Topologie des espaces métriques

Cours: Lorenzo Brandolese, Travaux dirigés : Pierre Lavaurs (groupe A), Thomas Blossier (groupe B), Ivan Gentil (groupe C), Hamza Si Kaddour (groupe D).

• Polycopié succinct de P. Mironescu et J. Kellendonk, recommandé aux étudiants qui suivent régulièrement le cours. (pdf).
• Polycopié détaillé de J. Melleray, mieux adapté aux étudiants qui ne peuvent pas suivre le cours (double cursus, etc.). (pdf). Chapitres 1,2,3,4 (sauf 4.6 et 4.7), 5 et 6 (sauf 6.8).
• Exercices : Fiche 1. Fiche 2. Fiche 3. Fiche 4. Fiche 5. Fiche 6. Fiche 7.
• Annales :
  1. Examen 2023. Scan de la copie de H. Zigante.
  2. Partiel 2023. Scan de la copie de S. Bonici.
  3. Partiel 2022, Corrigé partiel 2022 de J. Melleray, Examen 2022, Corrigé examen 2022 de J. Melleray.
• Liste des démonstrations à connaître pour l'examen

• Pierre Lavaurs (groupe A)
  • 14/09 : feuille 1 exo 1 à 7 (sans les détails pour l'union de boules fermées au 4).
  • 21/09 : feuille 1 exo 8 à 13. Feuille 2 : exos 1,2 et 4 (sauf d). Pour la semaine prochaine, regarder 3, 5, 6 et 7 si on est courageux.
  • 28/09 : feuille 2, fin du 4 puis exos 3, 5, 6 (sommairement), 7 (sauf 2), 10 et début du 8. Pour la semaine prochaine, regarder le 11 (sans perdre trop de temps sur la question 3), et les 1,2 et 5 de la fiche suivante.
  • 5/10 : feuille 2, fin du 8, 9 en allant vite sur la fin, 11 (sauf questions 5 et 6). Feuille 3 : exercices 1, 2, 3, 5 et 6. Pour la semaine prochaine, regarder le 4 et le 9.
  • 12/10 : feuille 3, exos 4, 7, 8, 9, 10 et 11. Pour la semaine prochaine, regarder le 12 et le 14 (pas forcément jusqu'au bout).
  • 19/10 : fiche 3, exos 12, 13, 14, 15 et 16. Fiche 4 : exos 1, 2 et 3. Pour la semaine prochaine, regarder le 4 et le 8.
  • 26/10 : fiche 4, exos 4, 5, 6, 8 et première question du 7.
  • 9/11 : fiche 4, fin du 7, 9 et 10. Fiche 5 : 1 et 3. Pour la semaine prochaine, regarder le 2 et le 4.
  • 16/11 : fiche 5 exos 2 et 4. Fiche 6 : exos 1 à 6. Pour la semaine prochaine, regarder les 7 à 10.
  • 23/11 : fiche 6 exos 7 à 11, 13 et 14. Pour la semaine prochaine, regarder les 15 et 16.
  • 30/11 : fiche 6 exos 15 à 17.Fiche 7, exos 1 à 3. Pour la semaine prochaine, regarder les 4 à 8.
  • 7/12 : fiche 7, exos 4 à 8, 10 et 12.
• Thomas Blossier (groupe B)
  • 14/09 : feuille 1 exo 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8.
  • 21/09 : feuille 1 exo 3(description des boules), 9, 10, 12. Feuille 2 : 1.
  • 28/09 : feuille 2 exo 2, 3, 4, 5(1), 7(1&3), 8, 10.
  • 5/10 : feuille 2 exo 5(2), 6, 11, feuille 3 exo 1, 3, 6, 7.
  • 12/10 : feuille 3 exo 5, 9, 10, 12, 13, 14, 15.
  • 19/10 : feuille 3 exo 4, 8, 11. Feuille 4 exo 1, 2, 3.
  • 26/10 : feuille 4 exo 4, 5, 7, 8(1, début 2).
  • 9/11 : feuille 4 exo 8(fin), 6, 9 et 10. Feuille 5 : 1 et 2.
  • 16/11 : feuille 5 : 3 et 4. Feuille 6 : 1, 2, 4, 6, 7.
  • 23/11 : feuille 6 : 3, 9, 10, 11, 12, 16.
