20/09 : feuille 1, exercices 7(3,4), 9, 12, 10(1) ex.10 à terminer pour prochaine séance
27/09 : feuille 1, exercices 10. Feuille 2, ex. 1-7
04/10 : feuille 2, exercices 10. 7(D), 8-14, 16-20
11/10 : feuille 3, exercices 1-3, 5(1). ex. 4 à faire pour prochaine séance
18/10 : feuille 3, exercices 5, 6, 7. Feuille 4 ex. 1.1
25/10 : feuille 4 : ex. 1, 2. ex. 4 commencé, à terminer pour prochaine séance
08/11 : feuille 4, exercices 5-6-7. Feuille 5 ex.1
15/11 : feuille ex. 2, 3, 4, 6, 7, 9
22/11 : feuille 5, exercices 11, 12, 13 ; feuille 6, ex. 1-2.
29/11 : feuille 6, ex. 3-8.
06/12 : feuille 6 : ex. 9-13.
13/12 : feuille 7, exercice 1-6.
18/12 : feuille 8, ex 1,2,4,8,12

Groupe P9 :

06/09 : feuille 1, exercices 1 à 5.
13/09 : feuille 1, exercices 6 à 8 et 10, exercice 9 esquissé (sans les calculs).
20/09 : feuille 1, exercices 12 à 15, 16A et 17.
27/09 : feuille 2, exercices 1 à 10.
04/10 : feuille 2, exercices 11 à 13 et 15 à 20.
11/10 : feuille 3, exercices 1 à 5.
18/10 : feuille 3, exercices 6, 8 et 9.
25/10 : feuille 4, exercices 1, 2 et 5.
08/11 : feuille 4, exercices 4 et 6 ; feuille 5, exercices 1 et 2.
15/11 : feuille 4, exercice 7 ; feuille 5, exercices 13, 3, 4, 5, 7 et 8.
22/11 : feuille 5, exercices 9, 11, 12 ; feuille 6, exercice 3 (1re ligne).
29/11 : feuille 6, exercices 1 à 7 et 11.
06/12 : feuille 6, exercices 8, 9, 10, 12, 13 (exercice 14 à faire) ; feuille 7, exercices 1 et 2 (exercice 3 à faire).
13/12 : feuille 6, exercice 14 ; feuille 7, exercice 4 à 6 (corrigé du 3 donné).
18/12 : feuille 8, exercices 1, 4, 7 et 2 (Q1).
20/12 : feuille 8, exercices 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12

(pour les variations de la constante, les calculs de primitives n'ont pas été menés jusqu'au bout).

Groupe P10 :

06/09 : Fiche 1 : exos 1 à 3, Q1 de l'exo 4 seulement.
13/09 : Fiche 1 : fin de l'exo 4, exos 5, 6, 8, 9 (questions 1 et 2 seulement)
20/09 : Fiche 1 : fin de l'exo 9, exos 10, 11, 13, 14A. (corrigés des 15, 16 et 17 donnés)
27/09 : Fiche 2 : exos 1 à 8 (exo 9 entamé avec rappel de cours).
04/10 : Fiche 2 : exos 9 à 13, 16 à 19.
11/10 : Fiche 2 : exos 15 et 20. Fiche 3, exos 1 et 2, 3 (jusqu'à Q3(b) comprise)
18/10 : Fiche 3 : fin de l'exo 3, exos 4 à 6. Fiche 4 : exercice 1.
25/10 : Fiche 4 : retour sur la Q5 de l'exo 1, exos 2, 3 et Q1 de l'exo 5.
08/11 : Fiche 4 : fin de l'exo 5, exos 6 et 7. Fiche 5 : exercice 1.
15/11 : Fiche 5 : exos 2, 3, 4 et 5 (rappels sur les symétries vectorielles).
22/11 : Fiche 5 : exos 6 à 9, 11 et 12 (corrigés des 10 et 13 donnés).
29/11 : Fiche 6 : exercices 1 à 5 et 8.
06/12 : Fiche 6 : exercices 9, 10 et 11 (corrigés des 12 et 13 donnés). Fiche 7 : exercices 1 et 2.
13/12 : Fiche 7 : exercices 3 à 5. Fiche 8 : exercice 1 et début du 2.
20/12 : Fiche 8 : exercices 2 à 5, 7, 8, 10, explications rapides pour le 11.

Devoirs

Dates prévisionnelles (horaires : lundi de 17h30 à 19h)

DS1 CUPGE : lundi 23 septembre
DS1 commun : lundi 30 septembre - Le sujet du DS et une correction.
DS2 CUPGE : lundi 21 octobre
DS2 commun : lundi 4 novembre - Sujet du DS et Correction de la partie Analyse et Correction de la partie algèbre
DS3 CUPGE : lundi 18 novembre
DS3 commmun : lundi 25 novembre Sujet du DS et Correction de la partie analyse et Correction de la partie algèbre
DS4 CUPGE : lundi 9 décembre
DS4 commun : lundi 16 décembre

Pour s'entraîner

Le sujet avec sa correction de la session 1 d'analyse de 2023-2024
Le sujet avec sa correction de la session 2 d'analyse de 2023-2024
Le sujet avec sa correction de la session 1 d'algèbre de 2023-2024
Le sujet (avec une correction partielle) de la session 2 d'algèbre de 2023-2024

Semestre de printemps

Analyse

Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.

