Semestre d'automne 2017
Cours: Sylvie Benzoni
TD:
Khôlles:
Cours le lundi de 14h à 15h30 et le mardi de 8h à 9h30. 1er cours le 11 septembre.
TD le lundi de 15h45 à 17h15 et le vendredi de 9h45 à 13h. 1er TD le 15 septembre.
Khôlles le lundi de 17h30 à 19h30 et le mardi de 11h30 à 12h30. 1ères khôlles le 25 septembre.
Devoirs surveillés:
Contrôle final:
Consultation des copies:
NB Les salles sont à vérifier sur ade avant chaque séance.
Le planning des khôlles est visible sur tomuss.
Notion de limsup et liminf.
Rappels sur la dénombrabilité et opérations sur les ensembles.
Tribus, tribus engendrées, tribu borélienne.
Fonctions mesurables.
Mesures, exemples : mesure de comptage, mesure de Dirac, mesure de Lebesgue (admis).
Fonctions étagées, définition de l’intégrale. Lien avec l’intégrale de Riemann.
Théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée.
Intégrales à paramètre : continuité, dérivabilité.
Mesure produit, théorème de Fubini (admis).
Changement de variables (admis).
Espaces Lp : définition, inégalité de Hölder, structure espace vectoriel normé, complétude, structure hilbertienne de L2.
Convolution, régularisation par convolution, lemme d’Urysohn.
Transformée de Fourier : classe de Schwartz, L1, extension à L2.
Lundi 11 septembre (deux cours)
Introduction générale notes manuscrites
Chapitre I - Compléments sur les suites réelles notes manuscrites
Chapitre II - Opérations sur les ensembles [début]
Lundi 18 septembre (un cours)
Chapitre II - Opérations sur les ensembles notes manuscrites
4. Réunions et intersections 5. Différences entre ensembles 6. Produits cartésiens
Mardi 19 septembre (un cours)
Chapitre III - Fonctions notes manuscrites
Chapitre IV - Dénombrabilité notes manuscrites
Lundi 25 septembre (un cours)
2. Ensembles dénombrables: tout produit fini d'ensembles dénombrables est dénombrable 3. Ensembles au plus dénombrables (ensembles finis ou dénombrables): toute partie de **N** est au plus dénombrable; conditions suffisantes (l'existence d'une injection de A dans **N** ou d'une surjection de **N** dans A impliquent que A est au plus dénombrable); toute réunion dénombrable d'ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable; **Q** est dénombrable.
Chapitre V - Tribus [début]
Jeudi 28 septembre (un cours)
Chapitre V - Tribus notes manuscrites
3. Tribus boréliennes: contiennent les ouverts, les fermés, les réunions dénombrables de fermés (F<sub>σ</sub>), les intersections dénombrables d'ouverts (G<sub>δ</sub>) ; les boréliens de **R** sont engendrés par l'ensemble dénombrable d'intervalles de la forme ]q,+∞[ avec q rationnel.
Chapitre VI - Fonctions mesurables notes manuscrites
Lundi 2 octobre (un cours)
Chapitre VI - Fonctions mesurables
4. Tribu produit: sur un produit cartésien d'ensembles munis chacun d'une tribu, la tribu produit est engendrée par les «rectangles mesurables» (c'est-à-dire les produits d'ensembles mesurables) ; c'est la plus petite tribu rendant les projections canoniques mesurables. 5. Produit de tribus boréliennes: la tribu produit de tribus boréliennes est incluse dans la tribu borélienne sur l'espace topologique produit; il y a égalité pour des espaces métriques séparables; par exemple la tribu borélienne sur **R**<sup>d</sup> coïncide avec la tribu produit. 6. Opérations sur les fonctions mesurables : la composée de deux fonctions mesurables est mesurable ; si deux fonctions //f// et //g// à valeurs réelles sont mesurables, les fonctions //f<sub>+</sub>=max(f,0)//, //f<sub>-</sub>=max(-f,0)//, //|f|//, //f+g//, //fg//, //min(f,g)// et //max(f,g)// le sont ; une fonction //f// à valeurs complexes est mesurable si et seulement si //Re f// et //Im f// le sont ; si deux fonctions //f// et //g// à valeurs complexes sont mesurables, les fonctions //|f|//, //f+g// et //fg// le sont ; si une fonction //f// à valeurs complexes est mesurable il existe une fonction //g// mesurable telle que //|g|=1// et //f=g|f|//.
Mardi 3 octobre (un cours)
6. Opérations sur les fonctions mesurables [suite et fin] : une fonction à valeurs dans un produit est mesurable si et seulement si ses composantes le sont ; pour une suite de fonctions mesurables (fn) à valeurs dans la droite réelle achevée, sup(fn), inf(fn), limsup(fn), liminf (fn) sont mesurables ; si une suite de fonctions mesurables (fn) converge simplement, sa limite est mesurable; l'ensemble des points où une suite de fonctions mesurables a une limite est mesurable.
