Semestre d'automne 2018
Vous pouvez passer poser des questions au bureau d'Elise Fouassier, 254 bâtiment Braconnier.
Cours : Elise Fouassier
TD :
Voici ce qui a été fait en cours jusqu'au 4 décembre. Le cours est maintenant terminé.
Introduction : quelques rappels sur R
I-Espaces métriques
1)Définitions
a) Distance, espace métrique
(définitions de distance, espace métrique, distances Lipschitz-équivalentes, exemples)
b) Boules
c) Parties bornées
d) Construction de métriques
(métriques sur un produit fini d'espaces métriques, métrique induite)
2)Espaces vectoriels normés
a) Définitions
b) Normes standard sur R^n (normes p)
c) Normes sur des espaces de suites
d) Normes sur des espaces de fonctions
3) Topologie des espaces métriques
a) Ouverts, topologie
(propriétés vis à vis de l'union et de l'intersection)
b) Fermés
c) Distances topologiquement équivalentes
(lien avec la notion de Lipschitz-équivalentes, cas des normes)
d) Topologie induite
e) Intérieur, adhérence, frontière, sous-ensemble dense
f) Bases d'ouverts
4) Suites dans un espace métrique
a) Suites convergentes, limites
b) Limite et adhérence
c) Caractérisation séquentielle des fermés
d) Valeur d'adhérence d'une suite, suites extraites
5) Continuité
a) Applications continues
(définition métrique, caractérisation topologique)
b) Caractérisation séquentielle de la continuité
c) Limite d'une fonction en un point
d) Continuité uniforme, applications lipschitziennes
e) Suites d'applications : convergence simple, convergence uniforme
f) Homéomorphismes
6) Continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés
7) Suites et continuité dans les espaces produit
II-Espaces métriques connexes
1) Définitions et propriétés
2) Exemple fondamental : les connexes de R
3) Fonctions continues et connexité
4) Connexité par arcs
5) Composantes connexes
6) Espaces localement connexes
III - Espaces métriques compacts
1) Définition (propriété de Borel-Lebesgue)
2) Caractérisation séquentielle (propriété de Bolzano-Weierstrass)
3) Propriétés des parties compactes
4) Les compacts de R
5) Union, intersection
6) Produit d'espaces compacts (fini puis dénombrable)
7) Fonctions continues sur un compact (image d'un compact par une application continue, continuité uniforme)
8) Application aux espaces vectoriels normés de dimension finie
IV- Espaces métriques complets
1) Suites de Cauchy, espaces complets
2) Exemple fondamental (evn de dimension finie)
3) Quelques propriétés
4) Séries dans un espace vectoriel normé complet
5) Exemples d'espaces complets (espaces de fonctions, espaces de suites)
6) Théorème du point fixe
7) Théorème de prolongement des applications uniformément continues
8) Complété d'un espace métrique
I-Définitions, cadre, premiers exemples
1) Equation différentielle, solutions
(cadre : dimension finie, ordre 1, sous forme résolue)
2) L'exemple des équations linéaires scalaires
3) Lemme de Gronwall
4) Un peu de vocabulaire
(équations linéaires, autonomes, d'ordre n)
II-Théorie de Cauchy-Lipschitz : “première”
1) Enoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz
(admis pour l'instant)
Remarques autour du résultat énoncé
2) Premières conséquences du théorème de Cauchy-Lipschitz
3) Théorème d'explosion en temps fini
III-Equations différentielles linéaires
1) Structure de l'ensemble des solutions
2) Système fondamental de solutions
3) Expression des solutions, formule de Duhamel
4) Le cas à coefficients constants (exponentielle de matrices)
5) Les équations linéaires scalaires d'ordre d>=2
6) Comportement asymptotique de e^{tA} quand t tend vers l'infini
IV-Quelques éléments d'étude qualitative des équations différentielles autonomes
1) Stabilité des solutions stationnaires (ou équilibres)
2) Portraits de phase en dimension 2
V-Théorie de Cauchy-Lipschitz : “deuxième”
1) Rappel des résultats à démontrer (théorème de Cauchy-Lipschitz et théorème de sortie de tout compact)
2) Réécriture du problème en un problème de point fixe
3) Existence d'une solution sur un petit intervalle
4) Unicité et prolongement en une solution maximale
5) Preuve du théorème “des bouts” ou “de sortie de tout compact”
6) Le flot associé à une équation différentielle
* Feuille 1 : distances, normes, ouverts, fermés…
* Feuille 2 : équations différentielles
* Feuille 3 : valeurs d'adhérence, continuité
* Feuille 4 : connexité
* Feuille 5 : équations différentielles linéaires
* Feuille 6 : compacité
* Feuille 7 : espaces métriques complets
* Feuille 8 : étude qualitative d'équations différentielles