Mathématiques en cursus préparatoires première année - 2012-2013

Programme de colle : tout, sans distinction entre analyse et algèbre, jusqu'aux derniers cours et travaux dirigés de la semaine précédente.

Questions du cours d'algèbre

Colloscope

Détails sur la page personnelle de Stéphane Attal

Résumé du cours : vocabulaire de la logique, ensembles et applications (définitif, sauf si des erreurs sont signalées).

Explications (?) complémentaires sur la différence entre fonction et application. Retenir: une fonction, c'est la donnée d'une application et d'éléments qui n'ont pas d'image. Ces éléments n'étant pas très intéressants, on se débrouille pour les éliminer. Aussi, en pratique, toutes les fonctions qu'on considère sont des applications.

Dénombrements : preuve des résultats annoncés en cours le 17/10/2012 + deux preuves de la non-dénombrabilité de R + trois applications de la notion de «fonction caractéristique» ; rien de cela n'est exigé mais la lecture est chaudement recommandée.

Vidéo pour tout comprendre sur la dénombrabilité, en anglais et en 7 min.

Nombres complexes : on a besoin d'informations sur les fonctions trigonométriques. (NB: il y a au moins une erreur dans ce texte. Un café à la première personne qui me la signale.)

Ce qu'il faut retenir dans une coquille de noix :

• (àspc) on appelle argument d'un complexe non nul z tout réel θ tel que z = |z|e^iθ ; tous les arguments sont égaux à 2π près ; l'argument principal est l'unique argument qui appartient à ]-π,π] ;
• mise en garde : la relation arg(zz') = arg(z) + arg(z') est fausse en général ! (pourquoi ?) elle est vraie à 2π près ;
• en pratique, un nombre complexe z possède deux représentations:
  • z = x + iy, où x et y sont deux réels bien définis ; cette écriture est adaptée aux opérations linéaires (addition, multiplication par un réel) ;
  • z = ρe^iθ, où ρ≥0 est unique et, si z≠0, θ est unique à 2π près ; cette écriture est adaptée aux produits et aux quotients ;
• l'unicité des écritures se traduit par les critères d'égalité suivants :
  • x + iy = x' + iy' si et seulement si x = x' et y = y' ;
  • (si z≠0) ρe^iθ = ρ'e^iθ' si et seulement si ρ=ρ' et θ ≡ θ' [2π] ;
• les racines n^es se retrouvent instantanément si on cherche les racines de ρe^iθ sous forme re^iα ; les critères ci-dessus donnent tout de suite : rⁿ = ρ et nα ≡ θ [2π], qui donnent r exactement et α à 2π/n près

Voici un complément de cours de géométrie plane :

• la partie sur les droites n'a pas été traitée en cours (mais pas grand-chose de nouveau par rapport au lycée !),
• la géométrie euclidienne (en particulier les angles) ont été traités rapidement en cours.

NB : ce qui est indiqué comme «exercice» est une façon pudique de mentionner un résultat connu ou à connaître et dont la preuve est omise.

Voici un complément de cours de géométrie dans l'espace. Vous y trouverez tout ce qui a été traité dans le dernier cours de décembre, ce qui sera vu le premier cours de janvier et un peu plus. Il est vivement conseillé de tout lire pendant les vacances.

Voir les notes de cours.

Voir les notes de cours.

• Sommes et produits [1]
• Logique et raisonnement [2]
• Ensembles et applications [3]
• Réels [4]
• Suites [5]
• Complexes [6]
• Limites et continuité [7]
• Géométrie [8]
• Dérivabilité [9]

Fiches 1 à 7.

Fiche 8 : 1 à 3, 5, 7 à 11, 13 à 16, 18 à 20 (questions 1, 2 et 11), 25 à 27.
Fiche 9 : 1 à 3, 9, 17 (question 1), 19, 21 (questions 1. (a) et (b)).

• Sommes et produits
• Nombres Réels
• Suites
• Fonctions réelles à variable réelle
• Dérivabilité

Fiche 1 : Exercices 1 à 8, 11, 13.

