02 septembre (partie 1) : Introduction aux objectifs de réduction sur un exemple explicite. Chap.1 Groupe symétrique : définition d'un groupe, du groupe symétrique, cardinal, pour n supérieur à 3, le groupe symétrique n'est pas commutatif (preuve à connaître), cycle, transposition. Deux permutations à supports disjoints commutent. Décomposition de toute permutation en produit de cycles à supports disjoints puis en produit de transpositions. Nombre d'inversions d'une permutation, signature d'une permutation.
02 septembre (partie 2) : Signature d'une transposition (preuve à connaître), signature d'une composée de deux permutations, application à la signature d'un cycle de longueur p. Chap.2 Déterminants : définition du déterminant d'une matrice carrée de taille n, expression explicite du déterminant dans le cas n=1 et le cas n=2 (les preuves sont à connaître), déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (la preuve est à connaître), d'une matrice diagonale, le déterminant d'une matrice et de sa transposée sont les mêmes.
07 septembre : Effet sur le déterminant d'une permutation des colonnes de la matrice, le déterminant est une application multilinéaire alternée. Déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales (la preuve est à connaître), ou dont les colonnes sont liées (preuve à connaître), déterminant d'un produit de matrices. Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice à l'aide du déterminant et déterminant de la matrice inverse. Retour sur les effets des opérations élémentaires sur les colonnes (ou les lignes).
09 septembre : Exemples de calculs de déterminants par triangulation. Définition d'un mineur d'ordre r d'une matrice et des cofacteurs, formule de développement du déterminant selon une rangée, exemples de calculs explicites. Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure ou inférieure par blocs. Comatrice, le produit d'une matrice A et de la transposée de sa comatrice est commutatif et donne det(A) I_n, application au calcul d'inverse d'une matrice.
16 septembre : Le rang d'une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice, caractérisation du rang comme l'ordre maximal des mineurs non nuls extraits/comme la taille maximale des matrices carrées inversibles extraites, exemples d'utilisation. Formules de Cramer. Déterminant d'un endomorphisme : les matrices d'un endomorphisme ont toutes le même déterminant (preuve à connaître), déterminant d'un endomorphisme (invariance du déterminant par changement de base, définition, caractérisation de la bijectivité, déterminant d'une composée). Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée (définition seulement pour l'instant).
21 septembre (partie 1) : Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée : effet d'un changement de base, caractérisation d'une base à l'aide d'un déterminant de la famille, déterminant d'une famille d'images de vecteurs par un endomorphisme u en fonction du déterminant de u et de celui de la famille. Chap.3 - Diagonalisation (version géométrique) : Somme directe d'une famille de sous-espaces vectoriels (exemples, lien avec la notion vue en L1), lien avec l'intersection des sev, caractérisation à l'aide de la dimension (preuve à connaître), caractérisation à l'aide de la concaténation des bases respectives des sous-espaces, définition d'une base adaptée à la décomposition de l'espace en somme directe de sev.
21 septembre (partie 2) : Sous-espaces stables : définition, exemples, somme et intersection de sous-espaces stables (preuve à connaître). Si deux endomorphismes u et v commutent, leurs noyaux et images respectifs sont stables par u et v (preuve à connaître). Endomorphisme induit : définition, endomorphisme induit par une somme, une composée, noyau et image d'un endomorphisme induit, un endomorphisme induit d'un endomorphisme injectif est encore injectif (contre-exemple pour la surjectivité). Caractérisation matricielle en dimension finie de la stabilité d'un sev, de plusieurs sev. Éléments propres d'un endomorphisme : définition de valeur propre, vecteur propre (unicité de la valeur propre associée à un vecteur propre, exemples explicites). Définition du sous-espace propre associé à une valeur propre.
