05 septembre 2018 : Intégrales généralisées pour les fonctions continues positives : définition de l'intégrale à l'aide d'une primitive, fonction intégrable. Intégrales de Riemann (preuve à connaître). Propriétés (relation de Chasles, positivité, changement de variable). Relations de comparaisons locales de fonctions (rappels sur la négligeabilité, découverte de la notion de domination et d'équivalence, liens entre ces relations).
11 septembre 2018 : Théorèmes de comparaison pour des fonctions intégrables (ou non intégrables) (toujours dans le cas de fonctions continues à valeurs positives). Fonctions de signe quelconque ou à valeurs complexes : fonctions intégrables, premier exemple et propriétés (inégalité triangulaire, linéarité de l'intégrale, inégalité de Cauchy-Schwarz). Intégrales impropres : définition d'une intégrale convergente et divergente, absolument convergente et semi-convergente (exemples). Lien entre absolue convergence et convergence.
12 septembre 2018 : Propriétés des intégrales impropres convergentes (Relation de Chasles, changement de variables, intégration par parties). Intégrales de Bertrand (idée de la preuve à connaître). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Retour sur les différents liens entre fonction intégrable et intégrale convergente. Séries numériques : Vocabulaire, si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique, télescopiques (à connaître).
19 septembre 2018 : Séries numériques : condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence). Critères de convergence : règle de D'Alembert, théorème de comparaison série-intégrale (les séries de Riemann n'ont pas encore été vues).
26 septembre 2018 : Retour sur la démonstration du théorème de comparaison série-intégrale. Séries de référence : rappel des séries téléscopiques et géométriques, séries de Riemann, série définissant l'exponentielle (convergence de la série de terme général a^n/n! prouvée seulement dans le cas a positif pour l'instant), (les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, critère de Cauchy sur les sommes partielles, la convergence absolue entraîne la convergence, définition de semi-convergence. Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste).(A chaque fois exemples et contre-exemples). (La règle de Cauchy concernant la racine n-ième de u_n ne sera pas vue.)
3 octobre 2018 : Fin des séries numériques : Transformation d'Abel : principe général puis règle d'Abel (deux versions), théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Fonctions de plusieurs variables : norme sur R^n, inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n) (pas encore prouvée).
10 octobre 2018 : Inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n) et norme euclidienne, distance associée à la norme euclidienne. Définitions des boules ouvertes, fermées et sphères. Parties bornées, caractérisation d'une partie bornée par inclusion dans une boule fermée. Parties ouvertes : définition d'un voisinage, d'un ouvert de R^n. Une boule ouverte est ouverte. Une boule fermée ou une sphère n'est pas ouverte (démonstration de ces deux résultats à savoir expliquer). Propriétés des ouverts (réunion, intersection finie, produit cartésien). Limites de suites vectorielles (dans R^n): suite bornée, définition d'une suite convergente.
17 octobre 2018 : Opérations sur les suites convergentes (combinaisons linéaires, produit par une suite réelle, convergence si et seulement si les suites coordonnées (réelles) convergent). Limites de fonctions f : X c R^n → R^p : point adhérent, définition et unicité de la limite, caractérisation séquentielle de la limite, opérations usuelles (combinaisons linéaires, produit par une fonction à valeurs réelles, composée, convergence à l'aide des fonctions coordonnées). Brève extension de la définition de la limite à l'infini (avec x ou ||x|| tendant vers l'infini, quand la limite est infinie lorsque cela est possible). Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables, utilisation des coordonnées polaires (avec majoration indépendante de l'angle). Continuité : définition, caractérisation séquentielle.
24 octobre 2018 : Continuité : fonctions lipschitziennes, opérations (via les fonctions coordonnées, combinaisons linéaires, produit et composée lorsque cela a un sens). La démonstration de la continuité des applications projection p_i : (x_1,…,x_n) → x_i est à savoir. La continuité d'une fonction entraîne la continuité de toute restriction. Réciproque vraie si l'on se place sur un ouvert. Exemple d'étude de la continuité une fonction définie avec plusieurs expressions. Définition des applications partielles, la continuité entraîne celle des applications partielles mais la réciproque est fausse. Dérivabilité d'une fonction de R dans R^p. Dérivées partielles : définition, exemples.
7 novembre 2018 : Dérivées partielles : lien (équivalence) avec les dérivées partielles des fonctions coordonnées, matrice jacobienne dans le cas où les dérivées partielles existent, gradient, rotationnel et divergence. Dérivées directionnelles, les dérivées partielles sont les dérivées directionnelles selon les vecteurs de la base canonique (lorsqu'elles existent), fonctions de classe C^1 sur un ouvert de R^n (via l'existence et la continuité des dérivées partielles) : existence d'un DL à l'ordre 1, une fonction de classe C^1 est continue, admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur (formule à l'aide d'une somme des dérivées partielles), combinaison linéaire, produit et composée de fonctions C^1 (formule de dérivation en chaîne), version matricielle (la jacobienne d'une composée est le produit des matrices jacobiennes). C^1-difféomorphismes : définition, exemples, condition nécessaire pour avoir un C^1-difféomorphisme (dimension de l'espace de départ et d'arrivée égale, et matrice jacobienne inversible en tout point).
14 novembre 2018 : Fin du chapitre sur les fonctions de plusieurs variables : théorème d'inversion globale (admis), exemple des coordonnées polaires, dérivées partielles d'ordre k, fonctions de classe C^k (définition par l'existence et la continuité des dérivées partielles d'ordre k), opérations sur les fonctions de classe C^k, théorème de Schwarz. Exemple de détermination de la classe d'une fonction à l'aide de la contraposée du théorème de Schwarz. Début du cours sur les suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, de la convergence simple (différents exemples), unicité de la limite simple. Propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité. Quelques propriétés non préservées : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0).
21 novembre 2018 : Suites de fonctions : la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque), techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration) avec différents exemples, critère de Cauchy uniforme, propriétés préservées par passage à la limite uniforme : caractère borné, continuité (la preuve de ces deux résultats est à connaître). Théorème de la double limite. Théorèmes d'échange limite et intégrale : pour l'instant, uniquement dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues (la preuve peut être demandée), rappel de la définition d'une fonction continue par morceaux en vue de la généralisation du théorème aux fonctions c.p.m.
28 novembre 2018 : Fin du cours sur les suites de fonctions : généralisation du théorème d'échange limite et intégrale sur un segment dans le cas d'une suite de fonctions c.p.m. convergeant uniformément vers une fonction c.p.m, théorème de convergence dominée, exemples. Théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1, extension aux suites de fonctions de classe C^p. Intégrales à paramètres, seulement le cas où le domaine d'intégration est un segment pour l'instant : théorème de continuité, de dérivation, exemples d'utilisation.
05 décembre 2018 : Fin des intégrales à paramètres : cas des intégrales à paramètres à bornes variables (continuité et dérivabilité pour des bornes qui sont des fonctions continues/resp. de classe C^1). Intégrale à paramètre dans le cas où le domaine d'intégration est un intervalle quelconque : théorème de continuité par domination (la preuve peut être demandée) (lien entre l'étude d'une limite et la continuité, techniques d'étude d'une limite si l'on n'est pas en un point de continuité (encadrement, utilisation du théorème de convergence dominée)), exemples. Théorème de dérivation par domination (avec hypothèse de domination sur f puis sur la dérivée partielle de f par rapport à x), exemples d'utilisation.