16 décembre : Chap. 1 - Equations différentielles linéaires : rappels de L1 sur les EDL d'ordre 1, et les EDL d'ordre 2 à coefficients constants. Structure des solutions d'une EDL d'ordre 2 (homogène ou non), définition d'un système fondamental de solutions, wronskien (définition et propriétés, utilité pour caractériser un système fondamental de solutions), méthode de variations des constantes pour une EDL d'ordre 2. Exemple de méthode de variations des constantes, méthode de Lagrange (= abaissement de l'ordre) à partir d'une solution de l'équation homogène ne s'annulant pas sur l'intervalle, problème des raccords. Chap. 2 : Espaces vectoriels normés : définition d'une norme, inégalité triangulaire inversée, normes usuelles sur K^n (où K=R ou C) (démo à connaître, rédigé seulement pour la norme euclidienne en CM), distance associée à une norme, distance d'un point à une partie non vide. Boules ouvertes, fermées et sphères. Exemples des boules unités fermées de R^2 pour les normes 1, 2 et infinie (ces trois tracés sont à savoir refaire et peuvent être demandés en question de cours).
22 janvier (partie 1) : convexité des boules ouvertes/fermées et non convexité des sphères. Parties et fonctions bornées. Espaces vectoriels normés usuels : tout e.v. de dimension finie peut être normé (construction d'une norme à partir d'une base de E et d'une norme sur K^n à connaître et savoir redémontrer). Norme de la convergence uniforme sur les fonctions bornées (de X non vide dans un e.v.n E) (la preuve est à connaître), normes usuelles sur C([a;b];R). Produits d'espaces vectoriels normés (en particulier norme produit infinie).
22 janvier (partie 2) : Équivalence de normes : définition de deux normes équivalentes, exemples et contre-exemples, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie. Encadrement des boules pour deux normes équivalentes, notion invariante par passage à une norme équivalente. Suites d'éléments d'un e.v.n : suites bornées, convergentes/divergentes, opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit par une suite numérique convergente), effet d'un changement de norme sur la notion de limite (la preuve est à connaître).
29 janvier : Convergence d'une suite en dimension finie (exemple des suites complexes) et dans un espace normé produit. Chap.3 - Topologie des evn : voisinage, ouverts (définition, exemples dans R avec des intervalles (à savoir redémontrer), le vide et E sont des ouverts de E, le complémenatire d'un singleton aussi (à savoir redémontrer). Une boule ouverte est un ouvert, mais ce n'est pas le cas des boules fermées ou des sphères (l'explication pour les boules ouvertes/fermées/sphères est à savoir réexpliquer, au minimum à l'aide d'un dessin). Propriétés des ouverts : union quelconque d'ouverts.
30 janvier : Propriétés des ouverts : intersection finie, produits cartésiens d'ouverts. Fermés : propriétés (intersection, union finie). Exemples sur des intervalles dans R, un singleton est fermé (les deux sont à savoir redémontrer). Caractérisation séquentielle des fermés. Exemples, les boules fermées et les sphères sont fermées (la preuve peut être demandée en question de cours). Produits cartésien de fermés. Intérieur : définition seulement.
05 février (partie 1) : Intérieur : définition, caractérisation comme le plus grand ouvert inclus dans l'ensemble, exemples. Adhérence : définition, caractérisation comme le plus petit fermé contenant l'ensemble, caractérisation séquentielle, exemples (l'adhérence d'une boule ouverte est la boule fermée de mêmes centre et rayon, la preuve peut être demandée). Frontière, densité d'une partie. Exemples : densité des matrices inversibles dans l'ensemble des matrices carrées complexes.
05 février (demi-cours) : Suites extraites (définition, propriétés : suite extraite d'une sous-suite, convergence des sous-suites dans le cas d'une suite convergente), compacts (définition et exemples/contre-exemples dans R), un compact est fermé borné, caractérisation en dimension finie des compacts, généralisation du théorème de Bolzano-Weierstrass dans un e.v.n.
12 février : Chap.4 - Fonctions vectorielles d'une variable vectorielle : limite (unicité de la limite), exemples des fonctions constantes et des projections coordonnées p_i : x=(x_1,…,x_n) → x_i (les 2 à savoir refaire), caractérisation séquentielle de la limite, opérations sur les limites (combinaisons linéaires, multiplication par une fonction scalaire, composition, lien avec les limites des suites coordonnées dans un ev de dimension finie), très brève explication pour les fonctions à valeurs dans un ev produit (ne pas insister en colles sur cette partie du cours). Extension à l'infini de la notion de limite. Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables (non terminés).
19 février (partie 1) : Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables, utilisation des coordonnées polaires (avec majoration indépendante de l'angle). Continuité d'une fonction vectorielle : définition, caractérisation séquentielle, lien entre la continuité d'une fonction et d'une de ses restrictions (exemple détaillé d'étude de la continuité d'une fonction définie sur R^2 par deux expressions sur [-1;1]^2 et son complémentaire). Fonctions lipschitziennes (la preuve de lipschitzienne implique continue peut être demandée en question de cours). Opérations sur les fonctions continues (combinaisons linéaires, produit et composée si cela a un sens), continuité des projections coordonnées p_i : (x_1, …,x_n)→ x_i (à savoir redémontrer), continuité d'une fonction polynomiale.
19 février (partie 2) : Caractérisation de la continuité à l'aide des fonctions coordonnées dans une base si l'espace d'arrivée est de dimension finie, ou à l'aide des fonctions composantes si l'espace d'arrivée est un espace produit (ne pas trop insister en question de cours sur cette dernière partie). Continuité et topologie : caractérisations équivalentes de la continuité à l'aide de l'image réciproque des fermés/ouverts, utilisation pour démontrer que des ensembles sont ouverts/fermés, image continue d'un compact, théorème des bornes atteintes.
