Arithmétique et groupes (UE-MAT3159L)
* Enseigants: Jiang Zeng (CM, mél), Alexis Tchoudjem (TD, mél)
* Séq: 3, CM jeudi 14h00-17h15 (1er CM 07/09/2023), TD mardi 9h45-13h (1er TD 12/09/2023).
Modalité d'évaluation (MCCC)
Il y a deux CC (90 minutes) et un CT (120 minutes).
* CC1: 12/10/2023 14h-15h30, Amphi Thémis 11 (RDC)
* CC2: 23/11/2023 14h–15h30, Grignard 02 (RDC)
* Note de l'UE: max ((CP+CT)/2, CT), où CP=(CC1+CC2)/2.
Polycopié de cours ici
Plan du cours
Chapitre 1. Vocabulaire de la théorie des ensembles (3h00)
Applications, relations, relations d’ordre et relations d’équivalence. Exemples de relations d'ordre et d'équivalence dans Z.
L'axiome de bon ordre de 
, les deux principes de récurrence.
Rappels sur le groupe 
et anneau 
.
Chapitre 2. Arithmétique dans Z (9h00)
1. Divisibilité.
Division euclidienne.
Tout sous-groupe de Z peut s'ecrire aZ (
).
2. Pgcd et Ppcm. Identité de Bézout.
Interpretation en termes d'ideaux de l'anneau Z.
.
Entiers premiers entre eux; théorème de Bézout.
3. Nombres premiers.
Tout entier >1 admet un diviseur premier et s'il est
composé il admet un diviseur premier majoré par 
.
Il y a une infinité de nombres premiers.
Lemme de Gauss. Lemme d'Euclide.
Théorème fondamental de l'arithmetique.
4. Algorithme d'Euclide et algorithme de Bezout.
Résolution d'equation diophantienne ax+by=c.
5. Congruences dans Z. L'anneau Z/nZ.
Equations lineaires modulo n. Algorithme d'inversion.
6. Petit theoreme de Fermat. Theoreme de Wilson. Theoreme des restes chinois.
Indicateur d' Euler. Theoreme d'Euler.
7. Application a la cryptographie a clefs publiques.
Chapitre 3. Polynômes à coefficients réels et complexes (3h00)
1. L'anneau K[X], où K est un corps commutatif. 2. Division des polynômes, PGCD. 3. Racines d'un polynôme. Formule de Taylor. Théorème de D'Alembert-Gauss (admis). 4. Polynômes irréductibles. Décomposition dans R[X] et C[X].
Chapitre 4. Groupes (9h00)
Sous-groupes, morphismes de groupes. Groupes cycliques. Groupes Z/nZ, groupe des racines n-ième de l'unité. Groupes symétriques. Exemples de groupes agissant sur un ensemble, exemple de groupes laissant invariante une partie du plan ou de l’espace.
Feuilles de TD
Fiche 1 (bijections), quelques corrections, quelques autres corrections,
Fiche 3 (aritmétique : exercices supplémentaires)
Fiche 5 (polynômes (somme des puissances et racines des polynômes de degré 3)
Fiche 6 (groupes) Exercices supplémentaires (sur Z/nZ et le groupe symétrique) correction de l'exercice 1
