31 aout 2020 : Intégrales généralisées pour les fonctions continues positives : définition de l'intégrale à l'aide d'une primitive, fonction intégrable. Intégrales de Riemann (preuve à connaître). Propriétés (relation de Chasles, positivité, changement de variable). Relations de comparaisons locales de fonctions (rappels sur la négligeabilité, domination et d'équivalence, liens entre ces relations).
2 septembre 2020 : Théorèmes de comparaison pour des fonctions intégrables (ou non intégrables) dans le cas ou f=O(g), f=o(g) ou f ~ g (toujours dans le cas de fonctions continues à valeurs positives). Fonctions de signe quelconque ou à valeurs complexes : fonctions intégrables,exemples d'étude et propriétés (inégalité triangulaire, linéarité de l'intégrale, inégalité de Cauchy-Schwarz).
7 septembre 2020 : Intégrales généralisées : définition d'une intégrale convergente et divergente, absolument convergente et semi-convergente (exemples). Lien entre absolue convergence et convergence. Propriétés des intégrales impropres convergentes (Relation de Chasles, changement de variables, intégration par parties généralisée). Intégrales de Bertrand (preuve en cours pour l'intégrabilité au voisinage de +infini).
9 septembre 2020 : Intégrales généralisées : Intégrales de Bertrand (idée de la preuve à connaître, au voisinage de +infini et au voisinage de 0). Très brève extension aux fonctions continues par morceaux. Retour sur les fonctions intégrables et les liens entre intégrabilité d'une fonction et intégrale convergente. Séries numériques : Vocabulaire (définition d'une série, somme partielle et reste d'ordre n, convergence/divergence), si la série converge, le reste tend vers 0. Exemples des séries géométriques, harmonique (exemples à savoir refaire, la preuve peut être demandée en colle), convergence d'une série télescopique (preuve à connaître).
16 septembre 2020 : Séries numériques : exemple de série télescopique obtenue à l'aide d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, condition nécessaire de convergence et définition de la divergence grossière, combinaisons linéaires de séries convergentes. Séries à termes positifs : la convergence équivaut à la majoration de la suite des sommes partielles, théorèmes de comparaison (par majoration, domination, négligeabilité, équivalence), convergence de la série de terme général 1/n^2 en exemple. Critères de convergence : règle de D'Alembert (énoncé, principe de la preuve seulement).
21 septembre 2020 : séries numériques : preuve de la règle de D'Alembert et exemples, théorème de comparaison série-intégrale (principe de l'encadrement d'une somme partielle à l'aide de deux intégrales à savoir refaire), séries de référence : rappel des séries télescopiques et géométriques, séries de Riemann (preuve à connaître), série définissant l'exponentielle (convergence de la série de terme général a^n/n! prouvée seulement dans le cas a positif pour l'instant), (les séries de Bertrand ne seront pas vues). Séries numériques à termes quelconques : convergence absolue, la convergence absolue entraîne la convergence. (Le critère de Cauchy sur les sommes partielles ne sera pas vu).
23 septembre 2020 : Séries numériques : définition de semi-convergence. Retour sur la preuve de la convergence de la série définissant l'exponentielle dans le cas a complexe. Critère spécial des séries alternées (avec encadrement et signe de la somme, majoration de la valeur absolue du reste). Exemples pour insister sur l'importance de l'hypothèse de décroissance de (|u_n|)_n, exemple de nature d'une série alternée ne vérifiant pas cette hypothèse à l'aide d'un développement asymptotique. Transformation d'Abel : principe général puis règle d'Abel (deux versions).
30 septembre 2020 : Fin du cours sur les séries numériques : démonstration de la règle d'Abel et exemple d'utilisation, théorème de sommation des relations de comparaisons (o et O) et théorème de sommation des équivalents (application pour retrouver le théorème de Césaro), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Fonctions de plusieurs variables : norme sur R^n, inégalité triangulaire inversée (preuve à connaître).
5 octobre 2020 : Fonctions de plusieurs variables réelles : inégalité de Cauchy-Schwarz (dans R^n), norme euclidienne (preuve à savoir refaire), distance associée à la norme euclidienne. Définitions des boules ouvertes, fermées et sphères. Parties bornées, caractérisation d'une partie bornée par inclusion dans une boule fermée. Parties ouvertes : définition d'un voisinage, d'un ouvert de R^n, exemples. Une boule ouverte est ouverte. Une boule fermée ou une sphère n'est pas ouverte (démonstration de ces deux résultats à savoir expliquer au moins sur un dessin).
7 octobre 2020 : Propriétés des ouverts (réunion, intersection finie, produit cartésien). Limites de suites vectorielles (dans R^n): suite bornée, définition d'une suite convergente. Opérations sur les suites convergentes (combinaisons linéaires, produit par une suite réelle, convergence si et seulement si les suites coordonnées (réelles) convergent). Limites de fonctions f : X c R^n → R^p : point adhérent, définition et unicité de la limite, exemple des fonctions constantes et des projections coordonnées p_i : x=(x_1,…,x_n) → x_i à savoir refaire rigoureusement, caractérisation séquentielle de la limite, opérations usuelles (combinaisons linéaires, produit par une fonction à valeurs réelles, composée, convergence à l'aide des fonctions coordonnées).
14 octobre 2020 : Brève extension de la définition de la limite à l'infini (avec x ou ||x|| tendant vers l'infini, quand la limite est infinie lorsque cela est possible). Exemples d'étude de limites de fonctions de plusieurs variables, utilisation des coordonnées polaires (avec majoration indépendante de l'angle). Continuité : définition, caractérisation séquentielle, définition d'une application lipschitzienne, continuité des fonctions lipschitziennes (la preuve est à connaître), opérations sur les fonctions continues (via les fonctions coordonnées, combinaisons linéaires, produit et composée lorsque cela a un sens). La démonstration de la continuité des applications projection p_i : (x_1,…,x_n) → x_i est à savoir. Les fonctions polynomiales sont continues sur R^n.
19 octobre 2020 : Fonctions de plusieurs variables réelles : exemple de rédaction de la continuité d'une fonction à l'aide des opérations sur les fonction continues. La continuité entraîne la continuité de toute restriction. Réciproque vraie si l'on se place sur un ouvert. Exemple d'étude de la continuité une fonction définie avec plusieurs expressions. Définition des applications partielles, la continuité entraîne celle des applications partielles mais la réciproque est fausse. Dérivabilité d'une fonction de R dans R^p. Dérivées partielles : définition, exemples, lien (équivalence) avec les dérivées partielles des fonctions coordonnées, matrice jacobienne dans le cas où les dérivées partielles existent. Définition du gradient, du rotationnel et de la divergence.
21 octobre 2020 : Dérivées directionnelles, les dérivées partielles sont les dérivées directionnelles selon les vecteurs de la base canonique (lorsqu'elles existent), fonctions de classe C^1 sur un ouvert de R^n (via l'existence et la continuité des dérivées partielles). La démonstration du caractère C^1 des projections coordonnées p_i : (x_1,…,x_n)→ x_i est à savoir refaire au moins dans le cas n=2. Propriétés des fonctions de classe C^1 : existence d'un DL à l'ordre 1, une fonction de classe C^1 est continue, admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur (formule à l'aide d'une somme des dérivées partielles), combinaison linéaire, produit et composée de fonctions C^1 (formule de dérivation en chaîne). Exemples non terminés sur la dérivation en chaîne.
4 novembre 2020 : Retour sur la formule de dérivation en chaîne avec exemples, version matricielle (la jacobienne d'une composée est le produit des matrices jacobiennes), exemple d'application pour retrouver en pratique la formule de dérivation en chaîne. Dérivées partielles d'ordre k, fonctions de classe C^k (définition par l'existence et la continuité des dérivées partielles d'ordre k), opérations sur les fonctions de classe C^k, théorème de Schwarz.
9 novembre 2020 : Exemple de détermination de la classe d'une fonction à l'aide de la contraposée du théorème de Schwarz. Début du cours sur les suites de fonctions : définition d'une suite de fonctions, de la convergence simple (différents exemples), unicité de la limite simple. Propriétés préservées par passage à la limite simple : signe, monotonie, convexité. Quelques propriétés non préservées par passage à la limite simple : continuité, caractère borné, échange limite/intégrale. Définition de la convergence uniforme, caractérisation équivalente (la fonction f_n-f est bornée à partir d'un certain rang et la norme infinie de f_n-f converge vers 0), la convergence uniforme entraîne la convergence simple (contre-exemple pour la réciproque), techniques d'étude pratique de la convergence uniforme (par étude des variations de |f_n-f|, ou par techniques de majoration/minoration) (pas encore illustrées sur des exemples).