16 janvier 2018 : Séries de fonctions : vocabulaire de base, convergence simple, absolue simple, uniforme. Caractérisation de la convergence uniforme avec la suite de fonctions des restes, exemples. Critère de Cauchy uniforme. Convergence normale, lien avec les autres modes de convergence. Méthodes pratiques d'étude de la convergence normale/uniforme. Théorème de continuité pour les séries de fonctions, théorème de la double limite (interversion lim/série).
18 janvier 2018 : Séries de fonctions : théorème d'interversion série-intégrale (dans le cas où l'on intègre sur un segment) et théorème d'intégration terme à terme (dans le cas où l'on intègre sur une intervalle quelconque). Utilisation du théorème de convergence dominée sur la suite des sommes partielles pour échanger série et intégrale.
24 janvier 2018 : Fin des séries de fonctions théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions (cas de fonctions de classe C^1) et extension aux fonctions de classe C^p. Exemples. Début des séries entières : définition d'une série entière, Lemme d'Abel, deux définitions équivalentes pour le rayon de convergence R. Lien avec la convergence de la série de terme général a_n z^n pour |z| < R et > R, disque ouvert de convergence, exemples.
31 janvier 2018 : Séries entières : détermination pratique du rayon (règles de D'Alembert, de Cauchy, exemples des séries lacunaires). Opérations sur les séries entières : somme et produit de deux séries entières (avec minoration du rayon de convergence), série entière dérivée (même rayon de convergence). Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence, continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence.
7 février 2018 : Séries entières d'une variable réelle : reformulation de la continuité de la fonction somme, intégration terme à terme sur tout segment inclus dans D(0,R), série entière primitive (lien avec la primitive de la fonction somme). La fonction somme d'une série entière de rayon >0 est de classe infinie sur D(0,R) et dérivable terme à terme. Expression des coefficients d'une série entière à l'aide de la fonction somme, identification de deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de 0. Fonctions exponentielles, trigonométriques et trigonométriques hyperboliques complexes. Fonctions développables en série entière : définition (en 0 et en un point quelconque, cas d'une série entière d'une variable complexe seulement pour l'instant), exemples.
14 février 2018 : Développements en série entière, cas des fonctions d'une variable réelle : série de Taylor pour une fonction de classe infinie, si la fonction est développable en série entière en x_0, alors son DLSE est donné par sa série de Taylor (unicité du DLSE). Opérations sur les fonctions développables en série entière (combinaisons linéaires, produit, dérivées et primitives successives), DLSE usuels à connaître, exemples. Début des espaces vectoriels normés : définition d'une norme, inégalité triangulaire inversée, normes usuelles sur K^n (où K=R ou C).
28 février 2018 : Espaces vectoriels normés : Distance associée à une norme, distance d'un point à une partie non vide. Boules ouvertes, fermées et sphères. Exemples des boules unités fermées de R^2 pour les normes usuelles à connaître. Parties et fonctions bornées. Espaces vectoriels normés usuels : tout e.v. de dimension finie peut être normé (construction d'une norme à partir d'une base de E et d'une norme sur K^n à connaître), norme de la convergence uniforme sur les fonctions bornées (de X non vide dans un e.v.n E), normes usuelles sur C([a;b];R). Produits d'espaces vectoriels normés (en particulier norme produit infinie). Équivalence de normes : définition de deux normes équivalentes, exemples et contre-exemples, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie. Encadrement des boules pour deux normes équivalentes.
7 mars 2018 : Retour sur l'encadrement des boules pour deux normes équivalentes. Suites d'éléments d'un e.v.n : suites bornées, convergentes/divergentes, opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit par une suite numérique convergente), effet d'un changement de norme sur la notion de limite. Convergence d'une suite en dimension finie (exemple des suites complexes) et dans un espace normé produit. Topologie des e.v.n : voisinage, ouverts (définition, exemples du complémentaire d'un singleton, des boules ouvertes, contre-exemple des boules fermées/sphères). Propriétés des ouverts : union, intersection finie, produits cartésiens d'ouverts. Fermés : définition seulement et premiers exemples.
