Mathématiques en cursus préparatoires première année - 2016-2017
Colles
Programme de colle : tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux derniers cours (pour les questions de cours) et derniers travaux dirigés (pour les exercices).
Début des colles :
Colloscope (à jour!)
Cours
Fondement des Mathématiques I
Chapitre 1 : Calculs algébriques
calculsalgebriques.pdf
– Sommes et produits: définitions, changements d'indices, exemples classiques
– Sommes doubles : Sur un rectangle, sur un triangle
– Coefficients binomiaux : Factorielle et coefficients binomiaux, Formule du binôme de Newton
Chapitre 2 : Les nombres complexes
chii-c.pdf
– Le corps C : Construction, le plan complexe, conjugaison, module, argument, exponentielle complexe
– Résolution des équations du 2nd degré dans C : Racines carré d'un complexe, solution de ax^2+bx+c=0 dans C, factorisation de ax^2+bx+c, Rappels sur les racines n-ièmes dans R, racines n-ième de l'unité dans C, exemples fondamentaux (j, j^2, etc),
relation de conjugaison des racines de l'unité, leur somme fait 0, Résolution générale de Z^n=z, exemple X^5+1=0.
Chapitre 3 : Bases de logique
logique.pdf
– Assertions, ensembles, prédicats : assertions, ensembles, “appartient” et “inclus”, prédicats. “non”, connecteurs “ou” et “et”, implication, réciproque, contraposée, équivalence
– Quantificateurs : quantificateurs “quelque soit”, “il existe”, “il existe unique”, négation et quantificateur, successions de quantificateur (en particulier différence entre “quelque soit, il existe” et “il existe, quelque soit”.
Chapitre 4 : Ensembles et applications
ensembles_applications.pdf
– Ensembles : inclusion, sous-ensemble, ensemble P(E) des parties de E, cardinal de P(E), union, intersection, complémentaire, différence et différence symétrique.
– Produits cartésiens et familles : Construction du produit cartésien, familles d'éléments, union et intersection de familles quelconques d'ensembles.
– Applications : Définition, prolongements et restrictions, compositions d'applications, image directe d'une partie, image réciproque d'une partie.
– Bijectivité : injectivité, surjectivité, bijection, fonction réciproque, caractérisation, f^{-1} est bijective, lien avec f^{-1}(A).
Chapitre 5 : Fonctions usuelles
fonctions_usuelles.pdf
– Généralités sur les fonctions : opérations sur les graphes (f(x+a), f(-x), f(a-x), f(x)+a, af(x), f(ax)), dérivabilité, dérivée de fog, dérivée de f^{-1}.
– Exponentielle, logarithme, puissances : rappels complets sur ln et sur exp, fonctions x^n pour n entier, graphes. Fonctions x^a pour a=1/n, puis pour a rationnel, graphes. Formule x^a=exp(a ln(x)). Fonction x^a pour a réel. Fonction a^x et fonction x^x.
– Fonctions circulaires réciproques : arccos, arcsin, arctan : domaine, limites, graphe et dérivée. Fonctions ch, sh, th, limites, graphes, dérivées, formules usuelles. Fonctions argch, argsh, argth, définitions, graphe, dérivée, formules explicites.
Chapitre 6 : Arithmétique dans Z
arithmetique.pdf
– Divisibilité : diviseurs, multiples, propriétés de base, division euclidienne, congruences, propriétés d'additivité et de multiplicativité des congruences.
– P.G.C.D. et P.P.C.M. : P.G.C.D., propriétés de base, algorithme d'Euclide, égalité de Bezout , propriété d|a et d|b ⇔ d|pgcd(a,b). P.P.C.M., propriétés de base. Propriété a|m et b|m ⇔ ppcm(a,b)|m. pgcd(a,b) x ppcm(a,b)=|ab|.
– Nombres premiers entre eux : définition, propriétés de base, théorème de Bezout, applications, théorème de Gauss, applications. Application à la représentation réduite des rationnels, au caractère irrationnel des racines carrées.
– Décomposition primaires des entiers : Nombres premiers, propriétés de base, ensemble infini. Théorème de décomposition en nombres premiers.
Chapitre 7 : Polynômes
polynomes.pdf
– Construction : K[X], structure d'espace vectoriel de K[X], degré, K_n[X], structure d'anneau de K[X], composition de polynômes, fonctions polynômiales.
– Dérivées d'ordre supérieur : Rappels sur les dérivées secondes, n-ièmes de fonctions. Formule (PQ)^(n). Taylor pour les polynômes.
– Arithmétique des polynômes : Divisibilité, division euclidienne, méthode effective, a est racine de P ssi (X-a) divise P, pgcd et ppcm des polynômes, Bezout, polynômes premiers entres eux, polynômes irréductibles, décomposition en facteurs irréductibles.
– Racines et polynômes : racines et degré, multiplicité des racines.
Chapitre 8 : Réels et suites
reels_suites.pdf
– Sup et inf : définition du sup et de l’inf des sous-ensembles de R, théorème fondamental des réels : tout ensemble non vide majoré admet un sup, première caractérisation du sup, densité de Q dans R (sans démonstration).
