Algèbre I - semestre d'automne 2009

CONTROLE FINAL: le vendredi 22/01 de 8h à 10h.math1algexamen2010bareme.pdf

CORRIGE DU CCF:math1algccf2009.pdf

• La première planche: Récurrence, arithmétiquemath1algplanche1.pdf
• la deuxième planche: Ensembles, applicationsmath1algplanche2.pdf
• la troisième planche: relations d'équivalence et relations d'ordremath1algplanche3.pdf
• la quatrième planche: dénombrement math1algplanche4.pdf
• la cinquième planche: nombres complexes math1algplanche5.pdf
• la sixième planche: groupes, anneaux et corps math1algeplanche6.pdf

Chapitre 1

Cours du 28/10: ensembles des entiers N et Z, ordre sur Z, principe de récurrence, division dans Z, nombres premiers, existence d'un diviseur premier, thm de division euclidienne.

Cours du 05/10: pgcd, algorithme d'Euclide, Théorème de Bézout, divers corollaires dont le lemme de Gauss, décomposition primaire.

Cours du 12/10: applications de la décomposition primaire aux diviseurs d'un entier, pgcd et ppcm. Congruences, divers exemples.

Cours du 19/10: coefficients binomiaux, petit théorème de Fermat, théorème des restes chinois.

Chapitre 2: fiche de cours pour la partie -Applications-:fiche_applications.pdf

Cours du 19/10: connecteurs logiques et tables de verité, quantificateurs existentiel et universel, exemples. Ensembles des parties d'un ensemble.

Cours du 26/10: produit cartésien, relations, applications (debut).

Premier controle (CC1): le lundi 26/10 en amphi. Il portera sur le chapitre 1

Corrigé du CC1:math1algcc12009corrige.pdf

Cours du 02/11: applications, divers exemples, injections, surjections, bijections, Images directes et réciproques d'une partie.

PAS DE COURS le lundi 09/11

Cours du 16/11: relations binaires, ordres, partitions, relations d'equivalence, divers exemples.

Cours du 23/11: ensembles finis, cardinal de la réunion disjointe et du produit d'un nombre fini d'ensembles finis, principe d'exclusion- inclusion, lemme des bergers, dénombrement des parties d'un ensemble fini E et coefficients du binome, cardinal de P(E), la relation - etre équipotent a -, ensembles dénombrables (definition).

Cours du 30/11: ensembles denombrables: divers exemples. Ensembles non dénombrables, lemme de Cantor, P(N) n'est pas dénombrable. Début des complexes.

Deuxième Controle (CC2): Le lundi 07/12 en amphi. Il portera sur le chapitre 2

Corrigé du CC2:math1algcc22009corrige.pdf

Chapitre 3

Cours du 07/12: nombres complexes, définitions usuelles, racines deuxièmes, forme polaire.

Cours du 14/12: propriétés de l'exponentielle complexe, formule de Moivre, racines n-ièmes d'un complexe, racines de l'unité: représentations comme l'ensemble des sommets des polygones réguliers du plan, exemples d'applications: puissance de cos et sin, solutions d'équations algébriques.

Chapitre 4. Fiche de résumé de cours:math1chapitre4.pdf

Cours du 21/12: Groupes.

Cours du 04/01 et du 11/01: Groupes fin (voir le fichier attaché).

Troisième Controle (CC3): Le lundi 11/01 en amphi. Il portera sur le chapitre 3 (complexes) et le chapitre 4 (groupes)

Corrigé du CC3:math1algcc3corrige.pdf

SOUTIEN hebdomadaire à partir du 7/12:

Groupes A et B: le mardi de 18h15 à 19h15 en salle D 82 du bat. Darwin.

Groupes C et D: le lundi de 11h30 à 12h30 en salle D 84 du bat. Darwin.

Groupes de TD:

Groupe A: lundi 10h00-11h30 Mezzanine 07, mardi 14h15-15h45 Grignard 21

Groupe B: lundi 10h00-11h30 Mezzanine 08, mardi 14h15-15h45 Lippman 107

Groupe C: mardi 14h15-17h30 Lippman 207

Groupe D: mardi 16h00-19h15 salle 111 Quai 43

Pour vous entraîner, vous trouverez ci-dessous un sujet donné en janvier dernier, et un corrigé. Rappelons un peu de terminologie: Z/nZ désigne l'ensemble des classes d'entiers modulo n; on peut le munir de l'opération “addition modulo n”, qui en fait un groupe, ou de l'opération “multiplication modulo n”, qui n'en fait jamais un groupe (0 n'a pas d'inverse). On a vu comme exemple de groupe en cours que l'ensemble des éléments non nuls de Z/nZ, muni de la multiplication, est un groupe ssi n est premier. ccfinal-o9.pdf corrige2009.pdf

Le soutien a lieu tous les vendredis, de 10h à 11h, en Préfa P2.

