Analyse complexe
Contrôle des connaissances
Programme des démonstrations à connaître pour l'examen et la deuxième session:
Toutes les définitions et tous les énoncés des théorèmes du cours doivent être connus précisément
Théorème 72 de dérivation sous le signe intégral
Théorème 93 de classification des singularités isolées (uniquement les implications simples: pas de partie principale⇒singularité effaçable, nombre de termes singuliers fini et non nul dans la série de Laurent⇒pôle, image de tout voisinage de la singularité dense dans C ⇒ nombre de termes singuliers infini dans la série de Laurent)
Proposition 99.2 permettant le calcul d'un résidu dans le cas d'un pôle simple d'un quotient de fonctions holomorphes dont le numérateur ne s'annule pas au pôle.
Théorème 102 des résidus (en prenant pour acquise la formule de Cauchy)
Théorème 107 de Rouché
Proposition 120: les homographies forment un groupe isomorphe à GL_2(C)/C^*I_2
L'homographie h(z)=(i-z)/(i+z) est un biholomorphisme du demi-plan {z: Im(z)>0} sur le disque unité centré à l'origine
Elément de preuve du théorème 141 de représentation conforme de Riemann: si \Omega est un ouvert étoilé ne contenant pas l'origine, il existe un biholomorphisme défini sur \Omega à valeurs dans le disque unité centré à l'origine
Partiel :
corrigé de l'examen partiel 90 minutes, 49% de la note, prévu le 17 mars matin (à confirmer). Format: 1 démonstration de cours (4pts), 1 exercice de TD (4pts), 1 exercice de type TD (8pts), 1 exercice exploratoire (4pts).
Programme des démonstrations à connaître:
Toutes les définitions et tous les énoncés des théorèmes du cours doivent être connus précisément
La projection stéréographique est un homéomorphisme de la sphère unité de R³ sur la sphère de Riemann
preuve du groupe Rozana Une fonction est C-dérivable en un point si et seulement si elle y est différentiable et les équations de Cauchy-Riemann satisfaites
preuve du groupe les latins Il existe une détermination holomorphe du logarithme d'une fonction f holomorphe ne s'annulant pas si et seulement si f'/f admet une primitive
preuve du groupe Papartage Si la fonction continue f admet une primitive dans un voisinage du support d'un lacet gamma, son intégrale le long de gamma est nulle
preuve du groupe MSN-
L'indice est nul sur la composante connexe non bornée de l'ouvert C privé de Gamma.
preuve du groupe AB-
Le théorème de Cauchy implique la formule de Cauchy
-
Si une suite (f_n) est bornée dans H(\Omega), alors (f_n') l'est aussi (cf. Etape 2 du th de Montel)
preuve du groupe 74-
principe du maximum (th 82).
Cours
Enseignant: Louis Dupaigne
27/01: Fin du Chapitre 2. Chapitre 3: lacets, reparamétrisations. Groupes formés pour 42 étudiant.e.s.
Vrai ou faux ?
03/02: Chapitre 3 jusqu'au th de Goursat inclus. Trois questions à rédiger:1. montrer l'identité cos²(z) +sin²(z)=1, 2. Quand a-t-on exp(Log(z))=z ? Et Log(exp z)=z ? Quelle différence entre ln, log et Log ? 3.A la manière du cours, définir et étudier la fonction racine carrée. Lundi 10/02 avant le cours, écrire sur un bout de papier sa météo (comment vous vous sentez) et celle d'un.e camarade absent.e au cours
17/02: Chapitre 4 jusqu'au Th 82 (principe du maximum dans un ouvert borné). Météo, présentation du master “didactique des sciences” par Madame Virginie Deloustal-Jorrand.
résumé 10/03: Fin du chapitre 4. Chapitre 5: séries de Laurent, classification des singularités isolées, définition des résidus.
24/03: Fin du chapitre 5 et définition d'une transformation conforme
31/03: Fin du chapitre 6. Les sections 6.3 et 6.4 du cours ne sont pas exigibles.
TD
Enseignants : Rouchdi Bahloul, Serge Parmentier, Alexander Thomas
Avancement des TD :
Groupe A : TD1 complet, TD2 complet, TD3 complet, TD4 complet, TD 5 complet, TD 6 complet sauf exo 6, 7.3, 10, TD 7 complet.
Groupe B : TD1 : tout sauf l'ex. 9; TD2 : ex. 1-9; TD3 : ex. 1-5; TD4 : tout sauf le 9; TD5 : tout sauf le 11. TD 6 : ex. 1 à 5.
Groupe C : TD1 1-7. TD2 1-7, 9. TD3 1-5, TD4 2-8
Annales