– Suites et limites : définition des limites finies ou infinies pour les suites, avec epsilon, n_0 etc, la limite (finie) si elle existe est unique (exercice à la maison), toute suite dans Z, si elle est convergente est forcement stationnaire à partir d’un certain rang (exercice à la maison), toute suite convergente est bornée. Théorème des gendarmes. Toute suite monotone admet une limite. Suites adjacentes.
–Opérations sur les limites : addition, produit, quotient dans tous les cas, cas indéterminés. Certains cas démontrés au tableau, les autres sont à lire. Pour les cas indéterminés trouver des exemples de chacun des comportements possibles.
– Sous-suites : Définition des sous-suites, les sous-suites ont même limite que la suite. Si deux sous-suites ont une limite différente alors la suite n'a pas de limite. Théorème de Ramsey (non démontré en cours, démonstration à lire). Théorème de Bolzano-Weierstrass (démontré à partir de Ramsey).
(Remarques : je n'ai pas fait le critère de Cauchy)
Chapitre 9 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité
limites_fonctions.pdf
– Limites : toutes les définitions de limites pour les fonctions, avec epsilon, delta : limite finie en un point, limite infinie en un point, limite finie à l'infini etc. Limites à gauche et à droite de toutes sortes. Caractérisation séquentielle des limites.
Travaux dirigés (PREMIER SEMESTRE)
Planches
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TD 3 : Logique et raisonnement.
TD 4 : Applications et quantificateurs.
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TD 5 : Etudes de fonctions.
TD 7 : Fonctions hyperboliques, hyperboliques reciproques et trigonométriques réciproques.
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Avancement
Groupe P1 (Pascal Lainé)
Vendredi 9 septembre : fiche “calcul” exercices de 1 à 17
Lundi 12 septembre : fiche “calcul” exercices 18 à 22 et exercices supplémentaires sur les calculs
Vendredi 16 septembre : exercices supplémentaires sur les calculs et fiche “complexes” exercices de 1 à 4
Lundi 19 septembre : fiche “complexes” exercices de 1 à 12
Vendredi 23 septembre : fiche “complexes” exercices 13 à 18 “exercice 18 non fini” et exercice 17 4. non fait.
Lundi 26 septembre : fiche “complexes” exercices 19 à 28.
Vendredi 30 septembre : fiche “complexes” exercices 29, 30 et 38,39. Fiche “logique et raisonnement” exercice 1 et 2.1
Lundi 3 octobre : fiche “logique et raisonnement” exercices 2 à 7 et le 9.
Vendredi 7 octobre : fiches “logique et raisonnement” exercices 8, 10 à 14, 16, 17. fiche “bijections et dénombrements” exercices 1 et 2
Lundi 10 octobre : fiche “bijections et dénombrement” exercices 3; 4.1, 4.2; 5; 6; 7 et 8.1.
Vendredi 14 octobre : fiche “applications et quantificateurs” exercices 1 à 6, 7.1 et 7.2; 8.1 à 8.6.
Lundi 17 octobre : fiche “applications et quantificateurs” jusqu'à la fin et fiche 7 “Etude de fonction” exercice 1 et 2
Vendredi 21 octobre : fiche “complexes” sur les transformations directes dans le plan complexe et fiche 7 exercice 3 et 4, avec pas mal de rappels de cours sur la dérivabilité en un point.
Lundi 24 octobre : fiche “étude de fonctions” exercices 5 à 9. Fiche “Fonctions hyperboliques, hyperboliques reciproques et trigonométriques réciproques” exercice 4.
Vendredi 4 novembre : fiche “étude de fonctions” exercices 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18 et 19.
Lundi 7 novembre : Fiche “Fonctions hyperboliques, hyperboliques reciproques et trigonométriques réciproques” exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 et 11.
Lundi 14 novembre : Fiche “arithmétique” exercice 1 à 8.
Vendredi 18 novembre : fiche “arithmétique” exercice 9 à 17.
Lundi 21 novembre : fiche “polynômes” exercices 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.7 et 1.8 (1).
Vendredi 25 novembre : fiche “polynômes” exercices 1.10, 1.12, 1.13, 1.14, 1.15, 2.2, 2.3 et 2.4
Lundi 28 novembre : fiche “polynômes” exercices 2.5, 2.6, 2.10, 2.12, 2.13, 2.14 et 2.15
Vendredi 2 décembre : fiche “polynômes” exercices fin de 2.15 et autre correction de 2.6 puis 2.16, 3.2, 3.7, 3.10. fiches “suites” 6, 7 et 8
Groupe P2 (Francesco Fanelli)
Vendredi 9 septembre: fiche “Calcul”, jusqu'à l'exercice 12.
Lundi 12 septembre: fiche “Calcul”, exercices 13, 14, 15, 18.1. Notions de inf et sup, max et min.
Vendredi 16 septembre: fiche “Complexes”, exercices 1 à 4.
Lundi 19 septembre: fiche “Complexes”, exercices 4 (partie finale), 5 à 9, 12, 13, 14.
Vendredi 23 septembre: fiche “Complexes”, autre méthode de résolution du 5, exercices 10, 12, 14, 15.
Lundi 26 septembre: fiche “Complexes”, exercices 16, 17, 18, 19.
