Cours du 22 janvier. Définition d'une matrice, interprétation en termes de systèmes et de fonctions. Vocabulaire: matrice carrée, matrice colonne, matrice ligne. Opérations sur les matrices: somme, produit. Interprétation du produit en terme de composition de fonctions. Le produit est associatif, mais pas commutatif (exemples). Transposée d'une matrice et propriétés: transposer deux fois ne change pas la matrice, transposer AB donne le produit de la transposée de A et de la transposée de B. Définitions des puissances d'une matrice et formule A^(i+j)=A^i A^j. Formule du binôme (énoncée mais pas encore démontrée). Démonstration de cours: pour toute paire d'entiers (i,j) et toute matrice carrée A on a A^(i+j)=A^i A^j.
Cours du 23 janvier. Preuve de la formule du binôme pour deux matrices carrées qui commutent. Définition d'une matrice inversible, intérêt pour résoudre le système AX=B. Propriétés des matrices inversibles: si A est inversible alors A^(-1) aussi, et (A^(-1))^(-1)=A; un produit de deux matrices inversibles est inversible et (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1); définition de A^m quand A est inversible et A est un entier relatif. Si A a une colonne nulle alors A n'est pas inversible. A est inversible ssi sa transposée est inversible. Si A a une ligne nulle alors A n'est pas inversible. Définition des matrices élémentaires (permutation, dilatation, transvection - ce vocabulaire n'est pas exigible) et lien entre multiplication à gauche par une matrice élémentaire et opération élémentaire sur les lignes de la matrice. Les matrices élémentaires sont inversibles, et formule pour leur inverse. Matrices échelonnées, échelonnées réduites. Deux matrices sont équivalentes en lignes si on peut passer de l'une à l'autre par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes. Théorème: toute matrice est équivalente en lignes à une matrice échelonnée réduite (énoncé mais pas démontré). Exemple sur une matrice explicite et lien avec la résolution d'un système (pivot de Gauss). Début du cours sur les fractions rationnelles (K=R ou C): définition, opérations algébriques, zéros, pôles. Toute fraction rationnelle a une forme irréductible unique; toute fraction rationnelle s'écrit de façon unique sous la forme P+Q, où P est un polynôme et deg(Q) <0. Définition d'un élément simple, forme des éléments simples sur R et sur C. Démonstrations de cours: si A est inversible alors sa transposée aussi, et formule pour l'inverse. Un produit de matrices inversibles est inversible et formule pour l'inverse.
Cours du 29 janvier. Preuve que toute matrice est équivalente en lignes à une matrice échelonnée réduite. Critère d'inversibilité: A est inversible ssi pour tout Y AX=Y a une solution unique ssi AX=0 a une solution unique ssi A est équivalente en lignes à l'identité ssi A est un produit de matrices élémentaires. Méthode du pivot pour calculer l'inverse d'une matrice (en formant une matrice augmentée, et en faisant des opérations élémentaires sur les lignes sur la matrice augmentée). Définition des matrices triangulaires supérieures et triangulaires inférieures. Critère d'inversibilité: une matrice triangulaire supérieure est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont tous non nuls (énoncé, pas encore démontré).
Cours du 30 janvier. Fin du chapitre sur les matrices: preuve du critère d'inversibilité d'une matrice triangulaire supérieure (et formule pour les coefficients diagonaux dans le cas inversible). Définition d'une matrice diagonale; diag(a_1,…,a_n) est inversible ssi tous les a_i sont non nuls et dans ce cas son inverse est diag(1/a_1,…,1/a_n). Définition d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. Toute matrice carrée est somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. Fin du chapitre sur les fractions rationnelles: énoncé du théorème de décomposition en éléments simples sur C, puis sur R (existence et unicité; la démonstration est hors programme et sera faite dans le cours d'algèbre); formule pour calculer l'élément simple dans le cas d'un pôle simple. Exemples de calcul, écriture a priori de la forme de la décomposition dans quelques exemples particuliers. Début du chapitre sur les espaces vectoriels: définition d'un espace vectoriel (sur K=Q,R,ou C). Exemples: K^n, K[X], K(X), espaces de matrices, espaces de fonctions… Définition d'une famille libre. Critère: une famille (x_1,…,x_n) est libre ssi aucun x_i n'est combinaison linéaire des autres membres de la famille (la démonstration de ce critère est à connaître).