30 septembre : Les sous-espaces propres de u sont stables par tous les endomorphismes commutant avec u. Somme directe des sous-espaces propres (preuve à connaître), liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. En dimension n, un endomorphisme admet au plus n valeurs propres distinctes. Exemples d'étude des éléments propres d'un endomorphisme en dimension infinie. Éléments propres d'une matrice carrée : définition de valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice. Lien entre le spectre d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base, idem avec les sous-espaces propres respectifs (en particulier, spectre et espaces propres de l'endomorphisme de M_{n,1}(K) canoniquement associé à une matrice A). Deux matrices semblables ont même spectre. Polynôme caractéristique d'une matrice carrée (défini comme unitaire, uniquement la définition pour l'instant).
5 octobre (partie 1): Coefficients remarquables du polynôme caractéristique (preuve à connaître), les valeurs propres d'une matrice sont exactement les racines dans K de son polynôme caractéristique (preuve à connaître), nombre maximal de valeurs propres d'une matrice de taille n, une matrice complexe possède au moins une valeur propre complexe. Matrice compagnon d'un polynôme unitaire P, son polynôme caractéristique est égal à P. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique (preuve à connaître), définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme. Traduction des résultats précédemment vus sur les matrices en terme d'endomorphismes. Retour sur la définition de polynôme scindé/scindé à racines simples sur K. Définition des multiplicités algébriques et géométriques d'une valeur propre. La somme des multiplicités algébriques des valeurs propres est inférieure ou égale à la dimension de l'espace vectoriel, tout endomorphisme d'un C-ev possède exactement dim(E) valeurs propres comptées avec multiplicité algébrique.
5 octobre (partie 2) : Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit divise le polynôme caractéristique de u (démonstration à connaître), la multiplicité géométrique est supérieure à 1 et inférieure à la multiplicité algébrique. Diagonalisabilité : définition d'un endomorphisme diagonalisable (il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale), caractérisation équivalente avec l'existence d'une base formée de vecteurs propres, caractérisations équivalentes à l'aide des sous-espaces propres (E est la somme directe de ceux-ci/la somme de leurs dimensions vaut dim(E)/le polynôme caractéristique est scindé sur K et les multiplicités algébriques et géométriques de chaque valeur propre sont égales). Condition suffisante de diagonalisabilité : \chi_u est scindé à racines simples sur K. Matrice diagonalisable : définition, lien avec la diagonalisabilité d'un endomorphisme associé.
14 octobre : Traduction matricielle des caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité vues sur les endomorphismes. Explication de la méthode de diagonalisation et exemples rédigés de diagonalisation d'endomorphismes, de matrices. Chap. 4 : Diagonalisation (version algébrique) : définition de l'évaluation d'un polynôme en un endomorphisme, propriétés (évaluation d'une combinaison linéaire de polynômes et d'un produit).
19 octobre (partie 1) : Polynômes d'endomorphismes. Stabilité de l'ensemble des polynôme en un endomorphisme u par combinaison linéaire et composition. Définition d'un polynôme annulateur d'un endomorphisme et exemples, les valeurs propres d'un endomorphisme figurent parmi les racines des polynômes annulateurs (la démo est à savoir refaire), inclusion réciproque fausse. Exemples d'utilisation de polynômes annulateurs lors de recherche du spectre d'un endomorphisme, théorème de Cayley-Hamilton. Évaluation d'un polynôme en une matrice, exemples sur des matrices diagonales/triangulaires, propriétés des polynômes en une matrice, polynôme annulateur d'une matrice, lien avec les polynômes annulateurs d'un endomorphisme associé. Deux matrices semblables ont même polynômes annulateurs (preuve à connaître (2 versions faites en cours)).
19 octobre (partie 2) : Version matricielle du théorème de Cayley-Hamilton. Polynôme minimal (défini comme l'unique polynôme annulateur unitaire de u de degré inférieur à celui de tout polynôme non nul annulateur de u). Le degré du polynôme minimal est supérieur ou égal à 1, les polynômes minimaux d'un endomorphisme et de sa matrice dans une base quelconque sont égaux, le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur (la preuve est à connaître), les valeurs propres sont les racines du polynôme minimal. Lemme des noyaux et corollaire avec m polynômes 2 à 2 premiers entre eux. Caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité à l'aide du polynôme minimal ou d'un polynôme annulateur (énoncé seulement).