26 février : Applications linéaires continues : caractérisations équivalentes de la continuité pour une application linéaire (continuité en 0_E, existence de k dans R^+ vérifiant ||u(x) || \leq k ||x|| pour tout x dans E, lipschitziannité, caractère borné sur la boule unité fermée/la sphère unité), toute application linéaire au départ d'un espace de dimension finie est continue, contre-exemples en dimension infinie. Chap. 5 - Calcul différentiel : Dérivée d'une fonction d'une seule variable réelle à valeur dans un evn F de dimension finie, caractérisation équivalente à l'aide des fonctions coordonnées dans une base de F, combinaison linéaire de fonctions dérivables. Définition d'un développement limité à l'ordre 1 en un point avec unicité de l'application linéaire intervenant dans le DL (pour une fonction de E dans F deux R-evn de dimensions finies).
12 mars (partie 1) : Fonction différentiable en un point, équivalence avec l'existence d'un Dl à l'ordre 1, les fonctions constantes et les applications linéaires sont différentiables (ces 2 preuves peuvent être demandées en questions de cours). Différentiable implique continue, lien entre différentiabilité et dérivabilité pour une fonction d'une seule variable réelle (démo à connaître). Différentielle d'une application bilinéaire (sera démontrée en TD seulement). Opérations sur les fonctions différentiables (combinaisons linéaires, équivalence avec la différentiabilité des applications coordonnées (dans une base de l'espace d'arrivée ou dans un espace produit) ne pas trop insister en question de cours sur ces deux résultats), différentiation d'une composée, exemples d'applications.
12 mars (partie 2) : Application du théorème de différentiation d'une composée au produit de deux fonctions différentiables (dont l'une est scalaire), exemple des fonctions polynomiales. Dérivées directionnelles : dérivation selon un vecteur; si f est différentiable en un point, existence des dérivées directionnelles selon tout vecteur en ce point. Différents exemples de calcul de dérivées directionnelles, celles-ci donnant le candidat potentiel pour df(a) (utilisation de la non linéarité de celui-ci pour montrer qu'une fonction n'est pas différentiable). Dérivées partielles dans une base donnée de E : définition comme dérivée directionnelle selon les vecteurs de la base, existence pour une fonction différentiable et expression de la différentielle en un point à l'aide des dérivées partielles (démo à connaître).
19 mars : Méthode de calcul de dérivées partielles pour une fonction au départ de R^n (relatives à la base canonique): définition des applications partielles en a=(a_1,…,a_n), lien avec la dérivabilité de l'application partielle en a_i. Exemples de calculs. Calcul pratique des dérivées partielles d'une fonction d'une variable vectorielle (en identifiant avec une fonction au départ de R^n par les coordonnées d'un vecteur dans la base choisie), exemples. Matrice jacobienne.
26 mars (partie 1 ) : Retour sur la matrice jacobienne (pour une fonction de R^n dans R^p, on l'écrira dans les bases canoniques respectives), version matricielle du théorème de différentiation d'une composée, formule de dérivation en chaîne, différents exemples d'application. Fonctions de classe C^1 (équivalence entre f est différentiable de différentielle continue avec l'existence et la continuité de ses dérivées partielles dans une base (admise)), exemple des applications constantes et linéaires (à savoir réexpliquer), opérations sur les fonctions de classe C^1 (lien avec le caractère C^1 des applications coordonnées, combinaison linéaire, produit par une application scalaire, composée), exemple des fonctions polynomiales.
26 mars (partie 2) : Chap. 6 - Intégrales à paramètres : théorème de continuité dans le cas où le domaine d'intégration est un segment, théorème de dérivation (dans le cas où le domaine d'intégration est un segment), exemples d'utilisation (dont un pour déterminer la valeur de l'intégrale de Gauss). Cas des intégrales à paramètres à bornes variables (continuité seulement pour l'instant, rappels sur le théorème fondamental de l'analyse).
02 avril (1 séance et demie) : théorème de dérivabilité pour une intégrale à paramètres à bornes variables (dérivabilité pour des bornes qui sont des fonctions de classe C^1). Intégrale à paramètres dans le cas où le domaine d'intégration est un intervalle quelconque : théorème de continuité par domination (la preuve (passage par la caractérisation séquentielle et utilisation du thm de convergence dominée) peut être demandée en question de cours), corollaire avec hypothèse de domination obtenue seulement sur tout segment pour x. Rapidement : lien entre l'étude d'une limite et la continuité, techniques d'étude d'une limite si l'on n'est pas en un point de continuité (encadrement, utilisation du théorème de convergence dominée)). Théorème de dérivation par domination (avec hypothèse de domination sur f puis sur la dérivée partielle de f par rapport à x), corollaire où les hypothèses de domination sont demandées seulement sur tout segment pour x, exemples d'utilisation (très rapidement, exemple de la fonction Gamma d'Euler, pas de cours à connaître sur celle-ci).
09 avril (partie 1) : Chap. 7 - Extrema : Dérivées partielles d'ordre k relatives à une base, fonctions de classe C^k (définition par l'existence et la continuité des dérivées partielles d'ordre k), exemples des fonctions constantes et polynomiales, opérations sur les fonctions de classe C^k, Théorème de Schwarz dans le cas d'une fonction de classe C^2, puis de classe C^k, exemple d'utilisation pour la recherche de la classe exacte d'une fonction de R^2 dans R. Extrema : définitions (minimum/maximum/extremum local/global (strict ou non)), points critiques, condition nécessaire d'extremum sur un ouvert, quelques exemples étudiés “à la main”. *09 avril (partie 2) : Extrema : à partir d'ici, tous les résultats ont été énoncé pour des fonctions de R^n dans R. Matrice hessienne, formule de Taylor-Young à l'ordre 2, condition suffisante d'extremum en un point critique à l'aide des valeurs propres de la matrice hessienne, corollaire utilisant le déterminant et la trace de la matrice hessienne dans le cas n=2, exemples d'utilisation. Principe de recherche d'un extremum d'une fonction continue sur un compact et exemple d'utilisation.

Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi après-midi et sont assurés par:

Stéphane Attal (groupe P6)
Benjamin Texier (groupe P7)
Sofiane Cherf (groupe P9)
Gaelle Dejou (groupe P10)

Fiches de TD

Avancement :

Groupe P6 :

24/01 : Fiche 1 : exercices 1, 2 et 3.1)
31/01 : Fiche 2 : exercices 1,2,3
07/02 : Fiche 1 : exercice 4, 5 et examen équas diffs 2023, Fiche 2 : exercice 4
14/02 : Fiche 2 : exos 6 à 10 (avec G. Dejou).
21/02 : Fiche 3 : exercices 1, 2, 3
28/02 : Fiche 3 : exercices 4,5,6
14/03 : Fiche 3: exercices 7, 8, 9.
21/03 : Fiche 3: exercices 10, Fiche 4 exercices 1,2.
28/03 : Fiche 4: exercices 3, 4, 5.
04/04 : Fiche 4: exercices 6, 7, 8, 9.
11/04 : Fiche 4 : exercices 11, 12, 13, 14, 15
17/04 : Fiche 4 : exercices 16, 17, 18, 19, 20, 21, Fiche 5 : exercices 1 à 8
18/04 : Fiche 5 : exercices 10, 11, 12 , Fiche 6 : exercice 1 et début du 4

Groupe P7 :

24/01: Fiche 1: exercices 1, 2 et 3.
31/01: Fiche 1: exercices 4, 6. Fiche 2: exercice 1.
07/02: Fiche 2: exercices 2, 3, 4, 5, 8.
14/02: Fiche 2: exercices 6, 7, 9, 10.
21/02: Fiche 3: exercices 1 et 4.
28/02: Fiche 3: exercices 4 (fin), 2, 3, et 5 (seulement l'ensemble A).
14/03: Fiche 3: exercices 5, 7, 9.1, 10.
21/03: Fiche 3: exercices 9.2, 9.3, 6.
28/03: Fiche 4: exercices 1, 2, 3, 4.
01/04: Fiche 4: exercices 6, 7.
04/04: Fiche 4: exercices 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20.1.
07/04: Fiche 5: exercices 1, 2.
11/04: Fiche 5: exercices 3, 4, 5, 6.
16/04: Fiche 5: exercices 7, 8, 9.
18/04: Fiche 5: exercices 10, 11, 12, 13.
22/04: Fiche 4: exercices 20.2 et 21.
23/04: Fiche 6: exercices 1 et 4.
24/04: Fiche 6: exercice 2.
25/04: Fiche 7: exercices 1, 4, 5.

Groupe P9 :

24/01 : Fiche 1 : exercices 1, 2 et 3.1).
31/01 : Fiche 1 : exercices 3.2), 4, 5 et 6.
07/02 : Fiche 2 : exercices 1, 3 et 4.
14/02 : Fiche 2 : exercices 2, 5, 6 et 7.
21/02 : Fiche 2 : exercices 8 et 10. Fiche 3 : exercice 1.
28/02 : Fiche 3 : exercices 2, 3, 4.1) et 4.2).
14/03 : Fiche 3 : exercices 4.3) et 5)A, C et G).
20/03 : Fiche 3 : exercices 6, 10 et 9.1). 9.3) expliquer graphiquement à terminer.
21/03 : Fiche 3 : exercices 9.2), 7 et 8. Fiche 4 : exercice 1.
27/03 : Fiche 4 : exercices 2, 3 et 4.1), 4.2), 4.3).
28/03 : Fiche 4 : exercices 4 (fin) et 6.
04/04 : Fiche 4 : exercices 5, 7, 8.1), 8.2), 8.3), 9.1), 9.3)
11/04 : Fiche 4 : exercices 11, 12, 13, 14, 15.1). 15.3) expliquer à l'oral, 17, 18, 19.
16/04 : Fiche 6 : exercices 1, 2, 3, 5, 6.2)
18/04 : Fiche 4 : exercice 20. Fiche 5 : exercices 1, 2, 3, 5, 6, 7.
23/04 : Fiche 5 : exercices 8, 10, 11, 13. Fiche 7 : exercice 1.