14 mars 2018 : Fermés : propriétés (intersection, union finie). Caractérisation séquentielle des fermés. Produits cartésien de fermés. Intérieur : définition, caractérisation comme le plus grand ouvert inclus dans l'ensemble. Adhérence : définition, caractérisation comme le plus petit fermé contenant l'ensemble, exemple de l'adhérence 'd'une boule ouverte. Frontière, densité (caractérisation séquentielle). Exemple de la densité des matrices inversibles dans l'ensemble des matrices carrées.
21 mars 2018 : Fin de la topologie : suites extraites (définition, propriétés), compacts (définition), un compact est fermé borné, caractérisation en dimension finie des compacts, généralisation du théorème de Bolzano-Weierstrass dans un e.v.n. Fonctions vectorielles : limites, opérations sur les limites. Continuité d'une fonction vectorielle : définition, caractérisation séquentielle, lien entre continuité d'une fonction et d'une de ses restrictions, fonctions lipschitziennes.
28 mars 2018 : Opérations sur les fonctions vectorielles continues (combinaisons linéaires, produit et composée si cela a un sens), caractérisation de la continuité à l'aide des fonctions coordonnées dans une base si l'espace d'arrivée est de dimension finie, ou à l'aide des fonctions composantes si l'espace d'arrivée est un espace produit. Continuité et topologie : caractérisations équivalentes de la continuité à l'aide de l'image réciproque des fermés/ouverts, image continue d'un compact, théorème des bornes atteintes. Applications linéaires continues : caractérisations équivalentes de la continuité pour une application linéaire, définition de la norme subordonnée pour une application linéaire continue, toute application linéaire au départ d'un espace de dimension finie est continue. Calcul différentiel : uniquement la définition d'un développement limité à l'ordre 1 en un point.
4 avril 2018 : Calcul différentiel : fonction différentiable en un point, équivalence avec l'existence d'un Dl à l'ordre 1, différentiable implique continue, lien entre différentiabilité et dérivabilité pour une fonction d'une seule variable réelle, les fonctions constantes et les applications linéaires sont différentiables, différentielle d'une application bilinéaire (dèm en TD), opérations sur les fonctions différentiables (combinaisons linéaires, équivalence avec la différentiabilité des applications coordonnées (dans une base de l'espace d'arrivée ou dans un espace produit)), différentiation d'une composée.
11 avril 2018 : Application du théorème de différentiation d'une composée au produit de deux fonctions différentiables (dont l'une est scalaire). Dérivées partielles : dérivation selon un vecteur, la différentiabilité entraîne l'existence des dérivées selon tout vecteur, dérivées partielles dans une base de l'espace de départ (vues comme les dérivées selon les vecteurs de la base), calcul pratique des dérivées partielles. Matrice jacobienne, version matricielle du théorème de différentiation d'une composée, formule de dérivation en chaîne.
25 avril 2018 : Calcul différentiel : fonction de classe C^1 (équivalence entre f est différentiable de différentielle continue avec l'existence et la continuité de ses dérivées partielles dans une base), exemple des applications constantes et linéaires, dérivées partielles successives, définition d'une fonction de classe C^k à l'aide de l'existence et la continuité de ses dérivées partielles d'ordre k, opérations, théorème de Schwarz dans le cas d'une fonction de classe C^2. Extrema : définitions (minimum/maximum/extremum local/global (strict ou non)), points critiques, condition nécessaire d'extremum sur un ouvert, exemples. Matrice hessienne, formule de Taylor Young à l'ordre 2 (admise), version matricielle à l'aide de la jacobienne et de la hessienne au point.
2 mai 2018 : Extrema : condition suffisante d'extremum sur un ouvert à l'aide des valeurs propres de la Hessienne en un point critique, corollaire dans le cas d'une fonction au départ de R^2 à l'aide du déterminant et de la trace de la Hessienne. Plan tangent à une surface d'équation z=f(x,y) (équation, position relative au voisinage du point). Extrema sur un compact : méthode d'étude et exemples.
Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi après-midi (sauf P8 : lundi matin) et sont assurés par: