Les livres de Liret et Martinais de première année peuvent servir de référence pour ce cours. On les trouve à la bibliothèque, ou en version électronique (en étant connecté avec des identifiants Lyon 1) ici (algèbre) et là (analyse).
Cours du 21 janvier: Définition d'une matrice, interprétation en termes de systèmes et de fonctions. Vocabulaire: matrice carrée, matrice colonne, matrice ligne. Opérations sur les matrices: somme, produit. Interprétation du produit en terme de composition de fonctions. Le produit est associatif, mais pas commutatif (exemples). Transposée d'une matrice et propriétés: transposer deux fois ne change pas la matrice, transposer AB donne le produit de la transposée de A et de la transposée de B. Définitions des puissances d'une matrice et formule A^(i+j)=A^i A^j. Formule du binôme (énoncée mais pas encore démontrée). Pour toute paire d'entiers (i,j) et toute matrice carrée A on a A^(i+j)=A^i A^j. Formule du binôme pour deux matrices carrées qui commutent. Définition d'une matrice inversible. Propriétés des matrices inversibles: si A est inversible alors A^(-1) aussi, et (A^(-1))^(-1)=A; un produit de deux matrices inversibles est inversible et (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1); définition de A^m quand A est inversible et A est un entier relatif. Si A est inversible alors sa transposée aussi, et formule pour l'inverse de la transposée. Si A a une colonne nulle alors A n'est pas inversible. A est inversible ssi sa transposée est inversible. Si A a une ligne nulle alors A n'est pas inversible.
Cours du 22 janvier: lien entre résolution d'un système linéaire et équation AX=B, où A est une matrice et X,Y des matrices colonne. Définition des matrices élémentaires (dilatation, permutation, transvection - ce vocabulaire n'est pas exigible) et lien avec les opérations élémentaires sur les lignes: appliquer une opération élémentaire sur les lignes à une matrice A, c'est multiplier A à gauche par la matrice élémentaire correspondante. Remarque : les matrices élémentaires sont inversibles. Matrices échelonnées, échelonnées réduites. Définition: deux matrices sont équivalentes en lignes si on peut passer de l'une à l'autre par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes. Théorème: toute matrice est équivalente en lignes à une matrice échelonnée réduite (l'unicité de cette matrice échelonnée réduite a été énoncée mais pas démontrée). La seule matrice échelonnée réduite et inversible dans M_n(K) est la matrice identité I_n. Critère d'inversibilité: A est inversible ssi pour tout Y AX=Y a une solution unique ssi AX=0 a une solution unique ssi A est équivalente en lignes à l'identité ssi A est un produit de matrices élémentaires. Méthode du pivot pour calculer l'inverse d'une matrice (en formant une matrice augmentée, et en faisant des opérations élémentaires sur les lignes sur la matrice augmentée). Théorème: étant données deux matrices A et B dans M_n(K), les propriétés suivantes sont équivalentes: AB=I_n; A et B sont inversibles et B=A^(-1); BA=I_n (démonstration à savoir refaire en utilisant la caractérisation des matrices inversibles énoncée un peu avant dans le cours).
Cours du 28 janvier: opérations élémentaires sur les colonnes (sans donner de détails). Résolution d'un système par la méthode du pivot de Gauss. Vocabulaire sur les matrices carrées: matrices triangulaires supérieures, triangulaires inférieures, diagonales. Théorème: une matrice triangulaire est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont non nuls (et alors l'inverse est triangulaire et on connaît ses coefficients diagonaux). Conséquence sur les matrices diagonales: une matrice diagonale est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, et formule pour l'inverse. Matrices symétriques, antisymétriques; toute matrice carrée est somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. Début du chapitre sur les fractions rationnelles (K=R ou C): définition, opérations algébriques, zéros, pôles. Degré d'une fraction rationnelle. Toute fraction rationnelle a une forme irréductible unique; toute fraction rationnelle s'écrit de façon unique sous la forme P+Q, où P est un polynôme et deg(Q) <0. Définition d'un élément simple, forme des éléments simples sur R et sur C. Énoncé du théorème de décomposition en éléments simples sur C, puis sur R (existence et unicité; la démonstration est hors programme et sera faite dans le cours d'algèbre). Premiers exemples.