Groupe P10 :

24/01 : Fiche 1 : exercices 1 à 3.
31/01 : Fiche 1 : exercices 4 et 6. Fiche 2 : exercice 1, exo 2 (uniquement pour N_1).
07/02 : Fiche 2 : exo 2 (pour N_2), 3, 4 et 5.
14/02 : Fiche 2 : exos 6 à 10.
21/02 : Fiche 3 : exercice 1, question 1 de l'exo 3.
28/02 : Fiche 3 : exos 3, 2, 4, 5 (uniquement les ensembles A et G)
14/03 : Fiche 3 : exos 6, 7 et 8. Fiche 4 : exos 1 et 2.
21/03 : Fiche 4 : exercices 3 à 6.
28/03 : Fiche 4 : exercices 7, 8, Q1 à Q3 de l'exo 9, exo 10, Q1 de l'exo 11.
04/04 (1TD et demi) : Fiche 4 : fin de l'exo 11, Q4 de l'exo 9, exos 12, 13, 15 (Q1 et Q2 seulement), 16 à 19 et Q1 de l'exo 20.
11/04 : Fiche 4 : fin de l'exo 20, exo 21. Fiche 5 : exos 1 à 3.
16/04 : Fiche 5 : exos 4 à 7.
17/04 (1h30) : Fiche 5 : 8 et 10.
18/04 : Fiche 5 : exos 9, 11 et 12. Fiche 6 : exo 1.

Algèbre

Les cours d'algèbre sont assurés par Gaelle Dejou.