Vendredi 30 septembre: fiche “Complexes”, exercices 22, 23, 24 (rapidement), 25; discussion sur les exercices 26 et 27. Fiche “Logique”, exercices 1 et 2.
Lundi 3 octobre: fiche “Logique”, exercices 3 à 7, exercice 8.1-2.
Vendredi 7 octobre: fiche “Logique”, exercices 8, 10, 11 et de 13 à 18.
Lundi 10 octobre: fiche “Logique”, exercices 22(2), 23(1), 24(2). Fiche “Bijections et dénombrement”, exercices 1 à 5.
Vendredi 14 octobre: fiche “Bijections et dénombrement”, exercices 7, 8, 9, 11. Fiche “Applications et quantificateurs”, exercice 3.
Lundi 17 octobre: fiche “Applications et quantificateurs”, exercices 2(4-5-6), 6(1-2-3-5-6-7-9-10-12-14), 7, 8(3-5-6-9), 11, 12, 13.
Vendredi 21 octobre: fiche “Complexes”, partie “complexes et géométrie”: exercices 2 (déjà fait le 30/09), 3, 4, 5, 6(2), 7, 12, 14.
Lundi 24 octobre: fiche “Études de fonctions”, exercices 1, 2, 3, 4, 5 (1-2.a-2.b).
Vendredi 4 novembre: fiche “Études de fonctions”, exercices 7, 9, 10, 11, 12, 13.
Lundi 7 novembre: fiche “Études de fonctions”, exercices 15 (1-4), 17. Fiche 7 bis: exercices 1, 3, 13. Fiche “Arithmétique”, exercices 2, 3.
Lundi 14 novembre: fiche “Arithmétique”, exercices 4, 5, 6, 7, 8, 9 (seulement les solutions particulières), 12.
Vendredi 18 novembre: pas de TD, il sera rattrapé en deux séances d'une heure et demi le lundi 21 et le vendredi 25.
Lundi 21 novembre (4h30 de TD): fiche “Arithmétique”, exercices 9 (solution de l'éq. homogène), 10, 14 (1-2-3-6), 16, 17. Fiche “Polynômes” (partie 1), exercices 1, 2, 4 (sauf le dernier point).
Vendredi 25 novembre (4h30 de TD): fiche “Polynômes” (partie 1), exercices 4 (fin), 5, 6, 7 (1-2-3), 8, 11, 13(1).
Lundi 28 novembre: fiche “Polynômes”, partie 1: exercices 10, 13(3-5), 14, 15; partie 2: exercices 1, 2.
Vendredi 2 décembre: fiche “Polynômes”, partie 1: exercice 13(2); partie 2: exercices 4 à 8.
Lundi 5 décembre: fiche “Polynômes”, partie 2: exercices 9, 12, 13, 16; partie 3: exercices 1, 8. Fiche “Réels et suites”, exercices 1, 2(1-2).
Vendredi 9 décembre: fiche “Réels et suites”, exercices 2(3), 3 à 6, 8(tous sauf 7), 9.
Lundi 12 décembre: fiche “Réels et suites”, exercices 10, 11, 13, 19, 20.
Vendredi 16 décembre: feuille “Limites et continuité”, exercices 1(a-c-d-e-f-g), 2, 3(a-b-c-d-e-g-h-m), 4, 5(1), 7, 9, 10, 11(1).
Groupe P3 (Khaled Saleh)
Vendredi 9 septembre : fiche “Calcul”, tous les exercices jusqu'au 12.
Lundi 12 septembre : fiche “Calcul”, exos 13, 14, 15, 16, 18, 21, 22.
Vendredi 16 septembre : fiche “Complexes”, exos 1 à 4.
Lundi 19 septembre : fiche “Complexes” exercices de 1 à 10.
Vendredi 23 septembre : fiche “Complexes”, exos 12 à 17-2.
Lundi 26 septembre : fiches “Complexes” exercices 17 à 21.
Vendredi 30 septembre : fiche “Complexes” exercices 22 à 26.
Lundi 3 octobre : fiche “Logique”, exercices 1 à 4.
Vendredi 7 octobre : fiche “Logique”, exercies 5(1. et 3.), 7, 8(1. à 3.), 9, 12, 14, 15.
Lundi 10 octobre : fiche “Logique”, exercies 16, 20, 23(1.), fiche “Applications et quantificateurs”, exercices 1 à 5 et exercice 6(1. à 3.).
Vendredi 14 octobre : fiche “applications et quantificateurs”, exos 6, 7, 8, 9.
Lundi 17 octobre : fiche “Applications et quantificateurs”, exos 10, 11 et 13. Fiche “Complexes”, exos 27, 28, 30, 31.
Vendredi 21 octobre : fiche “Complexes”, exo 34; fiche “Bijections et dénombrement”, exos 1, 2, 5 et 6.
Lundi 24 octobre : fiche “Etudes de fonctions”, exos 1, 2, 3 et 4.
Vendredi 4 novembre: fiche “Etudes de fonctions”, exos 5, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 16.
Lundi 7 novembre: fiche “Etudes de fonction trigo et hyperboliques”: exos 1, 2, 3, 4 et 12-1.. Fiche “Arithmétique”: exos 1 et 2.
Lundi 14 novembre: fiche “Arithmétique”, exercices 4, 5, 6, 7 et 8-1.