  • 30/11 : feuille 6 : 13, 14. Feuille 7 : 1, 2, 3, 7. Préparer pour le 7/12, l'exo 18 de la feuille 6 et les exos 4, 5, 8, 10 de la feuille 8

• Ivan Gentil (groupe C)
  • 14/09 : feuille 1 exo 1, 2, 4, 5, 6, 7. Faire le 3 et 8 pour le 21/09.
  • 21/09 : feuille 1, exo 3 8, 10, 11. Feuille 2 : 1,2, 3. Pour le 28/09 terminer le 3 de la feuille 2 et faire le 12 de la feuille 1.
  • 28/09 : feuille 2 : 3, 4, 6, 7, 8. Faire le 11 pour le 5 octobre.
  • 5/10 : feuille 2 : exo 10 et 11, feuille 3 exo 1, 2, 3, 4, 9. Pour le 12/10 terminer le 10 et faire le 11.
  • 12/10 : feuille 3 : 10, 11, 12, 13. Pour le 19/10 terminer le 14 et faire le 15.
  • 19/10 : feuille 3 exo 14 et 15, feuille 4, exo 1 et 2, faire le 3 pour le 26/10.
  • 26/10 : feuille 4 : exo 3, 4, 5, 6. Faire le 7 pour le 9/11.
  • 9/11 : feuille 4 : exo 7, 10. Feuille 5 : exo 1, 4 finir le 2 pour le 16/11.
  • 16/11 : Feuille 4 : exos 1, 2, 3, 4, 5, 6. Faire le 7 pour le 23/11.
  • 23/11 : feuille 4 : exos 7, 8, 9, 11, 12.
  • 30/11 : Feuille 4, exos 13 et 14, feuille 5, exos 1, 2, 3. A faire l'exo 17 de la feuille 4 et le 5 de la feuille 5.
  • 7/12 : Feuille 5: exos 4, 5, 7, 10 et 11
• Hamza Si Kaddour (groupe D)
  • 14/09 : Feuille 1 exo 1 à 5
  • 21/09 : Feuille 1 exo 6, 7, 8, 9, 11, 12. Feuille 2 exo 1, 2
  • 28/09 : Feuille 2 exo 3, 4, 5, 6, 7(1)
  • 5/10 : Feuille 2 exo 7(2,3), 8, 9, 11(1,2,3).
  • 12/10 : Feuille 2 exo 11(4,5,6), 10. Feuille 3 exo 1, 3 ,4, 5, 6, 7, 8, 13(1)
  • 19/10 : Feuille 3 exo 8(3), 9 ,10, 11, 13(3), 14(1,2,3), 15, 17(1)
  • 26/10 : Feuille 3 exo 17(2,3,4), 13(2), 12. Feuille 4 exo 1, 2, 3, 4, 5.
  • 09/11 : Feuille 4 exo 7, 8, 9, 10
  • 16/11 : Feuille 5 exo 1, 2, 3. Feuille 6 exo 1, 2, 3, 4, 7
  • 23/11 : Feuille 5 exo 4. Feuille 6 exo 5, 6, 8, 9, 10, 11
  • 30/11 : 30/11 : Feuille 6 exo14, 16. Feuille 7 exo 1, 2, 3(1)
  • 07/12 : Feuille 7 exo3(2), 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11(1a).

• Cours magistraux. 1er CM le jeudi 7 septembre 9:45-13:00. À partir du 8 septembre, CM les vendredis 14:00-15:30 (sauf le 27 octobre). CM supplémentaires les 15, 22, 29 septembre, 15:45-17:15.
• Travaux dirigés. TD A et B les jeudi 9:45-13:00. TD C le jeudi 8:00-11:15. Premier TD le 14 septembre.
• Séance de soutien le 7 décembre 15:45-17:15.
• Partiel le vendredi 27 octobre 2023, 14:00-16:00. Programme: exercices et questions de cours sur les chapitres 1 et 2.

• Un contrôle partiel (CP) + un contrôle terminal (CT). Note finale : max(CT, (CP+CT)/2).
• Session 2. Un contrôle terminal de session 2 (CT2) est proposé uniquement aux étudiants ajournés. Ce contrôle est facultatif. Pour les étudiants qui se présentent à la session 2, la note finale est max(CT2, (CP+CT2)/2).