Chapitre VII - Mesures notes manuscrites
Lundi 9 octobre (un cours)
Chapitre VII - Mesures [suite]
2. Propriétés élémentaires: une mesure positive est monotone et sous-additive; la mesure d'une réunion croissante dénombrable de parties mesurables est la limite des mesures de ces parties; la mesure d'une intersection décroissante dénombrable de parties mesurables, dont la première est de mesure finie, est la limite des mesures de ces parties. 3. Mesure de Lebesgue sur **R**: il existe une unique mesure positive sur **R** muni de sa tribu borélienne telle que la mesure de tout intervalle ouvert ]a,b[ avec a<b réels soit égale à b-a (admis); la mesure de Lebesgue des singletons est nulle; la mesure de tout intervalle borné d'extrémités a≤b réels vaut b-a; la mesure de tout intervalle non majoré ou non minoré vaut +∞. 4. Ensembles de Cantor
Mardi 10 octobre (un cours)
5. Complétion des mesures: une partie N d'un ensemble X muni d'une tribu et d'une mesure μ sur cette tribu est dite μ-négligeable s'il existe une partie de X mesurable contenant N et de mesure nulle; une mesure μ est dite complète (sur sa tribu) si toute partie μ-négligeable est mesurable; la mesure de Lebesgue sur la tribu borélienne n'est pas complète (admis); par définition, la tribu complétée sur un espace mesuré est la tribu engendrée par les parties mesurables et les parties négligeables; les éléments de la tribu complétée sont les réunions de parties mesurables et de parties négligeables; de façon équivalente, une partie E est dans la tribu complétée si et seulement s'il existe des parties mesurables A et B telles que A ⊂ E ⊂ B et μ(B\A)=0; il existe une unique mesure μ* prolongeant μ à la tribu complétée, et μ*(A ∪ N) = μ(A) si A est dans la tribu de départ et N est négligeable. 6. Tribu et mesure de Lebesgue sur **R**<sup>d</sup>
a) Cas d=1. On appelle tribu de Lebesgue sur R la tribu complétée de la tribu borélienne pour la mesure de Lebesgue. On appelle encore mesure de Lebesgue la mesure complétée sur la tribu de Lebesgue. Il existe des parties de R non Lebesgue-mesurables.
b) Cas d quelconque. Théorème admis: il existe une unique mesure positive λd sur Rd muni de sa tribu borélienne telle que la mesure de tout pavé P= ∏i [ai,bi] est λd(P)=∏i (bi-ai). On appelle mesure de Lebesgue la mesure λd sur la tribu borélienne ainsi que la mesure complétée sur la tribu de Lebesgue.
Propriétés géométriques (admises): la mesure de Lebesgue est invariante par translation et rotation; si u est un endomorphisme de Rd et E une partie Lebesgue-mesurable, alors λd(u(E))=|dét u| λd(E).
Lundi 16 octobre (un cours)
Chapitre VII - Mesures [fin]
Propriétés topologiques (admises): la mesure de Lebesgue est borélienne, c'est-à-dire qu'elle ne prend que des valeurs finies sur les compacts, et elle est régulière, c'est-à-dire que pour toute partie E Lebesgue-mesurable,
λd(E) = sup { λd(K) ; K ⊂ E, K compact} = inf { λd(U) ; E ⊂ U, U ouvert}.
Une partie E est Lebesgue-mesurable si et seulement si elle s'écrit: E= G \ N avec G un Gδ et N mesurable de mesure nulle, ou de façon équivalente, E = F ∪ N avec F un Fσ et N mesurable de mesure nulle.
Chapitre VIII - Intégrale de Riemann notes manuscrites
Mardi 17 octobre (un cours)
Chapitre IX - Intégrale de Lebesgue notes manuscrites
Lundi 23 octobre (un cours)
Chapitre IX - Intégrale de Lebesgue [suite]
3. Intégration des fonctions mesurables positives: toute fonction mesurable à valeurs dans [0,+∞] est la limite simple d'une suite croissante de fonctions étagées mesurables à valeurs dans [0,+∞[; définition de l'intégrale d'une fonction mesurable à valeurs dans [0,+∞], homogénéité positive, monotonie. 4. Premiers théorèmes fondamentaux: théorème de convergence monotone (Beppo Levi); additivité de l'intégrale.