Le troisième CC a eu lieu le 08 janvier 2009. Il portait sur le chapitre III (nombres complexes) et le début du chapitre IV (groupes) jusqu'au cours du 18/12/1009. Les notes sont disponibles dans TOMUSS. Voici le sujet et son corrigé: cc3.pdf cc3-corrige.pdf

Le deuxième CC a eu lieu le 04 décembre 2009. Il portait sur l'intégralité du chapitre II. Les notes sont disponibles dans TOMUSS. Voici son corrigé:cc2-corrige.pdf

Le premier CC en amphi a eu lieu le 30 octobre 2009. Il portait sur l'intégralité du premier chapitre; les notes sont disponibles dans TOMUSS. le_sujet_du_cc1.pdf; le_corrige_du_cc1.pdf

• Cours du 02/10: Début du Chapitre I, Entiers naturels et arithmétique. Ensemble des entiers naturels, relatifs; ensemble vide. Propriétés élémentaires des entiers (tout ensemble non vide a un plus petit élément, etc.). Principe du raisonnement par l'absurde. Raisonnement par récurrence et preuve par l'absurde de sa validité. Début de l'arithmétique dans Z: divisibilité, diviseurs, définition du pgcd. Théorème de division euclidienne, preuve.

• Cours du 09/10: Suite du Chapitre I. Algorithme d'Euclide, application: calcul du pgcd. Théorème de Bezout et algorithme pour trouver une relation de Bezout entre deux entiers a,b. Définition des entiers premiers entre eux, remarque: a et b sont premiers entre eux ssi il existe u,v tels que a.u+b.v=1. Théorème de Gauss. Preuve du fait que n divise a et b ssi n divise pgcg(a,b); si n>0 alors pgcd(na,nb)=n.pgcd(a,b). Définition du ppcm, preuve que ppcm(a,b).pgcd(a,b)=a.b . Résolution dans Z de l'équation ax+by=c.

• Cours du 16/10: Suite, et presque fin, du chapitre I. Nombres premiers: définitions, exemples. L'ensemble des nombres premiers est infini; tout entier plus grand que 2 a au moins un diviseur premier, et même tout entier plus grand que 2 se décompose uniquement comme produit de nombres premiers. Congruence modulo un entier: définition, compatibilité avec l'addition et la multiplication. Exemple de calcul d'une puissance modulo un entier. Résolution de l'équation ax=b [n]. Théorème des restes chinois, et résolution du système x=a [n],x= b[k] dans le cas où n et k sont premiers entre eux (fait en fin de cours, à reprendre la prochaine fois).

• Cours du 23/10: Fin du chapitre I: résolution du système x=a [n],x= b[k] dans le cas où n et k ne sont pas forcément premiers entre eux; exemples. Bases de numération. Petit théorème de Fermat: pour tout nombre premier p et tout entier x, x^p est congru à x modulo p. Début du chapitre II: Ensembles, applications, dénombrement. Préliminaires: le langage mathématique; maniement des quantificateurs. L'ordre dans lequel les quantificateurs sont écrits est important - changer leur ordre peut changer le sens d'une assertion.

• Cours du 30/10: Suite du chapitre II: appartenance d'un élément à un ensemble, inclusion d'un ensemble dans un autre. Deux ensembles A et B sont égaux ssi (A est inclus dans B et B est inclus dans A). Opérations sur les ensembles: union, intersection, complémentaire. Lois de De Morgan et propriétés de l'opération “passer au complémentaire”. Exemples.

• Cours du 06/11: Suite du chapitre II. Produit cartésien de deux ensembles. Application d'un ensemble dans un autre. Source/ensemble d'arrivée/ensemble de définition et but/ensemble des valeurs d'une application. Définition du graphe d'une application et de la composée de deux applications. Image d'un ensemble par une fonction et image réciproque d'un ensemble par une fonction: définition et propriétés relatives à l'union et l'intersection. Fonctions injectives, surjectives, bijectives: définitions, reformulation des définitions et exemples. Théorème: une fonction est bijective si, et seulement si, elle a une fonction réciproque (qui est alors aussi une bijection).

