Calculs algébriques : Sommes, produits, sommes géométriques, inégalités dans R, coefficients binomiaux.

Nombres complexes : Forme algébrique (partie réelle et imaginaire), opérations, conjugaison. Module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d’Euler, formule de Moivre. Formule du binôme. Équations du second degré́ à coefficients complexes. Racines n-ièmes. Interprétation géométrique : affixe d’un point, d’un vecteur, interprétation du module, de l’argument, de la conjugaison, similitudes directes (en particulier translations, homothéties, rotations).

Bases de logique : Quantificateurs, équivalence, contraposée, négation, raisonnement par récurrence, par l’absurde. Ensembles. Inclusion, intersection, réunion, complémentaire, parties d’un ensemble E, produit cartésien.

Applications : Injectivité, surjectivité, bijectivé, composition, fonction réciproque.

Arithmétique : (Z/nZ hors programme) Divisibilité, diviseurs, multiples, division euclidienne, congruences, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout, théorème de Gauss, équations ax + by = c. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Bases de la numération.

Polynômes sur R ou C: La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, relations coefficients racines, théorème de d’Alembert- Gauss (admis).

Pratiques sur les fonctions usuelles: On utilise ici les outils connus du lycée. ln, exp, fonctions puissances, fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques, partie entière, valeur absolue, dérivation des fonctions composées (admis à ce stade), parité, périodicité, monotonie, fonctions majorées, minorées, bornées, croissances comparées, calculs de limites, graphes, tableau de variations, asymptotes, tangente en un point, concavité/convexité du graphe, point d’inflexion.

Suites réelles : . Définition, monotonie, suites minorées, majorées, bornées. Convergence, théorème d’encadrement, suites croissantes et majorées/décroissantes minorées (admis). Suites adjacentes. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Suites extraites, théorème de Ramsey, théorème de Bolzano-Weierstrass (pourra être admis).

Limites et continuité des fonctions : On mettra en avant la caractérisation séquentielle. Limites, limites à gauche et à droite, opérations, passage à la limite dans des inégalités. Théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone. Continuité, continuité à gauche, à droite, prolongement par continuité, opérations. Théorème des valeurs intermédiaires, de la bijection, fonction continue sur un segment.

Dérivabilité : Dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations. Extremum local et point critique. Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Calcul matriciel: Operations, inverse, opérations élémentaires. Calcul de l’inverse. Interprétation matricielle d’un système linéaire.

Espaces vectoriels: Définition d’un corps commutatif (on se limitera à Q, R et C dans ce cours). Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels. Familles libres, génératrices, bases (on se limitera à des familles finies). Somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires. Espaces vectoriels de dimension finie. Exemples d’espaces vectoriels : Rn, espaces de fonctions, de suites (suites récurrentes linéaires d’ordre deux), Kn[X].

Applications linéaires: Définition, matrice d’une application linéaire, noyau, image, caractérisation de l’injectivité. Image d’une famille libre/génératrice/base, rang, théorème du rang. Retour sur les matrices : rang/noyau d’une matrice, transposition, rg(A) = rg(tA), trace, changement de base, matrices équivalentes, matrices semblables. Endomorphismes, exemples : projections, symétries, rotations.

Les réels: Nombres décimaux, rationnels, approximation des réels par des nombres décimaux à 10-n près. Borne supérieure/inferieure, application aux suites monotones (preuve) et au théorème des valeurs intermédiaires.

Fractions rationnelles: Forme irréductible d’une fraction rationnelle, fonction rationnelle, degré, partie entière, zéros, pôles, existence et unicité de la décomposition en éléments simples sur C et R (admis, on évitera toute technicité excessive dans les exemples).

Fonctions réelles: Réciproques des fonctions usuelles (arcsin, arccos, arctan). Comparaison locale des fonctions (o, O, ∼). Dérivées successives, fonctions de classe Cn et C∞.

Intégration: Fonctions en escaliers, Fonctions continues par morceaux. Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Sommes de Riemann : si f : [a, b] → R est continue par morceaux alors la somme de Riemann

(b-a)/n∑_{k=0}^nf(a+k(b-a)/n) tend vers l'intégrale de f sur [a,b].

Preuve dans le cas où f est C1. Primitives. Intégration par parties, changement de variables.

Formules de Taylor: Formule de Taylor reste intégrale à l’ordre n pour les fonctions Cn+1, inégalité de Taylor Lagrange et formule de Taylor-Young pour ces fonctions. Développements limités et exemple de développements asymptotiques.

Équations différentielles: Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.

Intégrales généralisées.

Séries numériques à valeurs réelles. Suites de Cauchy. Séries à termes positifs, absolue convergence, critère d’Abel.

Fonctions de plusieurs variables. Cette partie est à traiter avec un point de vue « calculus », les difficultés théoriques seront approfondies au semestre 4. Norme euclidienne dans Rn, boules ouvertes et ouverts de Rn. Continuité, dérivées partielles, fonctions C1, C2, théorème de Schwarz (admis), matrice jacobienne, dérivée d’une composée (admis). Calculs d’intégrales doubles et triples.