Cours du 29 janvier: exemples de calcul de décomposition en éléments simples. Il faut exploiter les symétries de la fonction (parité, imparité) s'il y en a. Début du cours sur les espaces vectoriels. Définition d'un espace vectoriel (sur K=Q,R,ou C). Exemples: K^n, K[X], K(X), espaces de matrices, espaces de fonctions, espaces de suites… Définition d'un sous-espace vectoriel et exemples. L' intersection d''une famille quelconque de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. Par contre, une réunion de deux sous-espaces vectoriels est un espace vectoriel ssi l'un des deux est contenu dans l'autre. Définition du sous-espace vectoriel engendré par x_1,…,x_n, qu'on note Vect(x_1,…,x_n): c'est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels qui contiennent x_1,…,x_n. Théorème: Vect(x_1,…,x_n) est l'ensemble des vecteurs qui s'écrivent comme combinaison linéaire de x_1,…,x_n. Définition d'une famille libre. Théorème: soit (x_1,…,x_n) une famille libre et y un vecteur. Alors y appartient à Vect(x_1,…,x_n) si, et seulement si, (x_1,…,x_n,y) est liée.
Cours du 4 février: retour sur les notions de famille libre, famille génératrice, et exemples. Définition d'une base: une famille à la fois libre et génératrice. Exemples: dans R^n, R_n[X], M_{n,m}(K) (matrice E_{i,j} de la base canonique). Lemme d'échange (lemme de Steinitz) énoncé mais pas démontré (nous ferons la démonstration lors du prochain cours d'algèbre). Conséquence: le cardinal d'une partie libre (finie) d'un espace vectoriel E est toujours inférieur à celui d'une partie génératrice (finie). Deux bases d'un même espace vectoriel ont le même nombre d'éléments. Tout espace vectoriel, non réduit à {0}, ayant une partie génératrice finie admet une base (x_1,…x_n) et alors on note n=dim(E). Théorème de la base incomplète: toute famille libre peut être complétée en une base, toute partie génératrice contient une base. Si n=dim(E), alors pour toute famille (x_1,…,x_n) dans E les propriétés suivantes sont équivalentes: (i) (x_1,…,x_n) est libre; (ii) (x_1,…,x_n) est génératrice; (iii) (x_1,…,x_n) est une base (attention, ce théorème ne s'applique qu'aux familles dont le nombre d'éléments est égal à la dimension de l'espace E).
Cours du 5 février
(aucune démonstration n'est exigible): Subdivision d'un segment, pas d'une subdivision. Deux subdivisions de [a,b] étant données, il existe une troisième subdivision qui les raffine toutes les deux. Fonctions en escalier, subdivisions adaptées. Une fonction en escalier ne prend qu'un nombre fini de valeurs, une combinaison linéaire et un produit de fonctions en escalier est une fonction en escalier. Intégrale d'une fonction en escalier et propriétés (positivité, linéarité, inégalité triangulaire). Subdivisions pointées, sommes de Riemann. Somme de Darboux supérieure et inférieure; premières propriétés. Définition d'une fonction intégrable sur [a,b]: c'est une fonction bornée telle que le sup des sommes de Darboux inférieures (parmi toutes les subdivisions) coïncide avec l'inf des sommes de Darboux supérieures (parmi toutes les subdivisions). Interprétation comme “approcher l'aire entre l'axe des abscisses et le graphe de f par des sommes d'aires de rectangles”. Une fonction bornée sur [a,b] est intégrable ssi pour tout epsilon >0 il existe une subdivision pointée telle que la somme de Darboux supérieure associée à cette subdivision est majorée par la somme de Darboux inférieure + epsilon. Si f est intégrable, alors pour toute suite de subdivisions dont le pas tend vers 0 les sommes de Darboux associées convergent vers l'intégrale de f. Théorème: toute fonction continue sur un segment est intégrable. Tentatives de calcul d'intégrales à l'aide de sommes de Riemann, conclusion: il nous faut une meilleure méthode. Le cours s'est appuyé sur ce
diaporama.