Polycopié succinct de P. Mironescu et J. Kellendonk, recommandé aux étudiants qui suivent régulièrement le cours. (pdf).
Polycopié détaillé de J. Melleray, mieux adapté aux étudiants qui ne peuvent pas suivre le cours (double cursus, etc.). (pdf). Chapitres 1,2,3,4 (sauf 4.6 et 4.7), 5 et 6 (sauf 6.8).
Cours magistraux. 1er CM le vendredi 6 septembre 14:00-17:15.
Travaux dirigés. TD A, B et C le jeudi 9:45-13:00. TD D le jeudi 8:00-11:15. Premier TD le 12 septembre.
Partiel le vendredi 25 octobre 2024, 14:00-16:00, Amphi Astrée. Programme: exercices sur les chapitres 1 et 2. Questions de cours sur les chapitres 1, 2 et 3. Liste de démonstrations à connaître: attendus2024.pdf
Modalité de contrôle des connaissances et de compétence
Un contrôle partiel (CP) + un contrôle terminal (CT). Note finale : max(CT, (0.49*CP + 0.51*CT)/2).
Session 2. Un contrôle terminal de session 2 (CT2) est proposé uniquement aux étudiants ajournés ou défaillants. Ce contrôle est facultatif. Pour les étudiants qui se présentent à la session 2, la note finale est max(CT2, (0.49*CP+0.51*CT2)/2).
Programme
Espaces topologiques
Topologies sur un ensemble. Définition, premiers exemples.
Espaces normés. Rappels sur les normes classiques de R^n. Distance issue d'une norme
Intérieur et adhérence. Exemples. Réunion, intersection, complémentaire.
Voisinages. Caractérisation de l'intérieur et de l'adhérence.
Suites. Notion de convergence. Unicité de la limite dans un espace topologique séparé.
Suites dans un espace métrique. Caractérisation de l'adhérence.
Comparaison de topologie et des distances. Distances topologiquement équivalentes et Lipschitz-équivalentes.
Prébases et bases d'une topologie.
Espaces produit. Produit finis d'espaces métriques et distance-infinie. Convergence d'une suite dans un espace produit.
Sous-espaces métriques. Distance et topologie induite.
Partie denses. Espaces métriques séparables
Continuité
Fonctions continues. Retour sur la définition topologique. Caractérisation de la continuité dans un espace métrique. Fonctions lipschitzienne entre espaces métriques.
Applications linéaires entre e.v.n.. Critères de continuité. L'espace L(E,F).
Continuité des applications multilinéaires.
Propriétés de fonctions continues. Composition. Espace produits et continuité des projections. Somme, produit de fonctions continues.
Continuité de la fonction distance.
Homéomorphismes et isométries.
Espaces complets
Suites de Cauchy
Complétude et fermés. Complétude d'espaces produits.
Exemples d'espaces complets. L'espace des fonctions bornées, et continues-bornées. Complétude de L(E,F). L'espace des suites réelles bornées.
Séries dans un e.v.n.. Inversibilité dans L(E).
Théorème des contractions. Applications.
Continuité uniforme. Prolongement d'une application uniformément continue.
Compacts
Compacité et compacité séquentielle. Théorème de Borel-Lebesgue.
Propriétés des espaces compacts. Compacts et fermés. Compacts et espaces produits.
Compacité dans R^n. Bolzano-Weierstrass. Caractérisation des fermés-bornés de R^n.
Fonctions continues sur un compacts. Théorème de Weierstrass et ses variantes. Théorème de Heine.
Compacité dans un e.v.n. de dimension finie. Équivalence des normes. Théorème de la meilleure approximation.
Connexité
Définition. Adhérence d'un connexe. Réunions de connexes.
Composantes connexes. Produit de connexes.
Connexes de R. Intervalles. Caractérisation des ouverts de R.
Convexes et étoilés dans un e.v.n.
Connexes par arcs.
Compléments
Complété d'un espace métrique.
Le théorème d'Ascoli.
Avancement TD
Pierre Lavaurs (groupe A)
12/09 : Feuille 1 exos 1 à 8 (inachevé) en bâclant un peu la fin du 6 et les détails du 7. Travailler la fin de la fiche pour la semaine prochaine.