Lundi 6 novembre (un cours)
Chapitre IX - Intégrale de Lebesgue [suite]
4. Premiers théorèmes fondamentaux: interversion ∫ et ∑ (intégrale et somme d'une série de fonctions mesurables positives); lemme de Fatou. 5. Presque partout 6. Mesures à densité
Mardi 7 novembre (un cours)
7. Intégration des fonctions à valeurs réelles: définitions et propriétés de l'intégrale. 8. Intégration des fonctions à valeurs complexes: définitions et propriétés de l'intégrale.
Lundi 13 novembre (un cours)
Chapitre IX - Intégrale de Lebesgue [suite et fin]
9. Théorèmes fondamentaux: théorème de convergence dominée; théorème de convergence dominée presque partout; théorème d'interversion ∫ et ∑. 10. Mesure image: définition; théorème de transfert.
Mardi 14 novembre (un cours)
Chapitre X - «Applications» de l'intégrale de Lebesgue notes manuscrites
Lundi 20 novembre (un cours)
Chapitre XI - Intégrales à paramètre notes manuscrites
Mardi 21 novembre (un cours)
Chapitre XII - Intégrales multiples notes manuscrites
Lundi 27 novembre (un cours)
Chapitre XII - Intégrales multiples [suite]
3. Questions de complétude: les résultats suivants sont admis. - Si p,q,d sont des entiers naturels non nuls avec d=p+q, la tribu borélienne sur Rd est la tribu produit de la tribu borélienne sur Rp et de la tribu borélienne sur Rq; elle est strictement incluse dans la tribu produit de la tribu de Lebesgue sur Rp et de la tribu de Lebesgue sur Rq, qui est elle-même strictement incluse dans la tribu de Lebesgue sur Rd; l'espace mesuré Rd muni de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue λd est le complété de RpxRq muni de la tribu produit de la tribu de Lebesgue sur Rp et de la tribu de Lebesgue sur Rq et de la mesure produit de λp⊗λq. - Variante des théorèmes de Tonelli et Fubini pour les fonctions mesurables sur la tribu complétée de la tribu produit.
Mardi 27 novembre (un cours)
Chapitre XII - Intégrales multiples [fin]
4. Changement de variables dans Rd
Rappel du théorème de transfert. Justification de la formule λd(u(A))=|dét u| λd(A) pour A borélien de Rd et u un endormorphisme de Rd. Justification de la formule de changement de variables lorsque le changement de variables est un isomorphisme de Rd.
Définition d'un difféomorphisme de classe C1 entre deux ouverts de Rd. Caractérisation à l'aide du déterminant de la matrice jacobienne. Exemple des coordonnées polaires et des coordonnées sphériques.
Théorème de changement de variables (admis). Application à l'intégration en coordonnées polaires et en coordonnées sphériques.
Chapitre XIII - Espaces Lp notes manuscrites
Lundi 4 décembre (un cours)
Chapitre XIII - Espaces Lp [suite]
3. Espaces L∞: majorants essentiels, fonctions essentiellement bornées, inégalité de Hölder avec p=1, q=∞.
Mardi 5 décembre (un cours)
Chapitre XIV - Convolution notes manuscrites
– Vendredi 15 Septembre: Feuille de TD numéro 1 Indications de solutions
Groupe A: Feuille 1: Ex 1 à 4.
Groupe B: Feuille 1, Ex 1-5(1,2)
Groupe C: pas de séance
– Lundi 18 Septembre:
Groupe A: Feuille 1: Ex 5-6
Groupe B: Feuille 1 : Ex 6
Groupe C: Feuille 1: Ex 1-4, 5(1,2,3abc)
– Vendredi 22 Septembre:
Groupe A: Feuille 1: Ex 7, 8, 10, 11, 12. (Ex 9 pas fait)
Groupe B: Feuille 1: Ex 7-12
Groupe C: Feuille 1: Ex 5, 6, 7, 10
– Lundi 25 Septembre: Feuille de TD numéro 2 Solution exercice 2 Indications de solutions des autres exercices
Groupe A: Feuille 1: Ex 13-14. Feuille 2: Ex 1, 2
Groupe B: Feuille 1: Ex 13, 14; Feuille 2: Ex 1, 2(1,2)
Groupe C: Feuille 1: Ex 8, 9, 11
– Vendredi 29 Septembre:
Groupe A: Feuille 2: Ex 3 à 7.
Groupe B: Feuille 2: Ex 3 à 9.
Groupe C: Feuille 1: Ex 12, 13, 14 (terminée); Feuille 2: Ex 1, 2 (1,2,3).
– Lundi 02 Octobre:
Groupe A: Feuille 2: 8, 10
Groupe B: Feuille 2: Ex 10 à 11.
Groupe C: Feuille 2: Ex 3, 4, 7.
– Vendredi 6 Octobre: Feuille de TD numéro 3
Groupe A: Feuille 2: Ex 9, 11, 15, 16. Feuille 3: Début Ex 1.