Vendredi 18 novembre: fiche “Arithmétique”, exercices 8-2, 9, 10, 12, 13.
Lundi 21 novembre: fiche “Arithmétique”, exercices 14, 15, 16, 17.
Vendredi 25 novembre: fiche “polynômes”, exercices 1.1, 1.2, 1.3 et 1.4.
Lundi 28 novembre : fiche “polynômes”, exercices 1.5, 1.6, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 1.12 et 1.13 (1 et 2).
Vendredi 2 décembre : fiche “polynômes”, exercices 1.13 (3 et 4), 1.15, 2.1, 2.2, 2.4 et 2.5.
Lundi 5 décembre: fiche “polynômes”, exercices 2.9, 2.10, 2.11, 2.12 et 2.13. Fiche “Réels et suites”: exos 1 et 2-1.
Vendredi 9 décembre: Fiche “Réels et suites”: exos 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 9.
Lundi 12 décembre: Fiche “Réels et suites”: exos 8, 11, 13 et 14.
Groupe P4 (Arnaud Duran)
Vendredi 9 septembre : fiche “Calcul”, tous les exercices jusqu'au 12.
Lundi 12 septembre : fiche “Calcul”, exos 13 à 18.
Vendredi 16 septembre : fiche “Complexes”, exos 1 à 5.
Lundi 19 septembre : fiche “Complexes”, exos 6 à 11.
Vendredi 23 septembre : fiche “Complexes”, exos 12 à 15.
Lundi 26 septembre : fiche “Complexes”, exos 16 à 19.
Vendredi 30 septembre : fiche “Complexes”, exos 20 à 27.
Lundi 3 octobre : fiche “Logique”, exos 1 à 4.
Vendredi 7 octobre : fiche “Logique”, exos 5 (1. et 3.), 7, 8 (1. à 3.), 9, 12, 14, 16, 17, 23.
Lundi 10 octobre : fiche “Applications et quantificateurs”, exos 1 à 6.
Vendredi 14 octobre : fiche “Applications et quantificateurs”, exos 7 à 9.
Lundi 17 octobre : fiche “Applications et quantificateurs”, exos 11 à 13.
Vendredi 21 octobre : fiche “Complexes”, exos 27, 28, 30, 31(1.) ; fiche “Bijections et dénombrement”, exos 1, 2 et 5.
Lundi 24 octobre : fiche “Etudes de fonctions”, exos 1, 2, 3 et 4(1. à 3.).
Lundi 7 novembre : fiche “Etudes de fonctions”, exos 5, 7, 8, 9 et 11.
Mercredi 9 novembre : fiche “Etudes de fonctions”, exos 12, 15, 16 ; fiche “7bis”, exos 1 et 3.
Lundi 14 novembre : fiche “7bis”, exos 2 et 4 ; fiche “Arithmétique”, exos 1, 2, 3 et 4.
Vendredi 18 novembre : fiche “Arithmétique”, exos 5 à 12.
Lundi 21 novembre : fiche “Arithmétique”, exos 12 à 17 ; fiche “Polynômes”, exo 7.
Vendredi 25 novembre : fiche “Polynômes”, exos 1.1 à 1.6.
Lundi 28 novembre : fiche “Polynômes”, exos 1.8 à 1.13(1).
Vendredi 2 décembre : fiche “Polynômes”, exos 1.13 à 1.15 ; exos 2.2 à 2.4.
Lundi 5 décembre : fiche “Polynômes”, exos 2.5, 2.7 à 2.10, 2.12, 2.13.
Devoirs (PREMIER SEMESTRE)
Cours (DEUXIEME SEMESTRE)
16/01. Opérations sur les matrices: somme de deux matrices, multiplication d'une matrice par un scalaire, multiplication de deux matrices et exemples. Point de vue matriciel sur un système: c'est une équation AX=B, où X et B sont des matrices colonnes, X a autant de lignes que le système a d'inconnues et B a autant de lignes que le système a d'équations. Matrices nulle et matrice identité. Inverse d'une matrice: définition, premières propriétés. Puissances d'une matrice carrée. Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice, matrices élémentaires; appliquer une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice c'est la multiplier à gauche par la matrice élémentaire correspondante (sur un exemple, pas de démonstration). Définition d'une matrice échelonnée réduite, exemples.
17/01. Méthode de Gauss: toute matrice est équivalente en lignes à une matrice échelonnée réduite. Applications: si une matrice carrée A est inversible à gauche (ou à droite) alors elle est inversible; une méthode pour calculer l'inverse d'une matrice. Exemples. Définition d'un espace vectoriel. Exemples. Combinaisons linéaires; définition d'une famille libre. Par convention, les seuls corps considérés dans ce cours sont les corps des nombres rationnels, réels, et complexes (pas de définition formelle d'un corps au tableau)
Notes de cours du chapitre 1 (les parties “Un peu de vocabulaire sur les matrices carrées” et “résolution matricielle d'un système linéaire” n'ont pas été traitées au tableau)
Remarque valable pour ce chapitre comme les suivants: tous les chapitres seront mis à jour, si nécessaire, au cours du semestre pour corriger les erreurs éventuelles. Le chapitre 1 a été mis à jour le 02.02.2017 après qu'un étudiant m'a signalé une erreur dans l'exemple de résolution d'un système via le pivot de Gauss (un -1 était devenu un 1 dans le système). Merci à lui et à tous ceux et celles qui prendront la peine de me signaler les erreurs présentes dans les notes.