Cours du 5 février. Définition du produit de deux espaces vectoriels. Notion de sous-espace vectoriel: définition, exemples (droite passant par 0 dans le plan, plan passant par 0 dans l'espace, solutions d'un système linéaire homogène, suites convergentes, suites satisfaisant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2). L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. La réunion de deux sous-espaces vectoriels est un sous-ev ssi l'un des deux est contenu dans l'autre. Définition de l'espace vectoriel engendré par x_1,…,x_n: c'est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels qui contiennent x_1,…,x_n; on peut aussi le décrire comme le sous-ensemble formé par tous les vecteurs qui sont combinaison linéaires de x_1,…,x_n. Si (x_1,…,x_n) est une famille libre, et y un vecteur, alors (x_1,…,x_n,y) est libre ssi y n'appartient pas à Vect(x_1,…,x_n). Démonstrations de cours: la réunion de deux sous-ev est un sous-ev ssi l'un est contenu dans l'autre; si (x_1,…,x_n) est une famille libre et y un vecteur alors (x_1,…,x_n,y) est libre ssi y n'appartient pas à Vect(x_1,…,x_n).
Cours du 6 février. Subdivision d'un segment, pas d'une subdivision. Deux subdivisions de [a,b] étant données, il existe une troisième subdivision qui les raffine toutes les deux. Fonctions en escalier, subdivisions adaptées. Une fonction en escalier ne prend qu'un nombre fini de valeurs, une combinaison linéaire et un produit de fonctions en escalier est une fonction en escalier. Intégrale d'une fonction en escalier et propriétés (positivité, linéarité, inégalité triangulaire). Subdivisions pointées, sommes de Riemann. Sommes de Darboux supérieure et inférieure. Définition d'une fonction intégrable sur [a,b]: c'est une fonction bornée telle que le sup des sommes de Darboux inférieures (parmi toutes les subdivisions) coïncide avec l'inf des sommes de Darboux supérieures (parmi toutes les subdivisions). Interprétation comme “approcher l'aire entre l'axe des abscisses et le graphe de f par des sommes d'aires de rectangles”. Une fonction bornée sur [a,b] est intégrable ssi pour tout epsilon >0 il existe une subdivision pointée telle que la somme de Darboux supérieure associée à cette subdivision est majorée par la somme de Darboux inférieure + epsilon. Relation de Chasles. Fonctions continues par morceaux.
Démonstration de cours: toute fonction continue par morceaux sur un segment est bornée. Toute fonction continue par morceaux sur un segment est intégrable. Le cours s'est basé sur ce
diaporama.
Cours du 12 février. Preuve que si une fonction est intégrable sur [a,b] alors les sommes de Riemann de f convergent vers son intégrale quand le pas de la subdivision tend vers 0 (cette preuve est hors programme). Exemples de calcul d'intégrale via des limites de sommes de Riemann. Propriétés de l'intégrale des fonctions continues par morceaux: relation de Chasles, positivité, linéarité, inégalité triangulaire. Application: si f est continue par morceaux sur [a,b] alors son intégrale est entre (b-a)inf(f) et (b-a) sup(f); si f est continue sur [a,b] alors il existe x dans [a,b] tel que f(x)= 1/(b-a) intégrale(f) (démonstrations à connaître) .
Cours du 13 février. Si f est continue sur un segment, à valeurs positives, et d'intégrale nulle, alors f=0 (démonstration à connaître). Si f est continue par morceaux sur un segment, à valeurs positives, et d'intégrale nulle alors f est nulle partout sauf peut-être un nombre fini de points. Première formule de la moyenne. Inégalité de Cauchy-Schwarz pour des fonctions continues par morceaux, démonstration (sans discussion du cas d'égalité). Si f est continue par morceaux alors (intégrale de a à x de f(t) dt) est une fonction continue. Théorème fondamental de l'analyse: Si f est continue alors (intégrale de a à x de f(t) dt) est l'unique primitive de f qui s'annule en a. Première application: la formule d'intégration par parties. Exemples. Deuxième application: le théorème de changement de variables pour une fonction continue et un changement de variables de classe C^1 (deux formules: l'une où l'on intègre f(phi(t))phi'(t) dt et on pose phi(t)=x, dans ce cas phi n'a pas besoin d'être bijective; une où on intègre f(t)dt et on pose t=phi(x), dans ce cas on a besoin que phi soit bijective). Exemple: calcul de l'aire d'un disque centré en 0 et de rayon R. Brève discussion de l'intégration de fonctions continues à valeurs complexes: on intègre séparément partie réelle et partie imaginaire. Puis présentation trop rapide de quelques méthodes de calcul d'intégrale, à l'aide de ce
diaporama. Note pour les colleurs: éviter toute technicité excessive pour les exercices calculatoires (les exemples sur le diaporama sont, par exemple, trop compliqués pour être donnés en colle).