18 décembre : Chap.1 : Espaces préhilbertiens : produit scalaire sur un R-ev, caractérisation équivalente (la linéarité à droite et la symétrie entraînent la bilinéarité), définition d'un espace préhilbertien réel, d'un espace euclidien. Produits scalaires sur R^n, M_{n,p}(R) et C([a;b];R) (les 3 sont à connaître et à savoir redémontrer), calculs de développements de <ax,ax>, <x +/- y, x+/- y> (etc… à savoir manipuler), inégalité de Cauchy-Schwarz (énoncé seulement).
22 janvier (partie 1) : Inégalité de Cauchy-Scwharz avec cas d'égalité (la preuve est à connaître), exemples d'utilisation. Norme euclidienne associée à un produit scalaire (preuve à connaître), identités de polarisation et identité du parallélogramme (à savoir retrouver). Produit scalaire hermitien sur un C-ev, caractérisation équivalente (la linéarité à droite et la symétrie hermitienne entraînent la sesquilinéarité), définition d'un espace préhilbertien complexe, d'un espace hermitien. Produit scalaire usuel sur C^n. (peut être demandé en question de cours)
22 janvier (partie 2) : Produits scalaires usuels sur M_{n,p}(C), C([a;b]; \C) (les preuves peuvent être demandées en question de cours mais n'ont pas été rédigées entièrement). Espaces préhilbertiens complexes : manipulation de la sesquilinéarité du produit scalaire hermitien pour des calculs (< ax, ax>, <x +- y, x+-y>, …), inégalité de Cauchy-Schwarz avec cas d'égalité, norme hermitienne associée, identité de polarisation et identité du parallélogramme (pas à connaître par coeur mais à savoir retrouver rapidement, les preuves de ces identités peuvent êtres demandées). Matrice d'un produit scalaire (réel ou hermitien), écriture du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de la matrice.
29 janvier (partie 1) : Matrice d'un produit scalaire (réel ou hermitien) : effet d'un changement de base. Chap.2 - Orthogonalité : définition de deux vecteurs orthogonaux, exemples et propriétés de base de deux vecteurs orthogonaux (seul le vecteur nul est orthogonal à tous les autres, si deux vecteurs sont orthogonaux, alors deux vecteurs respectifs des droites vectorielles qu'ils engendrent sont aussi orthogonaux, l'orthogonalité dépend du produit scalaire utilisé), identité de Pythagore (démo à connaître : équivalence dans le cas réel et implication dans le cas complexe). Définition d'une famille orthogonale, orthonormée. Toute famille orthogonale ne comportant pas le vecteur nul est libre (preuve à connaître). Base orthonormée : définition, expression des coordonnées d'un vecteur dans une telle base, du produit scalaire de deux vecteurs, de la norme (calculs à savoir refaire).
29 janvier (partie 2) : Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur une famille libre (la preuve n'est pas à connaître mais les étudiants doivent savoir construire la base orthogonale/orthonormée), exemple d'application. Tout espace euclidien admet une base orthonormée, toute famille orthonormée peut être complétée en une base orthonormée. Orthogonal d'une partie (exemple de l'orthogonal de {0_E} et E à savoir refaire), propriétés de l'orthogonal (c'est un sev, inclusion pour l'orthogonal de l'orthogonal, inversion de l'inclusion), l'orthogonal d'un sev engendré par une famille est l'ensemble des éléments orthogonaux aux éléments de cette famille (preuve à connaître).
05 février (demi cours) : Définition de deux sev orthogonaux, lien avec l'orthogonal. Supplémentaire orthogonal d'un sev de dimension finie (cas d'un espace euclidien/hermitien), contre-exemple en dimension infinie, dimension de l'orthogonal dans un espace euclidien/hermitien. Si F est supplémentaire dans E avec son orthogonal, alors l'orthogonal de l'orthogonal de F est F.
05 février : Rappels sur les projections/symétries vectorielles : dans le cas où F et G sont supplémentaires dans E, définition de la projection sur F (resp. symétrie par rapport à F) parallèlement à G, caractérisations équivalentes (p^2=p et s^2=Id), lien entre les deux, matrice d'une projection/symétrie dans une base adaptée. Projection orthogonale et symétrie orthogonale, relations entre la projection orthogonale sur F et celle sur son orthogonal. Formule du projeté orthogonal sur un sev de dimension finie F dans une base orthonormée (démonstration à connaître). Retour sur le procédé de Gram-Schmidt avec écriture à l'aide d'une projection orthogonale. Exemple de détermination d'un projeté orthogonal sur F en calculant d'abord le projeté sur l'orthogonal de F.
12 février (partie 1) : Distance d'un vecteur à une partie non vide de E. Distance à un sous espace (admettant un supplémentaire orthogonal) : calcul à l'aide de la projection orthogonale sur le sev (ou son orthogonal) (preuve à connaître). Exemples d'utilisation. Chap. 3 - Endomorphismes autoadjoints : Matrices orthogonales (pour l'instant, uniquement introduites dans le but du théorème spectral, leur étude spécifique sera faite dans le chapitre suivant), groupe orthogonal, une matrice est orthogonale ssi ses colonnes (resp.lignes) forment une famille orthonormée, lien avec les matrices de passage entre deux bases orthonormées, matrices orthogonalement semblables (définition, elles représentent le même endomorphisme dans deux base orthonormées).
12 février (partie 2) : Théorème de représentation de Riesz (isomorphisme explicite entre E et L(E,R)), définition de l'adjoint d'un endomorphisme, matrice de l'adjoint dans une base orthonormée (preuve à connaître), propriétés de l'adjoint (d'une combinaison linéaire, d'une composée, involutivité de l'adjoint, adjoint d'une bijection réciproque). Image et noyau de l'adjoint (preuve à connaître), si F est stable par u, l'orthogonal de F est stable par u* (preuve à connaître). Endomorphisme autoadjoint (ou symétrique), équivalence avec la symétrie de sa matrice dans une base orthonormée, dimension de l'ev des endomorphismes autoadjoints.
