Les notions seront présentées dans un esprit pratique sans grand développement théorique.

Nombres complexes : écritures cartésienne et polaire. Utilisation en géométrie plane. Trigonométrie.

Fonctions réelles d'une variable réelle :
- Fonctions élémentaires : Fonctions trigonométriques classiques et hyperboliques et leurs réciproques, fonctions puissances, logarithme et exponentielle.
- Dérivation : Dérivées. Extrema. Formule de Taylor à l'ordre 2. Équivalents. Notation différentielle.
- Intégration : Primitives des fonctions usuelles. Intégrale sur un intervalle borné fermé. Techniques d'intégration par parties et par changement de variables. Notions sur l'intégrale de Riemann. Définition d'une intégrale impropre. Exemples.

Équations différentielles :
- Équations linéaires du premier et second ordre à coefficients constants : Utilisation de fonctions à valeurs complexes.

Géométrie du plan et de l'espace :
- Notions d'algèbre linéaire : Le plan R^2 et l'espace R^3 considérés comme espaces vectoriels. Utilisation des coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques, sphériques. Introduire le produit scalaire, vectoriel, mixte. Les projections, rotations, symétries comme exemples d'applications linéaires. Écriture matricielle.
- Systèmes linéaires de 2 ou 3 équations : Interprétation géométrique, résolution et écriture matricielle. Déterminants de 2 ou 3 vecteurs et des matrices d'ordre 2 ou 3.

Les notions seront présentées dans un esprit pratique sans grand développement théorique.

Fonctions à plusieurs variables (sur R^2 et R^3 à valeurs réelles et commentaires pour les fonctions sur R^n à valeurs réelles).
- Généralités : Représentation graphique des fonctions sur R^2 à valeurs réelles. Continuité.
- Dérivation : Dérivées partielles. Différentiabilité. Formule de Taylor à l'ordre 2. La différentielle (définition et lien avec la formule de Taylor). Applications au calcul d'erreur et aux extrema. Dérivées de fonctions composées R^2 –> R –> R.
- Applications F : R^n –> R^m (ex. courbe paramétrée: R –> R^3 ou champ de vecteurs A : R^3 –> R^3). Dérivées d'applications composées de la forme R –> R^3 –> R ou R^2 –> R^2 –> R.)
- Intégration : Intégrale de f : R^2 –> R et f : R^3 –> R sur une partie compacte de R^2 ou R^3 et exemples d'intégration sur des parties non bornées de R^2 ou R^3 . Formule du changement de variables (en particulier pour le passage en coordonnées polaires, sphériques, cylindriques).

Champs de vecteurs dans R^3.
- Définition. Composantes en cartésiennes, sphériques ou cylindriques. Le gradient d'une fonction comme cas particulier.
- Champ dérivant d'un potentiel scalaire.
- Courbes en paramétrique : Vecteur tangent. Circulation d'un champ de vecteurs sur une courbe fermée ou non. Formule de Green-Riemann.
- Surfaces en paramétrique : Vecteur normal, plan tangent. Flux d'un champ de vecteurs à travers une surface fermée ou non.
- Analyse vectorielle : Les opérateurs grad, div, rot : définitions et propriétés, expressions en coordonnées cartésiennes, sphériques, cylindriques.
- Formule de Stokes et formule de Gauss-Ostrogradski.

Les notions seront présentées dans un esprit pratique sans grand développement théorique.

Suites et séries numériques et de fonctions :
- Généralités : Remarques sur les problèmes de convergence, sur la dérivation ou l'intégration de séries. Séries entières et leur application à la résolution d'équations différentielles.
- Séries de Fourier : Calcul des coefficients de Fourier. Analogie avec le développement suivant une base en algèbre linéaire. Remarques sur les problèmes de convergence. Formule de Bessel-Parseval.

Notions sur les équations aux dérivées partielles :
On traitera en particulier l'équation de la corde vibrante avec conditions initiales et conditions aux bords (formule de d'Alembert) et on donnera quelques aperçus sur d'autres équations linéaires (Laplace, Poisson, équation de la chaleur).

Algèbre linéaire :
- Généralités : Espaces vectoriels sur R ou C. Sous-espaces. Bases. Applications linéaires. Noyau. Image. Matrices associées dans des bases. Rang. Déterminant.
- Résolution de systèmes linéaires.
- Réduction des endomorphismes : Valeurs propres. Vecteurs propres et leur interprétation géométrique comme directions invariantes. Polynôme caractéristique.
- Espace vectoriel muni d'un produit scalaire : Diagonalisation des matrices symétriques et hermitiennes.
- Formes quadratiques : Coniques.

Les notions seront présentées dans un esprit pratique sans grand développement théorique.

Les distributions.
- Introduction aux distributions comme généralisations de la notion de fonctions.
- L'impulsion de Dirac, les peignes de Dirac. Utilisation des distributions de Dirac.
- Dérivées d'une distribution; en particulier l'impulsion de Dirac est la dérivée (au sens des distributions) de la fonction échelon unité d'Heaviside.

- Produit de convolution de fonctions (qui se généralise aux distributions). Transformé d'un produit de convolution.
- La transformation de Laplace. Le théorème sur la valeur initiale et finale.
- La transformation de Fourier. Théorème de Plancherel.
- Les fonctions de variable complexe. Développements en série entière et intégration des fonctions à variable complexe.

Les notions seront présentées dans un esprit pratique sans grand développement théorique.

Différentiabilité :
Rappels sur les espaces normés; définition générale d'une différentielle; cas particulier d'une fonction d'une seule variable à valeur vectorielle, et d'une fonction vectorielle a valeur réelle; cas général: matrice jacobienne.
Propriétés de la différentielle. Différentielles d'ordre supérieur et formule de Taylor.

Fonctions inverses et changements de variables :
Difféomorphismes; théorème d'inversion locale et globale; coordonnées curvilignes; applications : vecteurs vitesse et gradient; changements de variables classiques en dimensions 2 et 3.

Courbes et surfaces :
Définitions. Courbes coordonnées et plan tangent. Courbes tracées sur une surface. Exemples. Vecteur normal et repère attaché à une surface. Rappels sur les intégrales multiples. Aire d'une surface et changement de paramétrage.
Intégrale de surface et applications.

Formes différentielles :
Définitions. Arcs orientés. Intégrales curvilignes. Formes différentielles exactes. Formes différentielles fermées. Applications au calcul de la circulation d'un champs de vecteurs le long d'un arc orienté, au flux d'un champs de vecteurs à travers une surface. Formules de Green-Riemann et de Stokes-Ostrogradsky.
Extremas libres; condition nécessaire d'extremum. Extremas liés et multiplicateurs de Lagrange.

Transformation de Fourier :
Séries de Fourier.
Transformation de Fourier des fonctions intégrables.
Transformées de Fourier classiques.
Transformation de Fourier des fonctions de carré intégrable et autres objets.

Transformation de Laplace :
Transformées de Laplace élémentaires.
Règles de calcul.
Transformation de Laplace inverse.
Application à la résolution de systèmes d'équations différentielles linéaires.