19/01. Une famille est libre ssi aucun vecteur de la famille ne peut être écrit comme combinaison linéaire des autres. Définition et caractérisation d'un sous-espace vectoriel; exemples: droites dans le plan, droites et plans dans l'espace, et plus généralement l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène; suites définies par une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 dans l'espace des suites de nombres réels. Définition du sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs comme l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant ces vecteurs, et caractérisation comme l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de la famille. Définition d'une famille génératrice. Exemples. Si une famille A est libre et x est un vecteur, l'union de A et x est liée ssi x appartient à Vect(A). Définition d'une base, exemples: base canonique de R^n, base de l'espace des polynômes de degré au plus n. Lemme de Steinitz (seulement énoncé, la démonstration sera faite au prochain cours). Définition d'un espace vectoriel de dimension finie et de sa dimension (preuve que deux bases ont le même cardinal à partir du lemme de Steinitz).
24/01. Preuve du lemme de Steinitz. Retour sur la définition de la dimension. Théorème de la base incomplète. Un sous-espace vectoriel d'un espace de dimension finie est de dimension finie et a une dimension inférieure à celle de l'espace ambiant; si deux espaces vectoriels de dimension finie sont contenus l'un dans l'autre et de même dimension alors ils sont égaux. Sommes de sous-espaces vectoriels, sommes directes, supplémentaires. Dans un espace vectoriel de dimension finie, tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire. Formule de Grassmann. Exemple: l'espace des suites de nombres complexes satisfaisant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 (pas fini).
Notes de cours du chapitre 2
26/01. Fin de l'exemple sur les suites satisfaisant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2. Retour sur la notion de supplémentaire et la preuve de la formule de Grassmann. Début du chapitre sur les applications linéaires: définition, exemples. Noyau et image d'une application linéaire; définition et preuve du fait que ce sont des sous-espaces vectoriels. Définition du rang d'une application linéaire; preuve que l'image d'une partie génératrice est une partie génératrice de l'image, conséquence: le rang d'une application linéaire et inférieur ou égal à la dimension de son espace de départ. Preuve qu'une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est trivial. Enoncé du fait que, en dimension finie, une application linéaire est surjective ssi l'image de toute famille génératrice est génératrice ssi il existe une famille génératrice dont l'image est une famille génératrice; et une application linéaire est injective ssi l'image de toute famille libre est une famille libre ssi il existe une base dont l'image est une famille libre (preuve au prochain cours).
31/01. Preuve du théorème énoncé au cours précédent (en corrigeant une erreur d'énoncé!). Preuve qu'une application linéaire est injective ssi son rang est égal à la dimension de l'espace de départ, bijective si et seulement si l'image d'une base est une base. Si E,F sont de dimension finie et s'il existe une bijection linéaire de E sur F alors dim(E)=dim(F); si dim(E)=dim(F) et f est une application linéaire de E dans F alors f est bijective ssi f est injective ssi f est surjective. S'il existe une surjection de E sur F c'est que dim(E) est plus grand que dim(F); s'il existe une injection de E dans F c'est que dim(E) est plus petit que dim(F). Théorème du rang: énoncé et démonstration. Un exemple de calcul d'image/noyau d'une application linéaire. Définition d'une application linéaire à partir de ses valeurs sur une base.
02/02. Retour sur le fait qu'une application linéaire est uniquement déterminée par ses valeurs sur une base. Exemples. Matrice d'une application linéaire dans des bases; exemples. Lien entre calcul de l'image d'un vecteur par une application linéaire et multiplication d'un vecteur colonne par la matrice de l'application linéaire. Lien entre composition et produit de matrices. Définition de la matrice de passage d'une base B à une base B'; exemple. Preuve que la matrice de passage de B à B' est inversible, et que son inverse est la matrice de passage de B' à B.
Notes de cours pour le début du chapitre 3
07/02. Utilisation de la matrice de passage de B à B' pour exprimer les coordonnées d'un vecteur dans B quand on connaît ses coordonnées dans B'. Formule de changement de base pour les matrices d'applications linéaires en dimension finie; matrices équivalentes et matrices semblables. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent la même application linéaire quitte à changer de base au départ et à l'arrivée. Application linéaire associée à une matrice; rang et noyau d'une matrice. Une matrice est inversible si et seulement si l'application linéaire associée est inversible, et la matrice de l'application réciproque est l'inverse de la matrice de départ. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. Corollaire: une matrice et sa transposée ont le même rang. Définition de la trace d'une matrice carrée; énoncé du fait que trace(AB)=trace(BA) (démonstration au prochain cours).
09/02. Preuve de trace(AB)=trace(BA). Deux matrices semblables ont la même trace; définition de la trace d'un endomorphisme. Retour sur les équations cartésiennes (=noyaux d'applications linéaires) et paramétriques (=images d'applications linéaires) de sous-espaces vectoriels de R^n. Projecteurs, symétries et quelques propriétés élémentaires. Matrice d'une rotation; lien entre la rotation d'angle theta et la multiplication par le complexe de module 1 et d'argument theta. Un peu de vocabulaire sur les fractions rationnelles: définition, cas d'égalité de deux fractions rationnelles, forme irréductible, partie entière. Somme de deux fractions rationnelles, et dérivée d'une fraction rationnelle.