Groupe B: Feuille 2: Ex 12-16. Feuille 3: Ex 1(1-5).
Groupe C: Feuille 2: Ex 5, 6, 8, 9, 10(1-4)
– Lundi 9 Octobre:
Groupe A: Feuille 3: Ex 1-2-3
Groupe B: Feuille 3: Ex 1(6-9), Ex 2,3
Groupe C: Feuille 2: Ex 10, 11, 12, 13, 14 (1,2)
– Vendredi 13 Octobre:
Groupe A: Feuille 3: Ex 4, 5 (1), 6 à 9 et ex 11 (1).
Groupe B: Feuille 3: Ex 4(1,4), Ex 5(1,3), Ex 6-9
Groupe C: Feuille 2: Ex 14(3), 15, 16, Feuille 3: Ex 1(1,6-9), Ex 2, Ex 3
– Lundi 16 Octobre: Feuille de TD numéro 4
Groupe A: Feuille 4: Ex 1 à 4
Groupe B: Feuille 3: Ex 11(1); Feuille 4: Ex 1(2,3,7,8), Ex 2,3,6
Groupe C: Feuille 3: Ex 4, 5(1,4), 6, 7
– Vendredi 20 Octobre:
Groupe A: Feuille 4: Ex 5, 6,8, 9, 10. (Ex 7 non fait).
Groupe B: Feuille 4: Ex 7,8,9,10,11
Groupe C: Feuille 3: Ex 8, 9, Feuille 4: Ex 1
– Lundi 23 Octobre:Feuille de TD numéro 5
Groupe A: Feuille 4: Ex 11. Feuille 5: Ex 1, début Ex 2.
Groupe B: Feuille 5: Ex 1,2,3(1,2)
Groupe C: Feuille 4: Ex 2,3,4,5.
– Vendredi 27 Octobre:
Groupe A: Feuille 5: Ex 2, 3, 4 .
Groupe B: Feuille 5: Ex 3(3,4),4,6(1)
Groupe C: Feuille 4: Ex 6, 7, 8, 9, 10. Feuille 5: Ex 1, 2.
– Lundi 6 novembre: Feuille de TD numéro 6
Groupe A: Feuille 6: Ex 1 à 3
Groupe B: Feuille 6: Ex 1-4
Groupe C: Feuille 5: Ex 3 (sans 5), Ex 4.
– Vendredi 10 novembre:
Groupe A: Feuille 6: Ex 4,5,6, 9
Groupe B: Feuille 6: Ex 5-9,11
Groupe C: Feuille 6: Ex 1-7,9,10,12.
– Lundi 13 novembre:
Groupe A: Feuille 6: Ex 10,11, 12,14
Groupe B: FeuIlle 6: Ex 12-15
Groupe C: Feuille 6: Ex 8,11,14.
– Vendredi 17 novembre:
Groupe A: Feuille 6: Ex 13,15,16,17, 18 (1-2)
Groupe B: Feuille 6: Ex 15-22
Groupe C: Feuille 6: Ex 13, 15-18.
– Lundi 20 novembre:
Groupe A: Feuille 6: Ex: 18, 21, 23
Groupe B: Feuille 6: Ex 23,25
Groupe C: Feuille 6: Ex 19, 21.
– Vendredi 24 novembre: Feuille de TD numéro 7
Groupe A: Feuille 7: Ex 1, 2 et début 3.
Groupe B: Feuille 7: Ex 1-3
Groupe C: Feuille 6: Ex 20, 22-24.
– Lundi 27 novembre:
Groupe A: Feuille 7: Ex 3, 6, 7.
Groupe B: Feuille 7: Ex 4,5(1-2)
Groupe C: Feuille 6: Ex 25. Feuille 7: Ex 1.
– Vendredi 1 Décembre:
Groupe A: Feuille 7: Ex 8, 12. Feuille 8: Ex 1 et début Ex 2.
Groupe B: Feuille 7: Ex 5(3-4), 6-10
Groupe C: Feuille 7: Ex 2, 3, 6, 9.
– Lundi 4 Décembre: Feuille de TD numéro 8
Groupe A: Feuille 8: Ex 2, 3.
Groupe B: Feuille 8: Ex 1-3,5
Groupe C: Feuille 7: Ex 4(1,2,3), 6, 7.
– Vendredi 8 Décembre:
Groupe A: Feuille 8: Ex 4, 7, 9, 10, 11. Ex: 12 (indications). Feuille 9: Début Ex 1.
Groupe B: Feuille 8: 6,8,14; Feuille 9: Ex 1-5
Groupe C: Feuille 8: Ex 1-3, Feuille 9: Ex 1-4.
– Lundi 11 Décembre:
Groupe A:Feuille 9: Ex 1,3, 5, 7.
Groupe B: Ex 7,8
Groupe C: