1er septembre 2021 (partie 1) : Intégrales généralisées pour les fonctions continues positives : définition de l'intégrale à l'aide d'une primitive, fonction intégrable. Intégrales de Riemann (preuve à connaître). Propriétés (relation de Chasles, positivité, changement de variable). Relations de comparaisons locales de fonctions (rappels sur la négligeabilité, domination et d'équivalence).
1er septembre 2021 (partie 2) : Liens entre les relations de comparaison des fonctions. Théorèmes de comparaison pour des fonctions intégrables (ou non intégrables) dans le cas ou f=O(g), f=o(g) ou f ~ g (toujours dans le cas de fonctions continues à valeurs positives). Fonctions de signe quelconque ou à valeurs complexes : fonctions intégrables,exemples d'étude.
6 septembre 2021 : Exemples d'étude d'intégrabilité par comparaison. Propriétés de l'intégrale (inégalité triangulaire, linéarité de l'intégrale, inégalité de Cauchy-Schwarz). Intégrales généralisées : définition d'une intégrale convergente et divergente, absolument convergente et semi-convergente (exemples). Lien entre absolue convergence et convergence. Propriétés des intégrales impropres convergentes (Relation de Chasles, changement de variables).
8 septembre 2021 : Retour sur les fonctions intégrables et les liens entre intégrabilité d'une fonction et intégrale convergente. Intégration par parties généralisée. Intégrales de Bertrand (idée de la preuve à connaître, au voisinage de +infini et au voisinage de 0). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Séries numériques : Vocabulaire (définition d'une série, somme partielle et reste d'ordre n, convergence/divergence).
15 septembre 2021 : Séries numériques : si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire, la preuve peut être demandée en colle), convergence d'une série télescopique (preuve à connaître), exemple de série télescopique obtenue à l'aide d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence), convergence de la série de terme général 1/n^2 en exemple.
20 septembre 2021 : Critères de convergence pour les séries numériques : règle de D'Alembert et exemples, théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement d'une somme partielle à l'aide de deux intégrales à savoir refaire), séries de référence : rappel des séries télescopiques et géométriques, séries de Riemann (preuve à connaître).
22 septembre 2021 : Série définissant l'exponentielle (convergence de la série de terme général a^n/n! prouvée seulement dans le cas a positif pour l'instant), (les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, la convergence absolue entraîne la convergence. (Le critère de Cauchy sur les sommes partielles ne sera pas vu), définition de semi-convergence. Retour sur la preuve de la convergence de la série définissant l'exponentielle dans le cas a complexe. Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). Exemples pour insister sur l'importance de l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique.
29 septembre 2021 : Fin du cours sur les séries numériques : principe de la transformation d'Abel, règle d'Abel et exemple d'utilisation, théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
04 octobre 2021 : Fonctions de plusieurs variables : norme sur R^n, inégalité triangulaire inversée (preuve à connaître), inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n), norme euclidienne (preuve à savoir refaire), distance associée à la norme euclidienne. Définitions des boules ouvertes, fermées et sphères. Parties ouvertes : définition d'un voisinage, d'un ouvert de R^n, exemples.
06 octobre 2021 : Fonctions de plusieurs variables réelles : Une boule ouverte est ouverte. Une boule fermée ou une sphère n'est pas ouverte (démonstration de ces deux résultats à savoir expliquer au moins sur un dessin), propriétés des ouverts (réunion, intersection finie, produit cartésien). Limites de suites vectorielles (dans R^n): suite bornée, définition d'une suite convergente. Opérations sur les suites convergentes (combinaisons linéaires, produit par une suite réelle, convergence si et seulement si les suites coordonnées (réelles) convergent). Limites de fonctions f : X c R^n → R^p : point adhérent, définition et unicité de la limite.
13 octobre 2021 : Limites : exemple des fonctions constantes et des projections coordonnées p_i : x=(x_1,…,x_n) → x_i (les deux à savoir refaire rigoureusement, la preuve peut être demandée en colle), caractérisation séquentielle de la limite, opérations usuelles (combinaisons linéaires, produit par une fonction à valeurs réelles, composée, convergence à l'aide des fonctions coordonnées). Brève extension de la définition de la limite à l'infini (avec x ou ||x|| tendant vers l'infini, quand la limite est infinie lorsque cela est possible). Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables, utilisation des coordonnées polaires (avec majoration indépendante de l'angle).