• Cours du 13/11: Ensembles finis: définition. Si n et m sont deux entiers et s'il existe une injection de {1,…,n} dans {1,…,m} alors n est inférieur ou égal à m. Application: pour un ensemble fini non vide E donné il existe un unique n tel que E et {1,…,n} soient en bijection; on appelle n le cardinal de E. Si E,F sont deux ensembles, f est une application de E dans F et E est fini alors f(E) est fini et card(f(E)) est inférieur ou égal à card(E); de plus card(f(E))=card(E) si, et seulement si, f est injective. Si E,F sont deux ensembles finis, f est une fonction de E dans F et card(E)=card(F) alors f est injective ssi f est surjective ssi f est bijective. Formulaire sur les propriétés élémentaires du cardinal.

• Cours du 20/11: Dénombrement: principe des tiroirs; formules donnant le cardinal de AxB, de l'ensemble des fonctions de B dans A et de l'ensemble des parties de A quand A, B sont des ensembles finis. Coefficients binômiaux: définition, propriétés élémentaires, triangle de Pascal. Définition d'un ensemble dénombrable, exemples. Relations binaires: définition, exemples, et propriétés remarquables possibles - réflexivité, transitivité, symétrie et antisymétrie. Définition d'une relation d'équivalence (réflexive, symétrique, transitive) et d'une relation d'ordre (réflexive, antisymétrique, transitive).

• Cours du 27/11: Fin du chapitre II: ordre partiel, ordre total, plus grand élément et plus petit élément. Classes d'équivalence, ensemble quotient d'un ensemble par une relation d'équivalence. Début du chapitre III, nombres complexes: définition, interprétation géométrique. Définition de l'addition et la multiplication complexe; définition de i et preuve que i^2=-1. Premières propriétés des opérations algébriques sur le corps des nombres complexes; partie réelle, partie imaginaire et propriétés. Inverse d'un complexe non nul, division d'un complexe par un nombre complexe non nul. Définition du conjugué et du module, interprétation géométrique: le conjugué de z est le symétrique de z par rapport à l'axe des abscisses, le module de z est la longueur de z.

• Cours du 04/12: Suite du Chapitre III: propriétés élementaires du conjugué et du module d'un nombre complexe (en particulier: le conjugué du produit est égal au produit des conjugués, le module du produit est égal au produit des modules). Argument d'un complexe de module 1, définition géométrique par les rotations; un argument est défini modulo 2pi, et si |z|=1 alors un réel t est un argument de z ssi z=cos(t)+i.sin(t). Définition de l'argument d'un nombre complexe non nul: c'est l'argument de z/|z|. Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul: si z est différent de 0 alors on peut écrire z=r.(cos(t)+isin(t)), avec r et t deux réels, et alors on doit avoir r=|z| et t= arg(z) [2pi]. Propriété fondamentale de l'argument: étant donnés deux nombres complexes non nuls z,z' on a arg(zz')=arg(z)+arg(z') [2pi].

• Cours du 11/12: Fin du chapitre III: définition de e^(ix), où x est réel; c'est l'unique complexe de module 1 et d'argument x modulo 2pi. On a e^(ix)=cos(x)+isin(x). On a la formule e^(i(x+y))=e^(ix).e^(iy); on en déduit en particulier la formule de Moivre, qu'on énonce suivant sous la forme (cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx); cette formule est valable pour tout entier naturel n et tout réel x. Racines n-ièmes d'un nombre complexe: définition, calcul sous forme trigonométrique. Calcul de racines carrées en utilisant la forme cartésienne d'un complexe; résolution d'équations polynomiales de degré 2 à coefficients complexes. Début du chapitre IV: Groupes. Définition d'un groupe: l'opération est associative, il existe un élément neutre, et tout élément a un inverse (qui est unique). Exemples de groupes: les entiers relatifs avec l'addition, les réels non nuls avec la multiplication… Un exemple issu de la géométrie: les isométries d'un triangle équilatéral. Tableau de Cayley du groupe des isométries d'un triangle équilatéral.