19 février : Un projecteur est orthogonal ssi il est symétrique (preuve en TD plus tard), le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réel est scindé sur R, existence d'une valeur propre (réelle) d'un endomorphisme autoadjoint sur un ev euclidien non nul, orthogonalité des sev propres d'un endomorphisme autoadjoint (la preuve est à connaître), stabilité par un endomorphisme autoadjoint u de l'orthogonal d'un sev stable et caractère autoadjoint des endomorphismes induits respectifs, théorème spectral (équivalence du caractère autoadjoint avec E est la somme directe orthogonale des sev propres, et avec la diagonalisabilité dans une base orthonormée). Version matricielle du théorème spectral. Définition d'un endomorphisme positif/resp. défini positif, caractérisation équivalente à l'aide du spectre (non démontré encore).
26 février (partie 1) : Caractérisation équivalente d'un endomorphisme positif/resp. défini positif à l'aide du spectre (démo à connaître, faite seulement dans le cas défini positif). Pour un endomorphisme autoadjoint, lien entre le caractère positif (resp. défini positif) et celui de sa matrice dans une base orthonormée. Caractérisation des matrices symétriques positives (resp. définies positives) à l'aide de leur spectre. Existence et unicité d'une “racine carrée” d'un endomorphisme autoadjoint positif, version matricielle.Chap. 4 - Endomorphismes orthogonaux : définitions d'un endomorphisme orthogonal (par u o u*=Id, ou u* o u=Id ou u bijectif d'inverse u*), équivalence avec l'orthogonalité de sa matrice dans une base orthonormée, exemple des symétries orthogonales, les projecteurs orthogonaux différents de l'identité ne sont pas orthogonaux (le cas des symétries orthogonales et des projecteurs orthogonaux est uen question de cours à savoir redémontrer).
26 février (partie 2) : L'ensemble des endomorphismes orthogonaux de E est un sous-groupe de GL(E), caractérisations équivalentes des endomorphismes orthogonaux : par conservation de la norme, du produit scalaire, par l'image de toute/d'une base orthonormée, vocabulaire : endomorphisme orthogonal = isométrie, déterminant d'un endomorphisme orthogonal (démo à connaître). Définition d'une isométrie directe/indirecte. Groupe spécial orthogonal (et version matricielle). Définition d'un hyperplan et caractérisation comme l'orthogonal d'une droite vectorielle, définition d'une réflexion, écriture explicite de l'image d'un vecteur par une réflexion à l'aide d'un produit scalaire (à savoir retrouver rapidement). Tout endomorphisme orthogonal s'écrit comme une composée d'au plus n=dim(E) réflexions.
12 mars : Le spectre d'un endomorphisme orthogonal est inclus dans {-1;1} (démo à connaître), spectre réel puis complexe d'une matrice orthogonale de taille n. Stabilité de l'orthogonal d'un sev stable par un endomorphisme orthogonal (démo à connaître). Existence d'une droite ou d'un plan stable par un endomorphisme u de E, isométries en dimension 1, classification des matrices orthogonales de taille 2 : matrices de rotation ou de réflexion, réduction des endomorphismes associés (cas des isométries positives en cours d'étude, à finir).
19 mars (partie 1) : fin de la classification des matrices orthogonales de taille 2 : réduction des endomorphismes associés (détail des cas diagonalisables ou non). Théorème de réduction d'un endomorphisme orthogonal d'un espace euclidien (de dimension n non nulle) (existence d'une base orthonormée dans laquelle la matrice est diagonale par blocs avec des blocs diagonaux (1), (-1) et des rotations). Chap.5 - Isométries vectorielles en dimension 2 et 3 : définition de l'orientation d'un espace euclidien (bases directes/indirectes, effet d'un échange entre deux vecteurs d'une base, etc…) Produit mixte. Classification des isométries en dimension 2 : rotation du plan, unicité de la matrice dans une base orthonormée directe. Angle orienté de deux vecteurs non nuls dans le plan (défini à 2pi près comme l'angle de l'unique rotation qui envoie le premier vecteur normé sur le second normé)
19 mars (partie 2) : Propriétés des angles orientés (conservation de l'angle par multiplication des vecteurs par un réel strictement positif, angle opposé, somme d'angles), lien avec le produit scalaire et le produit mixte (démo à connaître). Isométries négatives du plan : ce sont les réflexions, expression de la droite par rapport à laquelle la réflexion est effectuée en fonction de la matrice de la réflexion dans une base orthonormée (e_1,e_2) (angle entre Vect(e_1) et cette droite). Récapitulatif de classification des endomorphismes orthogonaux en dimension 2, corollaire sur la composée de 2 rotations/2 réflexions etc… Classification des isométries en dimension 3 (isométries directes seulement pour l'instant) : unicité de l'écriture de la matrice dans une base orthonormée directe de premier vecteur un vecteur unitaire dans E_1(u).
26 mars : Classification des isométries directes en dimension 3 : unicité de l'écriture de la matrice dans une base orthonormée directe de premier vecteur un vecteur unitaire dans E_1(u), définition d'une rotation autour d'un axe orienté, recherche des éléments caractéristiques de la rotation (axe à l'aide de l'étude de E_1(u), cosinus de l'angle à l'aide de la trace, sinus de l'angle à l'aide d'un produit mixte), exemples. Isométries indirectes en dimension 3 : unicité de l'écriture de la matrice dans une base orthonormée directe de premier vecteur un vecteur unitaire dans E_{-1}(u), les isométries indirectes sont les composées commutatives d'une rotation et d'une réflexion par rapport à l'orthogonal de l'axe.
02 avril (1 séance et demie): Isométrie indirecte en dimension 3 : recherche des éléments caractéristiques (axe à l'aide de l'étude de E_{-1}(u), cosinus de l'angle à l'aide de la trace, sinus de l'angle à l'aide d'un produit mixte). Produit vectoriel : définition, caractère bilinéaire antisymétrique, le produit vectoriel de x par y est orthogonal à x et à y, la famille (x,y) est libre si et seulement le produit vectoriel de x par y est non nul. Expression du produit vectoriel dans une base orthonormée directe de E (démo à connaître), construction d'une base orthonormée directe de E à l'aide de deux vecteurs orthonormés et leur produit vectoriel (la formule donnant la norme de u ^ v ne sera pas vue). Application pour l'étude d'une isométrie en dimension 3 par création d'une base orthonormée directe dans laquelle la nature et les caractéristiques se lisent directement sur la matrice réduite.