18 octobre 2021 : Continuité d'une fonction de plusieurs variables réelles : définition, caractérisation séquentielle, opérations sur les fonctions continues (via les fonctions coordonnées, combinaisons linéaires, produit et composée lorsque cela a un sens). La démonstration de la continuité des applications projection p_i : (x_1,…,x_n) → x_i est à savoir. Les fonctions polynomiales sont continues sur R^n. Exemples de rédaction de la continuité d'une fonction à l'aide des opérations sur les fonction continues. La continuité entraîne la continuité de toute restriction. Réciproque vraie si l'on se place sur un ouvert.
20 octobre 2021 : Exemple d'étude de la continuité une fonction de plusieurs variables définie avec plusieurs expressions. Définition des applications partielles, la continuité entraîne celle des applications partielles mais la réciproque est fausse. Dérivabilité d'une fonction de R dans R^p. Dérivées partielles : définition, exemples, lien (équivalence) avec les dérivées partielles des fonctions coordonnées, matrice jacobienne dans le cas où les dérivées partielles existent. Définition du gradient, du rotationnel et de la divergence. Définition et exemple des dérivées directionnelles, les dérivées partielles sont les dérivées directionnelles selon les vecteurs de la base canonique (lorsqu'elles existent).
3 novembre 2021 : Fonctions de classe C^1 sur un ouvert de R^n (via l'existence et la continuité des dérivées partielles). La démonstration du caractère C^1 des projections coordonnées p_i : (x_1,…,x_n)→ x_i est à savoir refaire au moins dans le cas n=2. Propriétés des fonctions de classe C^1 : existence d'un DL à l'ordre 1, une fonction de classe C^1 est continue, admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur (formule à l'aide d'une somme des dérivées partielles), combinaison linéaire, produit et composée de fonctions C^1 (formule de dérivation en chaîne), version matricielle (la jacobienne d'une composée est le produit des matrices jacobiennes).
10 novembre 2021 : Fin du cours sur les fonctions de plusieurs variables réelles : exemple d'utilisation de la matrice jacobienne d'une composée pour retrouver en pratique la formule de dérivation en chaîne. Dérivées partielles d'ordre k, fonctions de classe C^k (définition par l'existence et la continuité des dérivées partielles d'ordre k), opérations sur les fonctions de classe C^k, théorème de Schwarz. Exemple récapitulatif de détermination de la classe exacte d'une fonction à l'aide de la contraposée du théorème de Schwarz.
15 novembre 2021 : Suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, de la convergence simple (différents exemples), unicité de la limite simple. Propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité. Quelques propriétés non préservées par passage à la limite simple : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0), la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque).
17 novembre 2021 : Suites de fonctions : techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration) avec différents exemples, propriétés préservées par passage à la limite uniforme : caractère borné, continuité (la preuve peut être donnée en question de cours). Énoncé du théorème de la double limite.
24 novembre 2021 : Suite de fonctions : retour sur le théorème de la double limite, théorèmes d'échange limite et intégrale : théorème d'interversion limite et intégrale dans le cas d'une convergence uniforme sur un segment pour des fonctions continues (la preuve peut être demandée en question de cours), rappel de la définition d'une fonction continue par morceaux en vue de la généralisation du théorème aux fonctions c.p.m., généralisation du théorème d'échange limite et intégrale sur un segment dans le cas d'une suite de fonctions c.p.m. convergeant uniformément vers une fonction c.p.m, théorème de convergence dominée, exemples.
29 novembre 2021 : Fin du cours sur les suites de fonctions : Théorème de dérivation pour une suite de fonctions de classe C^1, extension aux suites de fonctions de classe C^p. Intégrales à paramètres, seulement le cas où le domaine d'intégration est un segment pour l'instant : théorème de continuité, de dérivation.
1er décembre 2021 : Intégrales à paramètres : exemples d'utilisation du théorème de dérivation (dans le cas où le domaine d'intégration est un segment),cas des intégrales à paramètres à bornes variables (continuité et dérivabilité pour des bornes qui sont des fonctions continues/resp. de classe C^1). Intégrale à paramètre dans le cas où le domaine d'intégration est un intervalle quelconque : théorème de continuité par domination (l'idée de la preuve peut être demandée).
8 décembre 2021 : Fin du cours sur les intégrales à paramètres : retour sur le théorème de continuité par domination, corollaire avec hypothèse de domination obtenue seulement sur tout segment pour x (lien entre l'étude d'une limite et la continuité, techniques d'étude d'une limite si l'on n'est pas en un point de continuité (encadrement, utilisation du théorème de convergence dominée)), exemples. Théorème de dérivation par domination (avec hypothèse de domination sur f puis sur la dérivée partielle de f par rapport à x), corollaire où les hypothèses de domination sont demandées seulement sur tout segment pour x, exemples d'utilisation.