Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.
Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi matin et sont assurés par:
Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.
Avancement :
Groupe P5 (au 09/12/16 après 14 TD sur 15):
Groupe P6 (au 15/12/16 après 15,5 TDs sur 15):
Groupe P7 (au 16/12/16 après 15TDs sur 15):
Groupe P8 (au 16/12/16 après 15 TD sur 15):
Les cours d'algèbre sont assurés par Stéphane Attal.
Voici l'avancement du cours : i.e. les parties qui ont été traitées en amphi.
– Chap 0 : Introduction et motivations. intro.pdf
Explication de la motivation pour diagonaliser des matrices, ou trouver des formes réduites. Un exemple fait à fond : une transformation linéaire des matrices à itérer (il faut la voir comme application linéaire sur Mn(C), calculer sa matrice, trouver une base dans laquelle elle devient la plus simple possible, calculer sa puissance n-ième dans la bonne base, retour au problème initial)
– Chap I : Rappels d'algèbre linéaire chi-rappels.pdf
Espaces vectoriels, bases, dimension. Application linéaire, matrice associée dans une base. Changement de base, matrice de passage et son inverse, formule de changement de base.
– Chap II : Le groupe des permutations grp_permut.pdf
Définition de groupe. Permutations, structure de groupe de Sn. Cycles, toute permutation est produit de cycles disjoints. Transposition, toute permutation est produit de transposition. Signature comme morphisme de G dans R^*
– Chap III : Déterminants iii_determinants.pdf
Déterminant d'une famille de vecteurs (formule avec S_n) dans une base B. Définition d'une forme n-linéaire alternée, le det_B est une forme n-linéaire alternée, “unicité” des formes n-linéaires alternées. Le det_B s'annule sur les familles liées. Formule de changement de base pour det_B. Une famille F est une base ssi det_B F différent de 0. Déterminant d'un endomorphisme. det_B u ne dépend pas du choix de la base. det(vou)=det(v) det(u), det (u^{-1})=1/det(u). Déterminant d'une matrice, lien avec déterminant d'un endomorphisme. det(A^t)=det(A). Récapitulation de toutes les opérations sur det A. Cas triangulaire. Calcul de det A par mise sous forme triangulaire. Calcul de det A par développement suivant une colonne ou une ligne. Application aux systèmes de Cramer, formule de Cramer. Comatrice et matrice inverse.
– Chap IV : Réduction géométrique
Sous-espaces stables, endomorphisme induit, stabilité de Ker(u-a id) et de Im(u- a id), stabilité de Ker v et Im v par u qui commute à v. Propriété des endomorphismes induits, Ker u_F, Im u_F. Représentation matricielle de u quand on a un sous-espace invariant. Représentation diagonale par blocs. Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme, sous-espaces propres, spectre. Stabilité des sous-espaces propres, les sous-espaces propres sont en somme directe, liberté des vecteurs propres, nombre maximal de valeurs propres différentes. Exemples de spectres en dimension infinie. Eléments propres d'une matrice, lien avec ceux de l'endomorphisme, 2 matrices semblables ont même spectre. Polynôme caractéristique, de degré n et unitaire. Matrice compagnon. Multiplicité des valeurs propres. Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit divise celui de l'endomorphisme (au passage determinant d'une matrice triangulaire par blocs). Encadrement de la dimension des sous espaces propres par 1 et la multiplicité. Première explication de la stratégie pour diagonaliser. Changement de corps, cas des matrices réelles vues comme matrices complexes : conjugaison des valeurs propres, conjugaison des sous-espaces propres. Diagonisabilité = existence d'une base de vecteurs propres. Equivalence avec décomposition de l'espace en somme directe de sous-espaces propres. Equivalence avec somme des dimensions des sous-espaces propres= dim E. Equivalence avec polynômes caractéristique scindé et dim sous-esp propre = multiplicité. n valeurs propres distinctes ⇒ diagonalisable. Matrice diagonalisable ⇔ endomorphisme diagonalisable. Puis plein d'exemples. Trigonalisation. Endomorphisme trigonalisable, matrice trigonalisable. Caractérisation : si et seulement le polynôme caractéristique est scindé. Tout endom de C est trigonalisable. Dans ce cas la trace est la somme des v.p. avec multiplicité, le déterminant est le produit. Algorithme de trigonalisation. Exemple. Endomorphisme nilpotent.