Cours du 19 février. Définition d'une base: une famille à la fois libre et génératrice. Exemples: dans R^n, R_n[X], M_{n,m}(K) (matrice E_{i,j} de la base canonique). Lemme d'échange (lemme de Steinitz). Conséquence: le cardinal d'une partie libre (finie) d'un espace vectoriel E est toujours inférieur à celui d'une partie génératrice (finie). Tout espace vectoriel, non réduit à {0}, ayant une partie génératrice finie admet une base (x_1,…x_n). On note n=dim(E) (deux bases d'un même espace vectoriel ont le même nombre d'éléments). Si L est une partie libre finie de E, G une partie génératrice finie de E et L est contenu dans G alors il existe une base B telle que L soit contenue dans B et B soit contenue dans G. Theorème de la base incomplète: toute famille libre peut être complétée en une base, toute partie génératrice contient une base.
Cours du 20 février. Méthodes pour rechercher une base d'un sous-espace vectoriel: quelques exemples. Si E est un ev de dimension n, et B une partie de E, alors (B est une basse) ssi (B et libre et a n éléments) ssi (B est génératrice et a n éléments). Si E est un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E, alors F est de dimension finie et dim(F) est inférieure ou égale à dim(E) (Preuve à connaître en se basant sur le théorème de la base incomplète). De plus F=E ssi dim(F)=dim(E). Description des suites solutions d'une relation de récurrence linéaire d'ordre 2, d'abord dans C puis dans R (discussion selon les racines du polynôme caractéristique). Définition de la somme de deux sous-espaces vectoriels; somme directe; supplémentaires (attention, en général un supplémentaire n'est pas unique!) et quelques exemples dans le plan et dans l'espace. Si F et G sont en somme directe alors dim(F+G)=dim(F)+dim(G)(preuve à connaître). Si E est un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel, alors F admet un supplémentaire. Formule de Grassmann pour la dimension de F+G: c'est égal à dim(F)+dim(G)-dim(F intersecté avec G).
Cours du 26 février. Critère: deux sous-espaces F et G d'un ev de dimension finie sont en somme directe si, et seulement si, dim(F+G)=dim(F)+dim(G). Dans un ev de dimension finie, deux sous-ev F et G sont supplémentaires si, et seulement si, dim(F)+dim(G)=dim(E) et F intersecté avec G est réduit à {0}(preuve à connaître). Début du chapitre sur les applications linéaires, définition, premiers exemples. Exemple (dans un espace E qui n'est pas de dimension finie) de deux applications linéaires S,T de E dans lui-même et telles que SoT=id mais ToS n'est pas égal à l'identité. Définition du noyau et de l'image d'une application linéaire; ce sont des sous-espaces vectoriels. Plus généralement, si f est une application linéaire de E dans F et G est un sous-ev de F, alors l'image réciproque de G par f est un sous-ev de E; et si G est un sous-ev de E alors f(G) est un sous-ev de F (preuve à connaître). Si f est une application linéaire de E dans F, alors f est injective ssi ker(f)={0}(preuve à connaître).
Cours du 27 février. Dans tout le résumé de cours E,F sont des ev de dimension finie et f une application linéaire de E dans F. L'image par f d'une famille génératrice de E est une famille génératrice de Im(f)(preuve à connaître). f est surjective ssi l'image de toute famille génératrice est génératrice ssi il existe une famille génératrice de E dont l'image est une famille génératrice de F. f est injective ssi l'image de toute famille libre est une famille libre ssi il existe une base de E dont l'image est libre dans F (preuve à connaître). Si f est injective l'image d'une base de E est une base de Im(f) donc rang(f)=dim(E); réciproquement si rang(f)=dim(E) alors f est injective. Définition d'un isomorphisme de E sur F: c'est une bijection linéaire de E sur f. Si dim(E)=dim(F) alors f est bijective ssi f est injective ssi f est surjective (preuve à connaître). Si f est un isomorphisme alors son application réciproque est une application linéaire. Théorème du rang: on a toujours rang(f)+dim(ker(f))=dim(E). En particulier, si dim(E)<dim(F) alors f ne peut pas être surjective, et si dim(E)>dim(F) alors f ne peut pas être injective. On insiste sur le fait que si f est un isomorphisme alors nécessairement dim(E)=dim(F). Preuve du théorème de décomposition en éléments simples dans C(X) par un argument de dimension (cette preuve est hors programme). Pour finir le cours nous avons ensuite passé un certain temps à calculer des intégrales par la méthode du changement de variable; manifestement les formules de trigonométrie et de trigonométrie hyperbolique sont à revoir.
