Programme

Cours

Travaux dirigés

Evaluation

• Anneaux, sous-anneaux.
• Groupe des éléments inversibles. Corps.
• Idéaux. Idéaux premiers. Idéaux maximaux.
• Morphisme d’anneaux.
• Anneaux intègres. Corps des fractions d’un anneau intègre.
• Anneaux de polynômes en une ou plusieurs indéterminées.
• Anneaux quotients. Idéaux premiers et intégrité. Idéaux maximaux et corps. Théorème d’isomorphisme A/Ker f = Im f.
• Anneau produit, théorème chinois.
• Anneau Z/nZ : inversibles, lien intégralité-primalité, fonction indicatrice d’Euler.
• Éléments irréductibles ou premiers.
• Arithmétique des anneaux euclidiens. Tout idéal d’un anneau euclidien est principal. Algorithme d'Euclide étendu. Bezout. Gauss. Exemples : Z, K[X], Z[i].
• Irréductibilité dans Z[X] et Q[X]. Lemme de Gauss. Critère d’Eisenstein.

• Corps. Sous-corps.
• Anneaux de polynômes en une indéterminée à coefficients dans un corps. Racines de polynômes dans K[X]. Relations coefficients/racines. Racines multiples et facteur commun via le polynôme dérivé.
• Éléments algébriques et transcendants. Polynôme minimal. Extensions algébriques. Degré. Extensions finies.
• Corps de rupture.
• Constructions à la règle et au compas. Théorème de Wantzel.
• Polynômes cyclotomiques.
• Corps finis : existence via les corps de rupture (existence d’un polynôme irréductible de tout degré). Unicité (admise).

Frank Wagner wagner@math.univ-lyon1.fr

Mardi 11h30 - 13h plus 9h45 - 11h15 (un mardi sur 3), Thémis 57 ou 59

Polycopié Chapitres 1-10

Thomas Gerber gerber@math.univ-lyon1.fr

Jeudi 14h - 15h30 et 15h45 - 17h15

Anneaux

L'UE comporte une épreuve écrite de contrôle continu (CC) et une épreuve finale anonyme (ECA). La note du CC sera remplacé par la note du ECA si cette dernière est meilleure. Le CC comptera pour 40%, l'ECA pour 60%.

CC : Mardi 17 mars, 11h30-13h, salle Grignard 02. Programme : La partie anneaux du cours. Sujet Corrigé

ECA : Mardi 12 mai, 10h-12h. Programme : Tout le cours.

En cas d'échec, vous pourrez repasser une épreuve de seconde session en juin. La note obtenue remplacera la note ECA.

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