Suites de fonctions. Convergence simple, convergence uniforme. Propriété de la limite uniforme d’une suite de fonction : théorème de dérivation, passage à la limite sous l’intégrale (convergence monotone/dominée : admis).

Intégrales à paramètre.

Permutations d’un ensemble fini. (notion de groupe hors programme) Définition, produit de cycles à supports disjoints. Signature : définition, multiplicativité.

Déterminants d’une matrice à coefficients dans un corps. Définition, propriétés caractéristiques du déterminant : multilinéarité, caractère alterné, det(AB) = det(A) det(B), det(A) = 0 ssi A est inversible, det(tA) = det(A). Déterminant par blocs. Développement par rapport à une ligne/colonne.

Réduction. Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique. Liberté d’une famille infinie de vecteurs. Sous-espaces propres, sous-espaces caractéristiques. Diagonalisation, trigonalisation. Polynômes d’endomorphisme, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton. Décomposition de Dunford. Puissances d’une matrice, exponentielle de matrices, application aux équations différentielles à coefficients constants.

Espaces vectoriels normés. Normes (exemples de normes en dimension finie), norme de la convergence uniforme sur l’espace des fonctions bornées. Ouverts, fermés, voisinages, intérieur, adhérence, densité, compacité. Critères séquentiels : caractère fermé, adhérence, densité. Exemple des suites de nombres complexes.

Séries de fonctions.

Séries entières.

Calcul différentiel. Fonctions continues sur un espace vectoriel de dimension finie. Applications différentiables, différentiation d’une composée. Recherche d’extrema.

Produit scalaire. Espace préhilbertien, espace euclidien. Norme associée à un produit scalaire. Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Orthogonalité. Vecteurs orthogonaux, orthogonal d’une partie. Familles orthogonales, familles orthonormales. Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Bases orthonormales : existence dans un espace euclidien, expression d’une produit scalaire et de la norme. Produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension 3.

Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Supplémentaire orthogonal. Projection orthogonale : expression dans une base orthonormale. Distance d’un vecteur à un sous-espace.

Hyperplans affines d’un espace euclidien. Vecteur normal à un hyperplan affine. Équation d’un hyperplan affine dans un repère orthonormal, exemple dans R2 et R3.

Isométries vectorielles d’un espace euclidien. Définition, image d’une base orthonormale. Symétries orthogonales, réflexion, O(E). Matrices orthogonales, On(R), SOn(R). Exemples des dimensions 2 et 3.

Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien.

Séries de Fourier. (on se limitera au cas réel). Coefficients de Fourier, théorème de convergence pour les fonctions C1, égalité de Parseval.

Ensembles. Opérations, cardinaux des ensembles finis, dénombrabilité (on traitera les exemples de Q et R).

Familles sommables. Familles sommables de réels positifs indexées par un ensemble dénombrable, familles sommables de nombres complexes indexées par un ensemble dénombrable, sommation par paquets.

Modèle probabiliste sur un ensemble dénombrable. Indépendance, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, formule de Bayes. Variables aléatoires discrètes, loi, espérance, variance, fonction de répartition. Lois discrètes usuelles. Séries génératrices et applications. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres. Densité de la loi gaussienne et théorème de Moivre-Laplace.

Statistiques descriptives. Résumé numérique, représentations graphiques (diagramme en bâtons, histogramme, boxplot, diagramme cumulatif). Analyse en composantes principales.

Exemples de calculs approchés d’intégrales.

Interpolation polynomiale, spline cubique.

Résolution approchée de f(x) = 0 (dichotomie, méthode du point fixe, méthode de Newton, méthode de la sécante).

Résolution approchée d’équations différentielles : méthode d’Euler.

Optimisation : méthode de gradient.

Cette UE s'adresse aux étudiants chevronnés désirant approfondir leurs connaissances en mathématiques. Il s'agit d'un travail tutoré par un enseignant-chercheur. L'étudiant travaille sur un sujet donné en lien avec un ou plusieurs cours de mathématiques de licence et doit rédiger un mémoire durant le semestre. Il devra montrer des capacités d'autonomie dans la compréhension des objets mathématiques, la recherche de bibliographie, la lecture d'extraits de différents ouvrages. Les sujets peuvent varier en fonction des affinités du tuteur et de l'étudiant, allant des mathématiques fondamentales aux mathématiques appliquées, en passant par l'histoire ou la didactique des mathématiques. Cette UE est fortement déconseillée aux étudiants n'ayant pas de bases solides en algèbre et en analyse. Elle pourra intéresser un étudiant désireux de préparer un dossier d'admission à l'École Normale Supérieure de Lyon.

La page des TIPE.

Topologie. — Définition d’un espace topologique. On se concentrera dans ce cours sur les espaces métriques ; — Espaces métriques (ouvert, fermé, adhérence etc.) ; — Espaces normés ; — Topologies induites ; — Continuité, continuité uniforme pour des applications entre espaces vectoriels normés, exemple des applications linéaires, norme subordonnée ; — Espaces complets ; — Théorème du point fixe de Banach ; — Compacité, théorème de Bolzano-Weierstrass ; — Séries convergentes, convergence absolue ; — Topologie du produit ; — Connexité.