Notes de cours pour la fin du chapitre 3
14/02 et 16/02. (cours donnés par M. Carrizosa) Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle (seulement cas réel et complexe): théorème et exemples de calculs pratiques. Retour sur les nombres réels: majorants, minorants, bornes supérieures et bornes inférieures. Caractérisation des intervalles. Suites convergentes, suites extraites, théorème de Bolzano-Weierstrass. Note: ce chapitre et le suivant sont essentiellement des rappels de notions traitées au premier semestre. Il peut être fructueux de comparer les notes de cours de ce semestre et celles du semestre précédent.
Notes de cours des chapitres 4 et 5
28/02. Point adhérent à une partie; limite d'une fonction en un point adhérent à son domaine de définition, limite à gauche, limite à droite. Caractérisation de la limite par les suites. Théorème de composition des limites. Début du cours sur les fonctions continues: théorème des valeurs intermédiaires; théorème de la bijection; toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
02/03. Fonctions uniformément continues. Théorème de Heine: toute fonction continue sur un segment y est uniformément continue. Retour sur la définition de la dérivabilité, formules pour la dérivée d'un produit, d'une composée, et d'un quotient (avec preuves). Un exemple de fonction dérivable dont la dérivée n'est pas une fonction continue.
Notes de cours pour le début du chapitre 6
07/03 Notions d'extremum, extremum local. En un extremum local dans un intervalle ouvert, la dérivée est nulle. Théorème de Rolle, égalité des accroissements finis et applications. Inégalité des accroissements finis, exemples d'inégalités obtenues via l'inégalité des accroissements finis. Théorème de Darboux: les fonctions dérivées satisfont la conclusion du théorème des valeurs intermédiaires.
09/03 Critère de dérivabilité d'une fonction réciproque et formule pour sa dérivée quand elle existe. Fonctions circulaires réciproques: arcsin, arccos et arctan. Exemples, tableaux de variations et calcul de leurs dérivées. Définition d'une fonction de classe C^k. Enoncé de la proposition selon laquelle la somme et le produit de deux fonctions de classe C^k sont des fonctions de classe C^k, et énoncé de la formule de Leibniz (démonstration au prochain cours).
Notes de cours pour la fin du chapitre 6 (qu'on finira de traiter au prochain cours, 16/03/2017, avant de commencer le chapitre sur l'intégration).
16/03 Fin du chapitre 6: preuve de la formule de Leibniz, quelques propriétés des composées, inverses et réciproques de fonctions de classe C^k. Dérivées de fonctions à valeurs complexes. Début du chapitre sur l'intégration; subdivisions, fonctions en escalier, et intégrale d'une fonction en escalier (preuve que la valeur ne dépend pas du choix de la subdivision adaptée pas faire au tableau). Définition d'une subdivision pointée, du pas d'une subdivision et d'une somme de Riemann.
Notes de cours pour le début du chapitre 7
21/03 Définition d'une fonction intégrable (via les sommes de Riemann pour des subdivisions pointées dont le pas tend vers 0). Preuve que les fonctions continues sont intégrables. Définition d'une fonction continue par morceaux, énoncé (sans preuve) du fait que les fonctions continues par morceaux sont intégrables. Propriétés fondamentales de l'intégrale: relation de Chasles, linéarité, positivité, inégalité triangulaire. Encadrement de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment; énoncé et preuve du fait qu'une fonction continue, positive, d'intégrale nulle doit être nulle partout.
23/03 Première formule de la moyenne. Continuité des fonctions définies par une intégrale de fonction continue par morceaux; dérivabilité dans le cas où la fonction intégrée est continue (théorème fondamental de l'analyse). Applications: formule d'intégration par parties et plusieurs exemples; théorème de changement de variables et un exemple.
28/03 Fin du cours sur l'intégration. Intégrales de fonctions à valeurs complexes. Exemples de calculs d'intégrales: polynômes en sin, cos; fractions rationnelles; fractions rationnelles en sin, cos.
Notes de cours pour la fin du chapitre 7
30/03 Comparaison locale de fonctions: o, O et équivalents. Quelques exemples et propriétés (on peut multiplier/diviser des équivalents mais pas les ajouter/soustraire). Mêmes notions pour les suites. Formule de Taylor-Young, et démonstration (en faisant l'hypothèse supplémentaire que f' est continue).
Notes de cours du chapitre 8
04/04 Fomule de Taylor-Lagrange, formule de Taylor avec reste intégral (avec preuves). Définition d'un développement limité; unicité de la partie régulière. On peut ajouter, multiplier et composer des développements limités (pour la composition, on se ramènera à des développements limités en 0); preuves de ces faits. Enoncé du théorème d'intégration des développements limités (preuve la prochaine fois).
06/04 Preuve du théorème d'intégration des développements limités. Liste de développements limités classiques. Exemples de calcul de développements limités, principalement en 0; pour les quotients, exemples de calculs par composition ou par division suivant les puissances croissantes.
Notes de cours pour le début du chapitre 9
11/04 Exemples d'utilisation des développements limités: calcul de limite; position d'un graphe par rapport à sa tangente. Début d'un exemple de développement asymptotique, abandonné devant l'apathie du public. Equations différentielles linéaires réelles d'ordre 1: résolution de l'équation homogène, puis de l'équation avec second membre par la méthode de variation de la constante.
13/04 Exemple de résolution d'équation linéaire d'ordre 1. Forme des solutions d'une équation différentielle d'ordre 2 à coefficients constants et exemples. Cas où le second membre est de la forme exponentielle fois polynôme: énoncé (sans démonstration; au prochain cours) d'un théorème sur l'existence d'une solution particulière de la forme exponentielle fois polynôme, et résolution d'une équation différentielle de ce type.
25/04 Preuve du théorème sur l'existence des solutions particulières énoncé au cours précédent. Preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz pour les équations différentielles d'ordre 2 à coefficients constants, d'abord pour les équations homogènes puis pour le cas général (en utilisant le wronskien et la méthode de variation de la constante): existence et unicité d'une solution satisfaisant des conditions initiales données.
Notes de cours du second semestre (tous les chapitres)
Travaux dirigés (DEUXIEME SEMESTRE)
Planches
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Feuille 3 : Espaces engendrés, bases, dimension, supplémentaires.
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Feuille 8 : Fonctions réciproques et trigonométrie.
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Feuille 10 : Formules de Taylor, équivalents, développements limités et asymptotiques.
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Avancement
Groupe P1 (Apollos Besse et Maria Carrizosa)
17/01 : feuille 1, exercices 1 à 11.
18/01 : feuille 1, exercices 12 à 16 puis fiche 2, exercice 1.
20/01 : feuille 2, exercices 2 à 8.
23/01 : feuille 2, exercices 9,10,11,12 (1).
25/01 : feuille 2, exercices 12 à 15, et fiche 3, exercices 1 à 3.
30/01 : feuille 3, exercices 4,5,7,8,9.
01/02 : feuille 3, exercices 6, 10, 11, 12 et 13.
06/02 : feuille 4, exercices 1, 2, 4 et 5(1-5).
08/02 : feuille 4, exercices 3, 5(6-7), 6, 8 et 10.
13/02 : feuille 4, exercices 9, 11 et 12.
15/02 : feuille 4, exercices 7, 13 et 14 + Une petite décomposition en éléments simples.
27/02 : feuille 5, exercices 1, 2 (partiellement), 3, 4.1, 6.
01/03 : feuille 6, exercices 1, 2, 3, 9 et 13.
06/03 : feuille 6, exercices 4, 5, 10 et 12.
08/03 : feuille 6, exercices 6, 7, 8 et 11.
13/03 : feuille 7, exercices 1, 2 et 4.
15/03 : feuille 7, exercices 5, 6, 7 et 8.
20/03 : feuille 7, exercices 3, 11, 10, 9 (1,2,3).
22/03 : feuille 8, exercices 1 à 5, 7.
27/03 : feuille 8, exercice 9, feuille 9, exercice 3
29/03 : feuille 9, exercices 1, 2 et 4.
03/04 : feuille 9, exercices 5 et 6.
05/04 : feuille 9, exercices 7, 8 et 10.
10/04 : feuille 9, exercices 9 et 11, feuille 10, exercice 1.
12/04 : feuille 10, exercices 2 à 6.
24/04 : feuille 10, exercices 7 et 8.
26/04 : feuille 10, exercices 9 et 12, feuille 11, exercices 1 (1,2) et 2.
Groupe P2 (François Lê)
17/01 : feuille 1, exercices 1 à 5.
18/01 : feuille 1, exercices 6 à 9 et 12 à 15.
20/01 : feuille 1, exercice 16.1 et feuille 2, exercices 1 à 3.
23/01 : feuille 2, exercices 4, 14 (1,2a,2b) et 15 (1,2,3).
25/01 : feuille 2, exercices 5, 6, 9, 11 et 13.
30/01 : feuille 3, exercices 1, 2, 3 et 5.
01/02 : feuille 3, le reste sauf 12 et 13 (ce dernier est à faire pour la prochaine fois).
06/02 : feuille 4, exercices 1 à 3.4.
08/02 : feuille 4, exercices 3 (fin), 4 et 5.
13/02 : feuille 4, exercices 8 à 11.
15/02 : feuille 4, exercices 12 à 14.
27/02 : feuille 5, exercices 1 (A à E), 2 (A et B), 3, 4.1 et 6.
01/03 : feuille 6, exercices 1, 2, 3 et 5.
06/03 : feuille 6, exercices 6 à 10.
08/03 : feuille 6, exercices 11 à 13.
13/03 : feuille 7, exercices 1 et 2.
15/03 : feuille 7, exercices 3 à 6.1.
20/03 : feuille 7, exercices 6.2 à 8 et 10.
22/03 : feuille 7, exercice 11 et feuille 8, exercices 1 à 3 et 5.1.
27/03 : feuille 8, exercices 5.2, 7 et 9 ; feuille 9, exercice 3 (a et b).
29/03 : feuille 8, exercice 10 ; feuille 9, exercice 3 (tout sauf h et j).
03/04 : feuille 9, exercices 4 et 1.