Pas de cours les 12 et 13 mars (enseignant malade). Nous rattraperons ces heures plus tard.
Cours du 19 mars. Définition de f=o(g) au voisinage de a, f=O(g) au voisinage de a, f~g au voisinage de a. Ces trois définitions ont été données dans le cas d'une fonction g ne s'annulant pas au voisinage de a sauf peut-être en a, et exprimées en termes de propriétés du quotient f/g. Quelques propriétés élémentaires de ces notions. Si f est dérivable en a alors on a f(x)=f(a)+(x-a) f'(a)+o(x-a). Si f~g en a alors f et g ont même signe au voisinage de a. Brève discussion de ces notions (o, O, ~) dans le cas des suites. On a f(x) ~ g(x) au voisinage de a ssi f(x)-g(x)= o(g(x)) au voisinage de a (preuve à connaître). Énoncé et preuve de la formule de Taylor–Young pour une fonction n fois dérivable sur un intervalle, avec n un entier strictement positif.
Cours du 20 mars. Énoncé et preuve de la formule de Taylor-Lagrange. Énoncé et preuve de la formule de Taylor avec reste intégral (preuve à connaître). Remarque: les formules de Taylor-Young et Taylor avec reste intégral se généralisent aux fonctions à valeurs complexes, pas la formule de Taylor-Lagrange (l'égalité des accroissements finis n'est déjà pas toujours vérifiée pour des fonctions à valeurs complexes). Début du cours sur les développements limités: partie régulière, reste. Unicité de la partie régulière. Développement limité d'une somme, d'un produit, d'une composée. Théorème d'intégration des développements limités. Les développements limités classiques; à connaître: e^x, 1/(1-x), 1/(1+x), ln(1-x), ln(1+x), arctan(x), sin(x), cos(x), (1+x)^a (à un ordre n quelconque, en 0). Deux exemples: développement de tan(x) à l'ordre 5 en 0, et de 1/(1-sin(x)) à l'ordre 3 en 0.
Cours du 25 mars. Applications des développements limités: trouver un équivalent simple (exemple: ln(cos(x)) en 0); calculer des limites (exemples). Si f est bijective et g est sa réciproque, calcul du développement limité de g en a à partir du développement limité de f en g(a), fait sur deux exemples: arcsin à l'ordre 6 en 0, arccos à l'ordre 3 en 0 (pas d'énoncé de théorème général). Autre application: étude locale d'une fonction; un premier exemple (ln(1+x+x^2) en 0: tangente et position par rapport à la tangente).
Cours du 27 mars. Encore quelques applications des développement limités, étude locale en un point et en +infini. Retour aux applications linéaires: Si (x_1,…,x_n) est une base de E et y_1,…,y_n sont des vecteurs de F alors il existe une unique application linéaire f telle que f(x_i)=y_i pour tout i entre 1 et n (preuve à connaître). Si E est un K-ev de dimension n alors E est isomorphe à K^n. Tout sous-espace vectoriel de dimension k d'un K-ev E de dimension n s'écrit comme le noyau d'une application linéaire à valeurs dans K^(n-k). Définition de la matrice d'une application linéaire dans une base, lien avec le calcul d'une application linéaire (exprimer f(x) dans la base B', c'est calculer AX, où A est la matrice de f de B dans B' et X est le vecteur colonne énumérant les coordonnées de X dans la base B). Matrice de passage: la matrice de passage de B à B' est la matrice de l'identité de B' dans B; autrement dit, c'est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de B', écrits dans la base B. La matrice de passage de B à B' est inversible, et son inverse est la matrice de passage de B' à B. Formule de changement de base pour des applications linéaires.
Pas de cours le 2 avril (enseignant malade) Ce cours ne sera pas rattrapé.
Cours du 3 avril (T. Blossier). L'ensemble L(E,F) des applications linéaires de E dans F où E et F sont deux K-ev de dimensions finies respectivement m et n, est un K-ev isomorphe à Mn,m(K) et en particulier dim(L(E,F)) = mn. Un endomorphisme d'un K-ev E de dimension finie est bijectif ssi sa matrice dans une base donnée est inversible. Remarque : résultat analogue pour les applications linéaires entre deux K-ev de même dimension finie. Matrices équivalentes, matrices semblables (traduction en termes de matrices d'applications linéaires, d'endomorphismes). Ce sont des relations d'équivalence; preuve pour les matrices équivalentes (à connaître). Rang d'une matrice. Deux matrices de Mn,m(K) ont même rang ssi elles sont équivalentes. Une matrice et sa transposée ont même rang. Trace d'une matrice carrée. Tr(AB)= Tr(BA) pour toutes matrices A et B de Mn(K).