Fiches de cours

Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.

Les TD d'algèbre ont lieu en principe le jeudi matin et sont assurés par:

Stéphane Attal (groupe P6)
Benjamin Texier (groupe P7)
Adrien Perrel (groupe P9)
Gaelle Dejou (groupe P10)

Fiches de TD

Avancement :

Groupe P6 :

23/01 : Fiche 1 : exercices 1, 2 et 3
30/01 : Fiche 1 : exercices 4, 5, 6, 7, 8, 9
06/02 : Fiche 1 : exercices 10, 11, 12
13/02 : Fiche 2 : exercices 1,2,3
20/02 : Fiche 2 : exercices 4,5,6,7
27/02 : Fiche 2 : exercices 8,9,10,11
13/03 : Fiche 3 : exercices 1, 2, 3, 4.
20/03 : Fiche 3 : exercices 5, 6, 7, 8
27/03 : Fiche 3 : exercices 9, 10, 11, 12, 13
01/04 : Fiche 3 : exercice 14, 15, 16, 17.
03/04 : Fiche 4 : Exercices 1, 2, 3, 4, 5.
10/04 : Fiche 4 : exercices 6 à 12
16/04 : revisions algebre pour le DS4 à partir du sujet de l'an dernier.
23/04 : Fiche 5 : exercices 2,3,5,6, 7,8,9, 10

Groupe P7 :

23/01: Fiche 1: exercices 1, 2, 3.1
30/01: Fiche 1: exercices 3.2, 4, 5, 6, 7.
06/02: Fiche 1: exercices 8, 12. Fiche 2: exercices 1, 2, 3.
13/02: Fiche 2: exercices 4, 5, 12.
20/02: Fiche 2: exercices 6, 7, 9, 10.
27/02: Fiche 3: exercices 1, 2, 3, 4.
13/03: Fiche 3: exercices 5, 6, 7, 8.
20/03: Fiche 3: exercices 9, 10, 11.
27/03: Fiche 3: exercices 12, 14, 15, 17. Fiche 4: exercice 1.
01/04: Fiche 3: exercice 13.
03/04: Fiche 4: fin de l'exercice 1, exercices 2, 3, 5.
10/04: Fiche 4: fin de l'exercice 5, exercices 6, 8.1-4.
17/04: Fiche 4: fin de l'exercice 8, exercices 9 et 11. Fiche 5: exercice 1.
22/04: Fiche 4: exercice 10.
24/04: Fiche 5: exercices 1 et 3.

Groupe P9 :

23/01 : Fiche 1, exercices 1, 2 et 3.
30/01 : Fiche 1, exercices 4, 5, 7 à 10.
06/02 : Fiche 1, exercices 11 et 12 ; Fiche 2, exercices 1 et 4.
13/02 : Fiche 2, exercices 2, 3, 5 et 7.
20/02 : Fiche 2, exercices 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14.
27/02 : Fiche 2, exercices 11 et 16 ; Fiche 3, exercices 1 à 4.
13/03 : Fiche 3, exercices 5 à 9.
20/03 : Fiche 3, exercices 10 à 14.
27/03 : Fiche 3, exercices 15 à 18 ; Fiche 4, exercices 1 et 7 (4h30 cette semaine).
03/04 : Fiche 4, exercices 2 à 6.
10/04 : Fiche 4, exercices 8 et 9.
17/04 : Fiche 4, exercices 10, 11, 13.1 et 13.2 ; fiche 5, exercices 1, 2, 3 et 7 (4h30 cette semaine).

Groupe P10 :

23/01 : Fiche 1 : exercices 1, 3 et 7.
30/01 : Fiche 1 : exercices 2, 4 à 6, 8 et 9.
06/02 : Fiche 1 : exercices 11 et 12. Fiche 2 : exercices 1, 2, 3 (seulement questions 1 à 3)
13/02 : Fiche 2 : fin de l'exo 3, exos 4, 5, Q3 de l'exo 6 et exo 7.
20/02 : Fiche 2 : exercices 8 à 11.
27/02 : Fiche 2 : exos 12 et 14. Fiche 3 : exercices 1 à 3.
13/03 : Fiche 3 : exercices 4 à 8, principe d'orthodiagonalisation du 9 expliqué seulement à l'oral (à terminer).
20/03 : Fiche 3 : exercices 9 à 13
27/03 : Fiche 3 : exercices 14 à 17. Fiche 4 : exercice 1.
10/04 : Fiche 4 : fin de l'exo 6, exos 7 et 8.
11/04 (demi TD) : Fiche 4 : exo 9 (Q3 non terminée, seule la recherche de l'axe de la rotation a été faite).
17/04 : Fiche 4 : fin de l'exo 9, exos 10, 11 et 12. Fiche 5 : exo 1.

Devoirs

Dates prévisionnelles (attention horaires variables)

DS1 CUPGE le jeudi 6 février de 8h à 9h30
DS1 commun le mardi 11 février de 17h30 à 19h : le sujet, la correction de l'exo 1 et la correction des exos 2 et 3
DS2 CUPGE le mardi 25 février de 17h30 à 19h
DS2 commun le mardi mardi 11 mars de 17h30 à 19h : le sujet et la correction
DS3 CUPGE le jeudi 27 mars de 8h à 9h30
DS3 commun le mardi 1er avril de 17h30 à 19h : le sujet
DS4 CUPGE le jeudi 17 avril de 8h à 9h30
DS4 commun le mercredi 23 avril de 14h à 15h30 : le sujet

Pour s'entraîner

Le sujet avec correction de la session 1 d'analyse 4 de 2023-2024
Le sujet (avec correction partielle) de la session 2 d'analyse 4 de 2023-2024
Le sujet avec correction de la session 1 d'algèbre 4 de 2023-2024
Le sujet avec correction de la session 2 d'algèbre 4 de 2022-2023