05/04 : feuille 9, exercices 5, 6 (a,b,c) et 10.
10/04 : feuille 9, exercices 7 et 8 ; feuille 10, exercices 1, 3 et 4.
12/04 : feuille 10, exercices 5(1 à 5), 6 et 7(a, b, c).
24/04 : feuille 10, exercices 7(d, e, f, j) et 8(a, b, c, g, h).
26/04 : feuille 10, exercices 9, 10(1, 2, 3, 7) et 11 ; feuille 11, exercice 1.1 (avec recherche de solution particulière et avec variation de la constante).
03/05 : feuille 10, exercice 12 ; feuille 11, exercices 1, 2, 3 (questions étoilées) et 6.
Groupe P3 (Lionel Nguyen Van Thé)
17/01 : feuille 1, exercices 1, 7, 8.
18/01 : feuille 1, exercices 4, 5, 9, 11 à 14, 15.1.
20/01 : feuille 2, exercice 1.
23/01 : feuille 2, exercices 2, 5, 6.
25/01 : feuille 2, exercices 9, 11, 13, 14.
30/01 : feuille 3, exercices 1, 2, 3 (1, 2 et 3), 4.
01/02 : feuille 3, exercices 7, 8, 9.
06/02 : feuille 4, exercices 1, 2.
08/02 : feuille 4, exercices 5, 9.
13/02 : feuille 4, exercices 8, 11, 13 et 14.
15/02 : feuille 4, exercices 14 (suite et fin), 3 (sauf 5 et 6), 7.
27/02 : feuille 5, exercices 1 (A à E), 2 (A et C).
01/03 : feuille 6, exercices 1, 5.
06/03 : feuille 6, exercices 9, 10, 12, 13a.
08/03 : feuille 6, exercices 13 (fin), 2.
13/03 : feuille 7, exercices 1, 4.
15/03 : feuille 7, exercices 6, 7.1.
20/03 : feuille 7, exercices 7.2, 8 et 11 (début).
22/03 : feuille 7, exercice 11 (fin) ; feuille 8, exercices 1, 7.
27/03 : feuille 8, exercice 9 ; feuille 9, exercice 1.
29/03 : feuille 9, exercice 3 (a, b, c, e, f).
03/04 : feuille 9, exercice 3 (g, i), 4.
05/04 : feuille 9, exercice 5, 6 (3a, 3b, 3c, 3d).
10/04 : feuille 9, exercices 8, 10 ; feuille 10, exercices 1, 4.
12/04 : feuille 10, exercices 5 (1, 2, 3, 4), 6, 7 (a à f).
24/04 : feuille 10, exercices 8 (a, b, c, g, h), 10 (1, 2, 3).
26/04 : feuille 10, exercices 11, 12 ; feuille 11, exercices 1, 2.
03/05 : feuille 11, exercices 3, 5.
Groupe P4 (Benjamin Célariès)
17/01 : Feuille 1, exercices 1 à 7.
18/01 : Feuille 1, exercices 8 à 14.
20/01 : Feuille 1, exercices 15.1 et 16.1 et Feuille 2, exercices 1 à 3.
25/01 : Feuille 2, exercices 5, 6 et 14 (1, 2a et 2b).
27/01 : Feuille 2, exercices 9, 11, 13 et 15.1.
01/02 : Feuille 3, exercices 1, 3, 4 et 6.
03/02 : Feuille 3, exercices 7, 8, 9 et 11.
08/02 : Feuille 4, exercices 1, 2 et 5 (questions 1 à 4)
10/02 : Feuille 4, exercices 5 (fin), 8 et 9.
15/02 : Feuille 4, exercices 11 et 12.
18/02 : Feuille 4, exercices 13, 14 et 3.
01/03 : Feuille 5, exercices 1 (partiellement), 2.A, 3 et 4.1.
03/03 : Feuille 6, exercices 1, 2 et 5.
08/03 : Feuille 6, exercices 6, 8, 9 et 10.
10/03 : Feuille 6, exercices 12 et 13.
15/03 : Feuille 7, exercices 1 et 2.
17/03 : Feuille 7, exercices 4, 6 et 7.1.
22/03 : Feuille 7, exercices 7.2, 8 et 11.
24/03 : Feuille 8, exercices 1, 2, 5, 7 et 9.
29/03 : Feuille 9, exercices 3 (a, b, c, e) et 4 (début).
31/03 : Feuille 9, exercices 1, 3 (f, g, i) et 4 (fin).
05/04 : Feuille 9, exercices 5 et 6 (1, 2, 3a, 3b, 3c).
07/04 : Feuille 9, exercices 7, 8, 9 (partiellement), 10.
12/04 : Feuille 10, exercices 1, 4, 5 (1, 2, 3), 6(1, 2).
14/04 : Feuille 10, exercices 6 (fin) et 7 (a à d).
26/04 : Feuille 10, exercices 7 (e et f), 8 (a, b, c, g et h) et 10 (1 et 2).
28/04 : Feuille 10, exercices 10.3, 11 et 12. Feuille 11, exercice 1 (1 et 2).
03/05 : Feuille 11, exercices 2 (1 et 2), 3 (* uniquement), 6.
Devoirs (DEUXIEME SEMESTRE)