Cours du 8 et 9 avril (F. Lê). Deux matrices semblables ont la même trace (preuve à connaître). Définition de la trace d'un endomorphisme. Les propriétés de calcul vues sur les matrices se traduisent pour les applications linéaires. Par exemple, formule du binôme. Définition du rang d'une matrice A comme valeur commune des rangs de toutes les applications linéaires ayant A pour matrice dans certaines bases. Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Le rang d'une matrice est le rang de la famille de ses colonnes et le rang de la famille de ses lignes. Si A est dans M_{n,p}(K), rg(A) ≤ min(n,p). rg(A)=0 ssi A=0. Si A est carrée, A est inversible ssi rg(A)=n. Projecteurs : si F et G sont deux sev supplémentaires dans E, notion de projection p_F sur F parallèlement à G. C'est une application linéaire. p_F+p_G=id. Im(p_F)=F, ker(p_F)=G. p_F^2=p_F, p_G^2=p^G, p_G\circ p_F = p_F\circ p_G =0. Un projecteur de E est un endomorphisme p tel que p^2=p. Alors Im(p) et ker(p) sont supplémentaires dans E, et p est la projection sur Im(p) parallèlement à ker(p) (preuve à connaître). Le rang d'un projecteur est égal à sa trace. Définition d'une symétrie vectorielle.
Cours du 10 avril (F. Lê). Si F et G sont deux sev supplémentaires dans E, il existe un unique endomorphisme s_F de E tel que s_F(x)=x pour tout x dans F et s_F(x)=-x pour tout x dans G. Plus précisément, s_F est donné par p_F-pG = 2p_F - id. On a s_F^2=id. Réciproquement, si s^2=id, F=ker(s-id) et G=ker(s+id) sont supplémentaires dans E et s=s_F. Exemple. Début du chapitre sur les équations différentielles linéaires. Définitions générales. Cas d'une équation homogène y'+a(x)y=0 avec a continue sur un intervalle I, à valeurs dans K=R ou C. L'ensemble des solutions est un sev de C^1(I,K). Les solutions sont les fonctions $x\mapsto \lambda e^{-A(x)}$, où A est une primitive de a sur I. Exemples. Cas d'une équation complète y'+a(x)y=b(x), avec a et b continues sur I. Les solutions s'obtiennent en ajoutant une solution particulière à la solution générale de l'équation homogène. Exemple. Si b=b_1+b_2, une solution particulière s'obtient en ajoutant une solution particulière de y'+a(x)y=b_1(x) à une solution particulière de y'+a(x)=b_2(x). Principe de variation de la constante. Exemple. Unicité de la solution vérifiant une condition initiale. Exemple. Exemples de recherche de solutions d'équations singulières (aucune théorie sur ce point) : xy'-2y=0. Les exemples xy'-y=0 et xy'+2y=0 ont été très rapidement survolés en fin de cours.
Cours du 16 avril. Retour sur les équations différentielles d'ordre 1, forme des solutions, exemples. Retour sur les exemples xy'-y=0 et xy'+2y=0. Equations différentielles linéaires homogènes d'ordre n: l'espace des solutions est un sous-espace vectoriel des fonctions de classe C^n sur I (preuve à connaître; j'ai mentionné mais pas démontré que dans ce cas les solutions sont en fait de classe C^infini). Equations différentielles d'ordre 2 à coefficients constants: forme des solutions en fonction des racines de l'équation caractéristique (pour l'instant nous avons seulement trouvé un sous-espace vectoriel de dimension 2 dans l'espace des solutions dans chacun des trois cas).
Cours du 17 avril. Preuve que l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2, à coefficients constants, est de dimension 2; existence et unicité d'une solution satisfaisant des conditions initiales données (i.e. y(t_0)=lambda et y'(t_0)=mu). Cas particulier d'un second membre de la forme polynôme fois exponentielle: existence et forme d'une solution particulière. Fin du programme pour l'examen. Méthode de Laplace pour montrer qu'une équation linéaire à coefficients constants d'ordre 2, avec second membre continu, admet une solution (et unicité de la solution pour des conditions initiales données). Pour les deux séances restantes nous allons revenir sur différents points du programme de la première année qui semblent mériter qu'on s'y attarde un peu; nous avons commencé aujourd'hui en évoquant différents points autour de la notion de dérivée. Les résumés de ces deux séances n'apparaîtront pas ici.