– Chap V : Réduction algébrique
Valeur d'un polynôme en un endomorphisme. Structure de K-algèbre (avec unité). L'application P–>P(u) est un morphisme de K-algèbre. Polynôme d'endomorphisme, algèbre K[u] (plus petite sous-algèbre contenant u). Polynôme annulateur. Structure d'e.v. et d'idéal de l'ensemble des polynômes annulateurs de u.Si P annule u alors le spectre de u est inclus dans les racines de u. Au passage, démonstration de a valeur propre de u ⇒ P(a) valeur propre de P(u).
Valeurs d'un polynôme en une matrice (carrée). Cas diagonal, cas triangulaire, cas triangulaire par blocs, polynôme de la transposée. L'application P –> P(M) est un morphisme d'algèbre. Sous-algèbre K[M]. polynôme annulateur. Remarques sur Q(P^{-1} A P)=P^{-1}Q(A)P. Si A, B sont semblables elles ont les mêmes polynômes annulateurs. L'ens des pol annul de M est un sev et un idéal. Les vp de M sont incluses dans les racines de tout pol annul de M.
Théorème de Cayley-Hamilton (avec démonstration, hors programme, par les matrices compagnons). Définition-théorème du polynôme minimal (plus petit pol unitaire annulateur de M, il divise tous les autres). 3 exemples. Les v.p. de M sont exactement les racines du pol min. Méthode de calcul de A^n par la méthode la division euclidienne de A^n par le pol min. 2 exemples en détails.
Le lemme des noyaux. Critère algébrique de diagonalisabilité (polynôme annulateur scindé à racine simple). Réduction des diagonalisables. Co-diagonalisation des endomorphismes qui commutent. Critère algébrique de trigonalisabilité (polynôme annulateur scindé). Sous-espaces caractéristiques. Toute matrice trigonalisable est la somme, par blocs, d'homothéties et de nilpotents.
Sous-espaces caractéristiques. Ker(u-l_k id)^n est stable à partir de la multiplicité de l_k dans le pol minimal. La dim de l'espace caractéristique est la multiplicité de la v.p. dans le pol caract. Projecteurs spectraux. Méthode générale de calcul des projecteurs spectraux par l'inverse du pol min. Décomposition de Dunford.
Les TD d'algèbre ont lieu en principe le mercredi matin et sont assurés par:
Avancement :
Groupe P5 (au 09/11/16 après 14 TD sur 15):
Groupe P6 (au 14/12/16 après 14,5 TDs sur 15 (et on s'arrêtera là, ajoutant 0,5 TD en analyse)):
Groupe P7 (au 14/12/16 après 15 TD sur 15):
Groupe P8 (au 07/11/16 après 14 TD sur 15):
Dates prévisionnelles
Les cours d'analyse sont assurés par Gaelle Dejou.
Les TD d'analyse ont lieu en principe le vendredi après-midi (sauf P8 le lundi matin) et sont assurés par:
Les notations, preuves et exemples ont été vus en CM, les fiches ne contiennent que les énoncés du cours.
Avancement :
Groupe P5 (au 28/04/17 après 14 TD sur 15):
Groupe P6 (au 5/05/17 après 15 TD sur 15):
Groupe P7 (au 05/05/17 après 15 TD sur 15):
Groupe P8 (au 28/04/17 après 14 TD sur 15):
Les cours d'algèbre sont assurés par Itaï Ben Yaacov.
Les TD d'algèbre ont lieu en principe le jeudi matin et sont assurés par:
Avancement :
Groupe P5 (au 23/04/17 après 14 TD sur 15):
Groupe P6 (au 23/03/17 après 7 TD sur 15):
Groupe P7 (au 13/04, après 13 TD sur 15)
Groupe P8 (au 04/05/17, après 15 TD sur 15):
Dates prévisionnelles