1. Espaces topologiques
   1. Topologies sur un ensemble. Définition, premiers exemples. Définition de fonction continue entre deux espaces topologiques.
   2. Espaces métriques. Distances, boules, sphères, ouverts métriques. Topologie issue d'une distance.
   3. Espaces séparés. Singletons.
   4. Espaces normés. Rappels sur les normes classiques de R^n. Distance issue d'une norme
   5. Intérieur et adhérence. Exemples. Réunion, intersection, complémentaire.
   6. Voisinages. Caractérisation de l'intérieur et de l'adhérence.
   7. Suites. Notion de convergence. Unicité de la limite dans un espace topologique séparé.
   8. Suites dans un espace métrique. Caractérisation de l'adhérence.
   9. Comparaison de topologie et des distances. Distances topologiquement équivalentes et Lipschitz-équivalentes.
   10. Prébases et bases d'une topologie.
   11. Espaces produit. Produit finis d'espaces métriques et distance-infinie. Convergence d'une suite dans un espace produit.
   12. Sous-espaces métriques. Distance et topologie induite.
   13. Partie denses. Espaces métriques séparables
2. Continuité
   1. Fonctions continues. Retour sur la définition topologique. Caractérisation de la continuité dans un espace métrique. Fonctions lipschitzienne entre espaces métriques.
   2. Applications linéaires entre e.v.n.. Critères de continuité. L'espace L(E,F). Continuité des applications multilinéaires.
   3. Propriétés de fonctions continues. Composition. Espace produits et continuité des projections. Somme, produit de fonctions continues.
   4. Continuité uniforme. Convergence uniforme. Continuité de la fonction distance.
   5. Homéomorphismes et isométries.
3. Espaces complets
   1. Suites de Cauchy
   2. Complétude et fermés. Complétude d'espaces produits. L'espace des fonctions continues et bornées. Complétude de L(E,F). L'espace des suites réelles bornées.
   3. Théorème des contractions. Applications.
   4. Séries dans un e.v.n.. Inversibilité dans L(E).
4. Compacts
   1. Compacité et compacité séquentielle. Théorème de Borel-Lebesgue.
   2. Propriétés des espaces compacts. Compacts et fermés. Compacts et espaces produits.
   3. Compacité dans R^n. Bolzano-Weierstrass. Caractérisation des fermés-bornés de R^n.
   4. Fonctions continues sur un compacts. Théorème de Weierstrass et ses variantes. Théorème de Heine.
   5. Compacité dans un e.v.n. de dimension finie. Équivalence des normes. Théorème de la meilleure approximation.
5. Connexité
   1. Définition. Adhérence d'un connexe. Réunions de connexes.
   2. Composantes connexes. Produit de connexes.
   3. Connexes de R. Intervalles. Caractérisation des ouverts de R.
   4. Convexes et étoilés dans un e.v.n.
   5. Connexes par arcs.
6. Compléments
   1. Prolongements. Prolongement des applications uniformément continues et des applications linéaires.
   2. Complété d'un espace métrique.
   3. Le théorème d'Ascoli.

1. 7 septembre (3h). Sections 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5. Motivations. Définition de topologie. Exemples : topologie euclidienne de Rn, discrète, chaotique, co-finie. Exercice : dans un espace topologique l'intersection de fermés est fermée et la réunion finie de fermés est fermée.Rappel : une fonction de Rn dans Rm est continues si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert. Définition de fonction continue entre espaces topologiques. Exercice : “la composition de fonctions continues entre espaces topologiques est continue” (La continuité sera détaillée plus tard dans le chapitre 2, l'exercice sert simplement à illustrer l'intérêt de redéfinir la continuité sans epsilon et delta). Définition de distance. Exemples : distance euclidienne sur R^n, distance discrète. Boules. Définition d'ouvert et fermé dans un espace métrique. Les boules sont ouvertes. Exercice : les boules “avec inégalité large” sont fermées. Construction de la topologie métrique. Exercice : la distance discrète induit la topologie discrète. Espaces topologiques séparés. Exemples : la topologie métrique est séparée. La topologie chaotique n'est pas séparée. Dans un espace séparé les singletons sont fermés. Définition de norme. Exemple: norme euclidienne sur Rn. Exercice : la norme-infini et la norme-1 sur l'espace C([a,b],R) vérifient les axiomes de norme. Construction de la distances issue d'une norme. Définition d'intérieur et d'adhérence. Complémentaire de l'intérieur/adhérence. Intérieur et adhérence d'une réunion et intersection de deux ensembles.
2. 8 septembre (1h30). Voisinages. x appartient à l'adhérence de A ssi tout voisinage de x intersecte A. Suites. Sous-suites. Convergence (définition avec les voisinages). Unicité de la limite. Suites dans un espace métrique. Dans un espace métrique x appartient à l'adhérence de A ssi existe une suite de A convergente vers x. Corollaire : critère pour qu'une partie d'un métrique soit fermée utilisant les suites. Définition de distances topologiquent équivalentes. C.n.s pour que deux distances soient topologiquement équivalentes utilisant les suites. Définition de distances lipschitz-équivalentes.
3. 15 septembre (3h00). Distances Lipschitz équivalentes implique distances topologiquement équivalentes. C.n.s. pour que deux distances soient topologiquement équivalentes utilisant les boules emboîtées. Produit fini d'espace métriques et distance-infinie. Convergence dans une produit fini d'espace métriques. Boule dans un produit pour la distance-infinie comme produit de boules. Le produit d'ouverts/fermés est ouvert/fermé. Sous espaces métriques. Caractérisation des ouverts et des fermés dans un sous-espace métrique. Exemple: l'intervalle [0,1) est ouvert dans R+. Exemple d'un espace métrique (une réunion de deux intervalles disjoints) possédant des parties non-triviales simultanément ouvertes et fermées. Notion de partie dense d'un espace métrique. Notion d'espace métrique séparable. Le produit fini d'espace séparable est séparable. Un sous-espace d'un espace métrique séparable est séparable (démonstration hors programme). Les définitions suivantes ont été données sans commentaires particuliers : partie bornée d'un espace métrique, point d'accumulation. Inégalité de Young, de Holder et de Minkowski. La norme-p dans Rn et espaces de suite lp. Chapitre 2 : Fonctions continues en un point entre espaces métriques : définition avec les voisinages. Caractérisation de la continuité en un point avec epsilon/delta. Caractérisation de la continuité en un point avec les suites. f est continue en tout point si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert.
4. 22 septembre (3h00). Continuité et image réciproque de fermés. Fonctions lipschitziennes. Lipschitzienne implique continue. Limites d'une fonction en un point dans l'adhérence de l'ensemble de définition. Caractérisation séquentielle de la limite en un point. Critère de continuité des applications linéaires. Deux normes sont topologiquement équivalentes si et seulement si elles sont lipschitz équivalentes. L'espace L(E,F) des applications linéaires continues. Norme subordonnée d'une application linéaire. Exemple de calcul d'une norme subordonnée. Opérations avec les fonctions continues. Continuité des applications bilinéaires et multilinéaires. Continuité des fonctions à valeurs dans un produit. Fonction continues définies sur un produit d'espaces métriques : si on fixe une variable on obtient une fonction continue des autres variables
5. 29 septembre (3h00). La distance est une application lipschitzienne de X x X dans R. Continuité uniforme. Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. Critère de non continuité uniforme. Convergence simple et convergence uniforme d'une suite de fonctions entre espaces métriques. La limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. La limite uniforme de fonctions bornées est bornée. Isométries. Injectivité d'une isométrie. Espaces métriques isométrique. Exercice (seulement l'indication) : C([a,b],R) et C([0,1],R) sont isométriques. Homéomorphismes. Exemple d'une fonction continue et bijective avec inverse discontinue. Exercice (seulement l'indication) : un carré est homéomorphe à un disque. Chapitre 3. Suites de Cauchy. Toute suite convergente est de Cauchy. Valeurs d'adhérence. Toute suite de Cauchy avec une valeur d'adhérence converge vers cette valeur. Toute suite de Cauchy est bornée. Exemple d'une suite de Cauchy divergente dans l'intervalle (0,1]. Espaces complets. R est complet. Le produit fini d'espaces complets est complet. L'espace métrique des fonctions continues et bornées C_b(X,Y) avec la distance du sup et démonstration de sa complétude.
6. 6 octobre (3h00). Espaces de Banach. Exemples : R^n, C([a,b],R). L'espaces des suites réelles bornées est de Banach pour la norme du sup. L'espace des suites réelles carré-sommables est de Banach pour la norme-2. Exercice (non fait) : l'espace des suites réelles sommables est de Banach pour la norme-1. L'espace des applications linéaires et continues à valeur dans un Banach est un Banach pour la norme subordonnée. Le dual topologique d'un e.v.n. est une Banach. Contractions et théorème de point fixe. Définition de série convergente et de série normalement convergente dans un espace vectoriel normé. Dans un Banach, toute série normalement convergente est convergente. Si E est un espace de Banach et si T:E→E est une application linéaire continue de E dans E de norme subordonnée strictement inférieure à 1, alors I-T est inversible dans et l'inverse est la somme de la série des itérées de T. Applications aux matrices. Norme subordonnée d'une matrice. Formule de l'inverse de la matrice I-M. Définition de l'exponentielle d'une matrice réelle carrée.
7. 13 octobre (3h00). Chapitre 4. Recouvrements ouverts. Constante de Lebesgue d'un recouvrement. Théorème de Bolzano Weierstrass (non démontré, mais démonstration en L2) Séquentiellement compact implique l'existence d'une constante de Lebesgue d'un recouvrement. Séquentiellement compact implique précompact. Un espace métrique est compact si et seulement s'il est séquentiellement compact. Compact implique complet, fermé, et borné. Un fermé dans un compact est compact. Le produit fini de compacts est compact. Dans Rn les compacts sont exactement les fermés-bornés. Exercice (non résolu) : la boule fermée de l-infini est bornée mais non compacte. L'image d'un compact par une fonction continue est compact. Tout compact de R possède min et max. Théorème de Weierstrass. Toute fonction continue possédant un ensemble de sous-niveau compact possède un minimum. Toute fonction continue et coercive sur Rn possède un minimum. Théorème de Heine. Dans Rn toutes les normes sont équivalentes.
8. 20 octobre. Pas de cours.
9. 27 octobre (2h00). Partiel. Pas de cours.
10. 3 novembre. Pas de cours.
11. 10 novembre. (1h30) Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Toute application linéaire définie sur un espace vectoriel normé de dimension finie est continue. Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les parties fermées et bornées sont compactes. Un sous espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normée est une partie fermée et complète. Meilleure approximation : si A est une partie fermée d'un espace vectoriel normé et si A est contenue dans un sous-espace vectoriel de dimension finie, alors tout élément de E admet un élément de A qui réalise la plus courte distance. Théorème de Riesz : dans tout espace vectoriel normé de dimension infinie, les boules fermées ne sont pas compactes. Produit dénombrable d'espaces métriques compacts.
12. 17 novembre. (3h00). Chapitre 5.. Espaces métriques connexes. Dans un connexe, les seules parties simultanément ouvertes et fermée sont l'ensemble vide et l'espace entier. Un espace est connexe si et seulement si toute fonction continue à valeurs dans {0,1} est constante. Si A est connexe et B est contenu dans l'adhérence de A alors B est connexe. La réunion de connexes qui intersectent un connexe est connexe. Composantes connexes : elles sont connexes, fermée, disjointes si distinctes, ouvertes si en nombre fini. L'image d'un connexe par une fonction continue est connexe. Le produit fini de connexes est connexe. Dans R, une partie est connexe si et seulement si est un intervalle. Tout ouvert de R est réunion dénombrable d'intervalles ouverts. Ségments dans un espace vectoriel normé. Ensembles étoilés et ensembles convexes. Tout convexe est étoilé et tout étoilé est connexe. Espaces connexes par arcs. Tout espace connexe par arcs est connexe. La relation d'être 'relié par un arc' est une relation d'equivalence sur les points d'un espace métrique. Dans un espace vectoriel normé, un ouvert connexe est connexe par arcs.
13. 24 novembre. (1h30). (prévision) Toute fonction de classe C^1 sur ouvert connexe de R^n et de gradient nul est constante. Compléments (utiles aux étudiants qui poursuivent en master, non exigés à l'examen) : produit dénombrable d'espaces métriques et distance produit. Méthode d'extraction diagonale. Le produit dénombrable d'espaces métriques compacts est compact.