Équations différentielles dans Rn. — Rappels : résolution explicite pour le premier et le second ordre ; — Lemme de Gronwall ; — Théorème de Cauchy-Lipschitz ; — Solutions maximales, globales ; — Étude des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants ; — Étude qualitative (équilibre, stabilité…).

Rappels sur la dénombrabilité et opérations sur les ensembles.

Notion de limsup et liminf.

Tribus, tribus engendrées, tribu borélienne.

Fonctions mesurables.

Mesures, exemples : mesure de comptage, mesure de Dirac, mesure de Lebesgue (admis).

Fonctions étagées, définition de l’intégrale.

Théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée.

Lien avec l’intégrale de Riemann.

Intégrales à paramètre : continuité, dérivabilité.

Mesure produit, théorème de Fubini (admis).

Changement de variables (admis).

Espaces Lp : définition, inégalité de Hölder, structure espace vectoriel normé, complétude, structure hilbertienne de L2.

Convolution, régularisation par convolution, lemme d’Urysohn.

Transformée de Fourier : classe de Schwartz, L1, extension à L2.

Les groupes et leurs morphismes. Groupes, sous-groupes, classes modulo un sous-groupe, ordre d’un élément, théorème de Lagrange, exemples (groupes de permutation, groupes cycliques), morphismes, isomorphismes, image et noyau.

Groupes cycliques. Indicatrice d’Euler, sous-groupes d’un groupe cyclique, Z/nZ, le groupe multiplicatif (Z/nZ)×.

Groupes quotients, produit direct. Sous-groupes distingués, groupes quotients, théorème d’isomorphisme, produit direct, théorème des restes chinois.

Actions de groupes. Orbites, stabilisateur, formule de Burnside, théorèmes de Sylow.

Applications à la géométrie. Groupes diédraux, Sous-groupes finis de SO3 et solides platoniciens.

Droite projective. C ∪ {∞}, action de PSL2(C), homographies, cercles de Möbius, birapport et applications.

- Algèbre linéaire et espaces hermitiens : Cauchy-Schwarz, projections orthogonales, matrices orthogonales, matrices symétriques, matrices adjointes, réduction dans R et C, cas particulier des matrices normales.

- Normes matricielles, norme subordonnée.

- Lien entre la norme matricielle et le rayon spectral.

- Suites de matrices, itérées de matrices.

- Décompositions LU, QR, Cholesky.

- Décomposition en valeurs singulières.

- Résolution de systèmes : conditionnement, méthodes directes, méthodes itératives.

- Méthodes approchées de recherche de valeurs propres (méthode de la puissance, QR).

- Approximation par la méthode des moindres carrés.

- Séries de Fourier, transformée de Fourier rapide.

- Méthode du gradient conjugué.

Dualité et formes quadratiques. Transposée d’une application linéaire, orthogonal d’un sous-espace vectoriel. Formes bilinéaires symétriques, matrice associée, formes quadratiques (en caractéristique différente de 2). Cas réel : signature, théorème de Sylvester. Réduction de Gauss, rang.

Anneaux et corps. Anneaux commutatifs unitaires, anneaux intègres, corps (exemples : Q, R, C, Z/pZ). Idéaux, idéaux maximaux, anneaux quotients. Anneaux de polynômes sur un corps, racines, nombres algébriques, polynôme minimal, degré́. Extension de corps, corps de rupture, corps de décomposition. Applications : corps finis, construction à la règle et au compas.

Géométrie. Espaces affines, barycentres, groupe affine. Espaces projectifs P(E) (E R−espace vectoriel de dimension finie principalement 3), sous-espaces projectifs, action de PGL(E), cartes affines, coordonnées homogènes, dualité projective. Théorème de Desargues, coniques du plan affine.

Calcul différentiel dans Rn. Rappels : continuité, différentiabilité. Difféomorphismes. Théorème d’inversion locale. Théorème des fonctions implicites. Courbes paramétrées.

Analyse complexe. Fonctions holomorphes. Conditions de Cauchy-Riemann. Séries entières et fonctions analytiques. Fonctions classiques. Intégrales curvilignes. Primitives de fonctions complexes. Indice d’un point par rapport à un lacet. Théorème de Goursat pour un ouvert étoilé. Formule intégrale de Cauchy. Principe du prolongement analytique. Principe du maximum. Singularités isolées. Pôles. Théorème des résidus dans un ouvert étoilé. Application à des calculs d’intégrales.

Probabilités. Espaces probabilisés. Variables aléatoires : loi, moments, fonction de répartition. Lois usuelles discrètes et continues. Indépendance, conditionnement par un évènement. Fonctions caractéristiques. Vecteurs aléatoires. Suites de variables aléatoires, convergence presque sûre, convergence en probabilité, convergence en loi, convergence dans Lp. Loi des grands nombres. Théorème central limite. Introduction aux chaînes de Markov sur un espace d’états fini.

Statistiques. Estimateur, exemples : estimateur des moments, estimateur du maximum de vraisemblance (admis). Intervalles de confiance. Test de la moyenne, d’une proportion.