19/09 : Correction des exercices 8 à 10 de la fiche 1. Fiche 2, exercices 1 à 4. Travailler le 5, le 7 et le 8 pour la semaine prochaine.
26/09 : Fiche 2, exercices 5 à 9.
03/10 : Fiche 2, exercices 10 et 11. Fiche 3, exercices 1 à 5. Travailler les 6 et 9 pour la semaine prochaine.
10/10 : Fiche 3, exercices 6 à 13 (pas tout à fait achevé). Pour la semaine prochaine, regarder le 14 et, si on est courageux, le 17.
Thomas Blossier (groupe B)
12/09 : Feuille 1, exercices 1 à 6, et variante ex 7 (normes sur espace des fonctions continues sur [0,1]).
19/09 : Feuille 1, exercices 8 à 10. Feuille 2, exercices 1 à 4.
6 septembre (3h). Motivations. Définition de topologie. Exemples : topologie euclidienne de Rn, discrète, chaotique, co-finie (laissée en exercice). Exercice : dans un espace topologique l'intersection de fermés est fermée et la réunion finie de fermés est fermée. Définition de distance. Exemples : distance euclidienne sur R^n, distance discrète. Boules. Définition d'ouvert et fermé dans un espace métrique. Exemple : construction de la boule centrée en 2 et de rayon 1/2, d'abord dans R et ensuite dans l'espace métrique [2,3]. Les boules sont ouvertes. Exercice : les boules “avec inégalité large” sont fermées. Construction de la topologie métrique. La distance discrète induit la topologie discrète. Espaces topologiques séparés. Exemples : la topologie métrique est séparée. La topologie chaotique n'est pas séparée. Dans un espace séparé les singletons sont fermés. Définition de norme. Exemple: norme euclidienne sur Rn. Exercice : la norme-infini et la norme-1 sur l'espace C([a,b],R) vérifient les axiomes de norme. Construction de la distances issue d'une norme. Définition d'intérieur et d'adhérence. Complémentaire de l'intérieur/adhérence. Intérieur et adhérence d'une réunion et intersection de deux ensembles.
13 septembre (3h). Voisinages. x appartient à l'adhérence de A ssi tout voisinage de x intersecte A. Suites. Sous-suites. Convergence (définition avec les voisinages). Unicité de la limite. Suites dans un espace métrique. Dans un espace métrique x appartient à l'adhérence de A ssi existe une suite de A convergente vers x. Corollaire : critère pour qu'une partie d'un métrique soit fermée utilisant les suites. Définition de distances topologiquent équivalentes. C.n.s pour que deux distances soient topologiquement équivalentes utilisant les suites. Exemple : dans R, (x,y)→ |e^x-e^y| définit une distance topologiquement équivalente à la distance euclidienne. C.n.s. pour que deux distances soient topologiquement équivalentes utilisant les boules emboîtées. Définition de distances lipschitz-équivalentes. Distances Lipschitz équivalentes implique distances topologiquement équivalentes. Sous espaces métriques. Caractérisation des ouverts et des fermés dans un sous-espace métrique. Exemple d'un espace métrique (une réunion de deux intervalles disjoints) possédant des parties non-triviales simultanément ouvertes et fermées. Notion de partie dense d'un espace métrique. Notion d'espace métrique séparable. Un sous-espace d'un espace métrique séparable est séparable (démonstration hors programme). Critère de non séparabilité et exemple d'un espace métrique non séparable. Produit fini d'espace métriques et distance-infinie. Convergence dans une produit fini d'espace métriques. Boule dans un produit pour la distance-infinie comme produit de boules. Le produit d'ouverts/fermés est ouvert/fermé. Inégalité de Young, de Holder et de Minkowski. La norme-p dans Rn et espaces de suite lp.
