• Produit scalaire. Espace préhilbertien, espace euclidien. Norme associée à un produit scalaire. Inégalité de Cauchy-Schwarz.
• Orthogonalité. Vecteurs orthogonaux, orthogonal d’une partie. Familles orthogonales, familles orthonormales.
• Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Bases orthonormales : existence dans un espace euclidien, expression d’une produit scalaire et de la norme.
• Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Supplémentaire orthogonal. Projection orthogonale : expression dans une base orthonormale. Distance d’un vecteur à un sous-espace.
• Isométries vectorielles d’un espace euclidien. Définition, image d’une base orthonormale. Symétries orthogonales, réflexion, O(E) et sa structure de groupe.
• Matrices orthogonales, On(R), SOn(R) et leur structure de groupe.
• Angles orientés. Produit mixte et vectoriel dans un espace euclidien orienté de dimension 3.
• Classification des isométries en dimension 2 et 3.
• Adjoints. Endomorphismes symétriques, normaux.
• Réduction des endomorphismes symétriques d’un espace euclidien.
• Réduction des endomorphismes normaux d’un espace euclidien.
• Sous-espaces affines, hyperplans affines, vecteur normal à un hyperplan affine. Exemples dans R^2 et R^3.

Cours les vendredis de 8H à 10H

1er cours le vendredi 23 janvier

Travaux dirigés les mercredis de 14H à 17H15 (1ers TD le mercredi 28 janvier)

pour le groupe math-bio les TD auront lieu les lundis de 8H à 11H15 (1er TD le lundi 19 janvier)

Vendredi 23/1 : Chapitre I FORMES BILINÉAIRES 1) produit scalaire usuel 2) Formes bilinéaires, symétriques, antisymétriques, exemples 3) Matrices : forme bilinéaire associée à une matrice, matrice d'une forme bilinéaire, formule changement de bases 5) Produits scalaires, formes bilinéaires symétriques positives et définies positives Vendredi30/1 : 6) Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les formes bilinéaires symétriques positives 7) Produits scalaires hermitiens Chapitre II ESPACES EUCLIDIENS Défintion 1) Bases orthogonales 2) Procédé de Gram-Schmidt Vendredi7/2 3) Orthogonal d'un sous-ev, propriétés 4) Projection orthogonale, définition 4) distance à un sous-espace, matrices de Gram

Cours du 23/1, Cours du 30/1, Cours du 7/2

Contrôle partiel 1 (CP1) le mercredi 4 mars de 15H45 à 17H15 (pendant les TD) le vendredi 6 mars après le cours

Contrôle partiel 2 (CP2) le mercredi 8 avril de 15H45 à 17H15 (pendant les TD) le vendredi 10 avril après le cours

Contrôle final (CF) à la fin du semestre

Note finale =** max(^(CP+CT)/₂,CT) où CP=^(CP1+CP2)/₂

• Formule de changement de bases
• définition d'un produit scalaire