• Cours du 18/12: Suite du chapitre IV: si a est un élément fixé du groupe (G,*), alors l'application qui à g associe a*g est une bijection de G sur G, et il en va de même de l'application qui à g associe g*a. On note g^(-1) l'inverse de l'élément g du groupe (G,*)et on a la formule (g*h)^(-1)=g^(-1)*h^(-1). Définition de g^n pour tout g dans G et tout entier relatif n. On a comme d'habitude (x^n)^m=x^(nm) et (x^n).(x^m)=x^(n+m). Définition: on dit que deux éléments g,h du groupe G commutent si g*h=h*g. On dit qu'un groupe est commutatif si tous ses éléments commutent. Un élement du groupe commute avec toutes ses puissances; si x et y commutent alors x^n et y^m commutent pour toute paire d'entiers relatifs (n,m), et on a (x*y)^n=x^n*y^n pour tout entier relatif n (si x et y commutent). Définition d'un sous-groupe d'un groupe (G,*): c'est une partie H de G qui contient l'élément neutre, et est stable par produit et par inverse (c'est-à-dire: le produit de deux élements de H appartient à H, l'inverse d'un élément de H appartient à H). Exemple de sous-groupe: le centre de G. Définition d'un homomorphisme; si F est une fonction du groupe (G,*) dans le groupe (H,.) alors F est un homomorphisme si F(g*g')=F(g).F(g') pour tout g,g' dans G. L'image de l'élément neutre (de G) par un homomorphisme est l'élément neutre (de H), et l'image de l'inverse (dans G) d'un élément g de G est l'inverse (dans H) de l'image de G. Un autre-exemple de sous-groupe: le noyau d'un morphisme.

• Cours du 08/01: Fin du chapitre IV. Théorème: un homoomorphisme est injectif si, et seulement si, son noyau est réduit à l'élément neutre. Définition: si (G,.) et (H,*) sont deux groupes et f est un homomorphisme bijectif de (G,.) sur (H,*) alors on dit que f est un isomorphisme de (G,.) sur (H,*). Théorème: l'application inverse d'un isomorphisme de (G,.) sur (H,*) est un isomorphisme de (H,*) sur (G,.). L'intersection d'une famille de sous-groupes est toujours un sous-groupe; si (G,.) est un groupe et A est une partie de G, on définit le sous-groupe engendré par A comme l'intersection des sous-groupes contenant A. Autrement dit, c'est le plus petit sous-groupe de G qui contient A. Dans le cas particulier où A={g}, le sous-groupe engendré par A est simplement l'ensemble des puissances de g. Théorème: tout sous-groupe de (Z,+) est de la forme nZ, autrement dit tout sous-groupe de (Z,+) est engendré par un seul élément. Si le groupe engendré par g est fini, de cardinal m, on dit que g est d'ordre m; sinon on dit que g est d'ordre infini. Si g est d'ordre fini m, alors m est le plus petit entier tel que g^m est égal à l'élément neutre de G. Théorème de Lagrange: si (G,.) est un groupe fini et H est un sous-groupe de G, alors le cardinal de H divise le cardinal de G. Cas particulier important: l'ordre d'un élément divise toujours le cardinal du groupe. Application: démonstration du petit théorème de Fermat en utilisant la théorie des groupes.

Voici une liste des salles de TD (lundi 14h15-17h30 pour tout les groupes):

• Groupe A: Mezzanine 08, Déambulatoire.

• Groupe B: Thémis 56.

• Groupe C: salle 5, Déambulatoire de 14h15 à 15h45 puis Préfa 12 de 16h à 17h30.

Soutien : le jeudi de 17h45 à 18h45 les 3/12, 10/12, 17/12, 7/01, salle 2 du déambulatoire, le 14/01 salle 2 du déambulatoire.

Cours du 12/01. Morphisme de groupes, exemples : exponentielle complexe, endomorphismes de Z. Préservation du neutre et de l'inverse, exemple le logarithme. Image d'un sous-groupe, image réciproque d'un sous-groupe. Noyau et image d'un morphisme de groupes, exemple : sous-groupe des racines n-ièmes de l'unité. Un morphisme de groupes est injectif si, et seulement si, son noyau est trivial. Isomorphisme de groupes. Ordre d'un élément dans un groupe. Préservation de l'ordre d'un élément par un isomorphisme de groupes, exemples. Dans un groupe fini, l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe.

Contrôle continu le 12 janvier de 12h15 à 13h30, amphi Thémis 9 épreuve écrite sur tout le programme jusqu'au cours du 5/01 inclus.

Cours du 5/01. Caractérisation des sous-groupes de Z. Toute intersection de sous-groupes est un sous-groupe ; ce n'est pas vrai en général pour la réunion. Classe modulo un sous-groupe. Théorème de Lagrange. Sous-groupe engendré par une partie, partie génératrice d'un groupe, exemples. Description d'un groupe engendré en termes de générateurs, exemples.