20 septembre (3h). Le produit fini d'espace séparable est séparable (démonstration laissée en exercice). Compléments au chapitre 1: les définitions suivantes ont été données sans commentaires particuliers : partie bornée d'un espace métrique (définition avec une boule).Point d'accumulation. Inégalité de Young, de Holder et de Minkowski. La norme-p dans Rn et espaces de suite lp.Chapitre 2 : Fonctions continues en un point entre espaces métriques : définition avec les voisinages. Caractérisation de la continuité en un point avec epsilon/delta. Caractérisation de la continuité en un point avec les suites. f est continue en tout point si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert. Continuité et image réciproque de fermés. Fonctions lipschitziennes. Lipschitzienne implique continue. Limites d'une fonction en un point dans l'adhérence de l'ensemble de définition. Caractérisation séquentielle de la limite en un point. Critère de continuité des applications linéaires. L'espace L(E,F) des applications linéaires continues. Norme subordonnée d'une application linéaire. Exemple de calcul d'une norme subordonnée. Exemple d'application linéaire discontinue (l'application de dérivation). Deux normes sont topologiquement équivalentes si et seulement si elles sont lipschitz équivalentes. Continuité des applications bilinéaires et multilinéaires.
27 septembre (3h). Opérations avec les fonctions continues. Continuité des fonctions à valeurs dans un produit. Fonction continues définies sur un produit d'espaces métriques : si on fixe une variable on obtient une fonction continue des autres variables. Continuité de la somme/du produit de deux fonctions à valeur dans un e.v.n/dans R. La distance est une application lipschitzienne de X x X dans R. Isométries. Injectivité d'une isométrie. Espaces métriques isométrique. Exercice (non résolu) : C([a,b],R) et C([0,1],R) sont isométriques. Homéomorphismes. Exemple d'une fonction continue et bijective (entre un intervalle semi-ouvert et le cercle) avec inverse discontinue. Exercice (non résolu): un carré est homéomorphe à un disque. Propriétés topologiques et exemples (séparabilité, métrisabilité). Chapitre 3. Suites de Cauchy. Toute suite convergente est de Cauchy. Valeurs d'adhérence. Toute suite de Cauchy avec une valeur d'adhérence converge vers cette valeur. Toute suite de Cauchy est bornée. Exemple d'une suite de Cauchy divergente dans l'intervalle (0,1]. Espaces complets. R est complet. Le produit fini d'espaces complets est complet. L'espace métrique des fonctions bornées B(X,Y) avec la distance du sup. Si Y est complet alors B(X,Y) est complet. L'espace des suites bornée est complet avec la norme du sup. Convergence uniforme d'une suite de fonctions entre deux espaces métriques.
4 octobre (3h). L'espace métrique des fonctions continues et bornées C_b(X,Y) avec la distance du sup et démonstration de sa complétude lorsque Y est complet. Espaces de Banach. Exemples : R^n, C([a,b],R). L'espace des applications linéaires et continues à valeur dans un Banach est un Banach pour la norme subordonnée. Le dual topologique d'un e.v.n. est un Banach. Définition de série convergente et de série normalement convergente dans un espace vectoriel normé. Dans un Banach, toute série normalement convergente est convergente. Endomorphismes et exponentiel d'un endomorphisme. Si E est un espace de Banach et si T:E→E est une application linéaire continue de E dans E de norme subordonnée strictement inférieure à 1, alors I-T est inversible. Applications aux matrices. Norme subordonnée d'une matrice. Formule de l'inverse de la matrice I-M. Définition de l'exponentielle d'une matrice réelle carrée. Contractions et théorème de point fixe. Exemple d'une fonction contractante dans C([0,1],R). Continuité uniforme. Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. L'image d'une suite de Cauchy par une fonction uniformément continue est de Cauchy. Théorème de prolongement d'une application uniformément continue définie sur une partie dense. Théorème de prolongement d'une application linéaire continue définie sur un sous-espace dense.
11 octobre (3h).Chapitre 4. Recouvrements ouverts. Constante de Lebesgue d'un recouvrement. Théorème de Bolzano Weierstrass (non démontré, mais démonstration en L2) Séquentiellement compact implique l'existence d'une constante de Lebesgue d'un recouvrement. Séquentiellement compact implique précompact. Un espace métrique est compact si et seulement s'il est séquentiellement compact. Compact implique complet, fermé, borné et séparable. Un fermé dans un compact est compact. Le produit fini de compacts est compact. Dans Rn les compacts sont exactement les fermés-bornés. L'image d'un compact par une fonction continue est compact. Tout compact de R possède min et max. Théorème de Weierstrass. Toute fonction continue possédant un ensemble de sous-niveau compact possède un minimum. Toute fonction continue et coercive sur Rn possède un minimum. Théorème de Heine. Dans Rn toutes les normes sont équivalentes. Dans un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équivalentes.