Fiche 2 : Exercices 1 à 3, 7 à 11, 14 à 16.

Fiche 3 : Exercices 1 à 28.

Fiche 4 : Exercices 1 à 18.

• Logique et Raisonnement [1]
• Recurrences. Ensembles. Applications [2]
• Dénombrement [3]
• Complexes [4]
• Géométrie [5]

Fiches 1,2,3(1-13),4,5[1-12]

• Fonctions usuelles [1]

• Fonctions réciproques [2]

• Développements limités [3]

• Formules de Taylor [4]

• Courbes paramétrées [5]

• Equations différentielles [6]

• Courbes en coo. polaires et coniques [7]

• Calculs d'intégrales et de primitives [8]

• Exercices théoriques sur l'intégration [9]

• Exercices théoriques sur l'intégration [10]

• Semaine 1 : exercices 1.1, 1.3, 1.9, 1.10
• Semaine 2 : exercices 1.2, 1.6, 1.13, 2.1, 2.2, 2.5
• Semaine 3 : exercices 2.4, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12
• Semaine 4 : exercices 2.7, 2.13, 3.1, 3.2
• Semaine 5 : exercices 3.3, 3.4, 3.5, 3.6
• Semaine 6 : fin de la fiche 3
• Semaine 7 : fiche 4 en entier
• Semaine 8 : exercices 5.1 à 5.5
• Semaine 9 : fiche 6 (travaillée seulement par la moitié des étudiants, autre moitié le 12 avril)
• Semaine 10 : exercices 5.6, 5.7, 5.9, 5.11
• Semaine 11 : fin de la fiche 5, moitié fiche 7
• Semaine 12 : fin de la fiche 7, premier tiers fiche 8
• Semaine 13 : deuxième tiers fiche 8 pour une partie seulement des étudiants (les autres traiteront ces exercices le 15 mai)
• Semaine 14 : fin fiche 8, début fiche 9 pour une partie seulement des étudiants (les autres traiteront ces exercices le 22 mai)
• Semaine 15 : fin de la fiche 9
• Semaine 16 : fiche 10, partiellement

• Arithmétique des entiers [1]

• Polynômes [2]

• Polynômes-suite [3]

• Fractions rationnelles [4]

• Algèbre linéaire I [5]

• Algèbre linéaire II [6]

• Applications linéaires I [7]

• Applications linéaires II [8]

• Matrices [9]

L'avancement est indicatif : les exercices traités varient légèrement d'un groupe à l'autre

• Semaine 1 : exercices 1.4 à 1.6, 1.9, 1.10, 1.17.
• Semaine 2 : les exercices restants de la feuille 1
• Semaines 3 et 4: exercices 2.1 à 2.8
• Semaine 5 : Fin de la fiche 2. Exercices 3.1, 3.2, 3.17
• Semaine 6 : Première page de la fiche 3
• Semaine 7 : Quelques exercices épars sur la fiche 3, et exercice 1 de la fiche 4
• Semaine 8 : Feuille 4 (une sélection de questions parmi les exercices 1,2,3 et 5)
• Semaine 9 : Feuille 5 (en gros, le recto)
• Semaine 10 : Verso de la feuille 5, recto de la feuille 6
• Semaine 11 : Verso de la feuille 6
• Semaine 12 : Recto de la feuille 7
• Semaine 13 : Verso de la feuille 7

• Premier devoir avec un corrigé
• Deuxième devoir avec un corrige (encore partiel)
• Troisième devoir avec un corrigé
• Quatrième devoir avec un corrigé
• Cinquième devoir avec un corrigé
• Contrôle final avec un corrigé

• Premier problème avec un corrigé
• Deuxième problème avec un corrigé
• Je ne suis pas l'auteur du Troisième problème -qui se limite au “Problème 2” du sujet joint par ce lien : je l'ai trouvé sur le site web de la prépa du Lycée Brizeux, à Quimper. J'y joins un corrigé
• Quatrième problème avec un corrigé
• Cinquième problème avec un corrigé