Contrôle continu le 5 janvier de 12h15 à 13h30, amphi Thémis 8 épreuve écrite sur tout le chapitre III.

Cours du 22/12. Chapitre IV : Les groupes. Loi de composition interne sur un ensemble. Loi associative, multiplicative, commutative. Exemples. Groupe. Unicité de l'élément neutre dans un groupe, de l'inverse d'un élément. Groupe abélien. Exemples (Z, Q, R, C, ensemble de parties muni de la différence symétrique, ensemble de bijections). Table de Cayley. Inverse d'un produit, propriétés des puissances. Régularité à droite et à gauche. Groupe fini, ordre. Sous-groupe, exemples.

Cours du 15/12. Les complexes de module 1 (forment un sous-groupe multiplicatif de l'ensemble des complexes non nul). Forme trigonométrique d'un nombre complexe. Formules d'Euler. Propriétés de l'exponentielle d'un imaginaire pur. Argument d'un nombre complexe, propriétés. Représentation géométrique d'un complexe, affixe d'un point, image d'un complexe. Interprétation géométrique de l'addition, de la conjugaison, du module, de la multiplication. Exponentielle complexe, propriétés. L'exponentielle complexe est surjective. Résolution des équations algébriques dans C. Racine carrée d'un complexe. Équations du second degré. Racine n-ième de l'unité.

Contrôle continu le 8 décembre de 12h à 13h15, amphi 2 du déambulatoire épreuve écrite sur tout le chapitre II.

Cours du 8/12. Chapitre III : Les nombres complexes. Définition des nombres complexes, parties réelle et imaginaire. L'addition et la multiplication munissent l'ensemble des nombres complexes d'une structure de corps. Conjugué, module d'un complexe, propriétés.

Cours du 1/12. Relation binaire, reflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité. Relation d'équivalence, classe d'équivalence. Ensemble quotient. L'ensemble des classes d'équivalence forme une partition. Ensemble ordonné, totalement ordonné. Majorant, minorant, plus grand élément, plus petit élément. Propriétés.

Cours du 24/11. Pour des applications entre ensembles finis, le cardinal du domaine d'une application injective est inférieur au cardinal de son codomaine, le cardinal du codomaine d'une application surjective est inférieur au cardinal de son domaine. Une application entre ensembles de même cardinal fini est injective si, et seulement si, elle est surjective si, et seulement si, elle est bijective. Cardinal d'une réunion d'ensembles finis ; cardinal d'un produit cartésien d'ensembles finis ; cardinal de l'ensemble des applications entre deux ensembles finis ; cardinal de l'ensemble des bijections entre deux ensembles de même cardinal fini ; cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini. Combinaisons de k éléments parmi n, coefficients binomiaux ; propriétés élémentaires des coefficients binomiaux. Expression factorielle des coefficients binomiaux. Ensemble dénombrable, ensemble au plus dénombrable, ex. Z. Une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, ex. Q. Un produit fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.

Cours du 17/11. Dénombrement. Ensembles équipotents. Un ensemble est dit fini s'il est équipotent à [n]={1,…,n}. Il existe une injection de [n] dans [m] si, et seulement si, n est inférieur ou égal à m. [n] est équipotent à [m] si, et seulement si, n=m. Si E est un ensemble fini non vide, il existe un unique entier naturel tel que E soit équipotent à [n]; cet entier est appelé le cardinal de E. Si E et F sont équipotents et si E est fini, alors F est fini est possède le même cardinal que E. Toute partie d'un ensemble fini est finie. Soient E un ensemble fini et A une partie de E. Alors card(A) est inférieur ou égal à card(E); de plus A=E si, et seulement si card(A)=card(E).

Contrôle continu le 10 novembre de 8h30 à 11h, amphi Gouy épreuve écrite sur tout le premier chapitre.

Cours du 10/11. Applications. Graphe d'une application. Image, image réciproque. Fibre d'un élément. Injectivité, surjectivité, bijectivité. Composition d'application (associative, unitaire). Une application est bijective si, et seulement si, elle est injective et surjective, si, et seulement si, il existe une application réciproque (qui est bijective). Application réciproque d'une composée.

Cours du 3/11. Chapitre II : Ensembles et applications. La notion d'ensemble … quelques contradictions (Paradoxe de Russel). Inclusion, ensemble des parties. Opéartions : union, intersection, différence, produit cartésien. Propriétés de ces opérations.

Cours du 27/10. Fin du chapitre I. Propriétés de symétrie, transitivité et compatibilité avec somme et produit des congruences. Si x n'est pas multiple d'un nombre premier p, alors x^{p-1} est congru à 1 modulo p. Le reste de la division euclidienne d'un entier a par un naturel n est l'unique entier naturel x < n congru à a modulo n. Théorème des restes chinois. Résolution de l'équation ax=b [n]. Résolution du système x = a [n] et x = b [m].

Cours du 20/10. Le ppcm et ses propriétés élémentaires. ppcm(m,n).pgcd(m,n)=|mn|. Les nombres premiers. Un nombre premier est premier avec tous les entiers qu'il ne divise pas. Un nombre premier divise un produit mn si, et seulement si, il divise m ou n. Tout entier naturel supérieur à 2 admet un diviseur premier. Il existe une infinité de nombres premiers. Décomposition en produit de facteurs premiers. Congruences modulo un entier. Petit théorème de Fermat.

Cours du 13/10. Récurrence (dite forte). Plus grand commun diviseur d'entiers relatifs. Algorithme d'Euclide par la méthode des restes. Théorème de Bézout. Entiers premiers entre eux. Identité de Bézout (Bézout pour des entiers premiers entre eux). Les diviseurs communs de deux entiers sont les diviseurs de leur pgcd. pgcd(p.m,p.n)=p.pgcd(m,n). Théorème de Gauss.

Pas de cours le 6/10.

Cours du 29/09. Début du Chapitre I, les entiers et rudiments d'arithmétique. Définitions des ensembles d'entiers naturels et relatifs, propriétés élémentaires (toute partie non vide de N possède un plus petit élément, toute partie non vide majorée possède un plus grand élément, …). Le raisonnement par récurrence (simple), exemples. Divisibilité dans Z, définition et premières propriétés. Division euclidienne sur Z, énoncé et preuve (rapide faite en toute fin du cours, j'y reviendrai).

• Coordonnées des groupes de tds:
  • Groupe A: mardi 8h15-9h45 Themis 51, vendredi 11h45-13h15 salle 5 deambulatoire
  • Groupe B: jeudi 14h00-17h15 salle 2 deambulatoire
  • Groupe C: jeudi 14h15-17h30 Mezzanine 10

Cours 1 : Entiers naturels : récurrences, coefficients binômiaux, tout ensemble non vide admet un minimum, tout ensemble non vide majoré admet un maximum.

correction_de_devoir_maison_1.pdf

correction_de_devoirsurveille_1.pdf

Cours 2 : Arithmétique : Nombres premiers, Théorème d'Euclide, décomposition des entiers naturels en produit de nombres premiers. Division Euclidienne,PGCD, PPCM, identité de Bézout,algorithme d'Euclide. Premier contrôle continu.

Cours 3 : Théorème de Gauss, Les deux petits théorèmes de Fermat, Théorème des restes Chinois.

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Cours 4 : Théorie des ensembles, inclusion, intersection, réunion, complémentaire.

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Cours 5 : Relations binaires, relations réflexives, symétriques, antisymétriques et transitives. Relations d'équivalence, classes d'équivalence.

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Cours 6 : Applications injectives, surjectives et bijectives. Image d'un ensemble par une application, image réciproque.

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Cours 7 : Nombres complexes,définitions et opérations algèbriques. Conjugués, Module, inverse. Arguments. Interprétation géométrique.

Cours 8 : Forme trigonométrique des nombres complexes, formule de Moivre et formules d'Euler. Contrôle 3.

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Cours 9 : Racines n-ième de l'unité et résolution des équations du second degré à coefficients complexes.

Groupes :loi interne, associative, commutative, élément neutre.

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Cours 10 : sous-groupes, morphisme de groupe, exemple du groupe des permutations à trois éléments.

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Cours 11 : Sous-groupes de Z. Théorème de Lagrange, sous-groupe engendré par un élément, ordre d'un groupe, d'un élément. Définition de l'addition et de la multiplication de classes modulo n. Groupes Z/nZ muni de l'addition des classes. Exemple de table de multiplication qui sont ou ne sont pas des groupes.

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Cours 12 : Fin du chapitre sur les groupes, morphisme de groupe, anneaux, corps et quatrième contrôle continu.

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