ALGÈBRE 1 - PARTIE B

Cours “Algèbre 1 - partie B” en Licence 1 - Parcours progressif, année 2022-2023, semestre de printemps.

• CM: Francesco Fanelli (email, page personnelle)

• TD:
  1. Groupe A → Véronique Battie (email)
  2. Groupe B → Simon Robert (email)

• Tutorat: Hugo Rodet-Evieux (email)

Le cours se compose de trois chapitres:

• les nombres complexes;
• les polynômes sur R et C;
• les fractions rationnelles.

Le programme complet est disponible ici: programme.

On recommande le livre Cours de Mathématiques (de A Soyeur, E. Capaces, E. Vieillard-Baron).

L'UE se compose de 12h de CM, 27h de TD et 15h de tutorat.

Les CM auront lieu le mardi matin, les TD les jeudi après-midi (toujours dans le créneau 14h - 17h15). Les heures de tutorat pourront avoir lieu sur les deux créneaux.

L'emploi du temps complet est disponible ici: planning

Il y aura quatre contrôles continus de 1h, et un contrôle terminal de 2h.

• Contrôles continus: 09/02 (jeudi après-midi), 07/03 (mardi matin), 30/03 (jeudi après-midi), 25/04 (mardi matin).
• Contrôle terminal: 09/05, de 11h00 à 12h30.
• Deuxième chance: 21/06, de 11h00 à 12h00.

La note finale de l'UE sera calculée selon la formule:

   CT x 40% + max(CC1,CT) x 20% + max(CC2,CT) x 20% + max(CC3,CT) x 20%,

où CC1, CC2 et CC3 sont les trois meilleures notes (sur les 4 disponibles) obtenues aux contrôles continues. En cas d'absence à un CC, l'étudiant obtient la note de 0. Vu le mode de calcul de la note finale, cela revient à remplacer sa note par celle du CT.

En cas d'échec, vous pourrez repasser une épreuve de seconde session en juin. La note obtenue remplacera la note du CT.

1. Nombres complexes: fiche de TD 1
2. Polynômes: fiche de TD 2
3. Fractions rationnelles.

• Mardi 17/01: CM (3h) → les complexes: définition, partie réelle, partie imaginaire; R ⊂ C; somme et produit de nombres complexes, propriétés; extension de formules (binôme, factorisation, somme géométrique) à C; conjugué d'un nombre complexe, propriétés; représentation d'Argand d'un nombre complexe, interprétation géométrique de la somme de deux complexes, translation et conjugaison; module d'un nombre complexe et son interprétation géométrique, propriétés du module.

• Jeudi 19/01: TD (3h)
  • Groupe A → Exercices 1, 3 a) g), 4 1a) 1c) 2a) 2b) 2c), 6, 7 a) b)
  • Groupe B → Exercices 1, 3 a) b) c), 4, 6, 7 a) b) c)

• Mardi 24/01: CM (1h30) → inégalité triangulaire et conséquence; nombres complexes de module 1, ensemble U, exponentielle imaginaire et propriétés; formules d'Euler, formule de Moivre; forme trigonométrique d'un nombre complexe, argument et argument principal; fonction exponentielle complexe et propriétés; racines n-ièmes d'un nombre complexe et racines n-ièmes de l'unité, ensemble U_n.

• Jeudi 26/01: TD (3h)
  • Groupe A → Exercices 7 c) d), 10 1b) 1d) 2, 12, 13 1), 16 1)
  • Groupe B → Exercices 8 (seulement la première moitié de chaque question), 9, 10, 11, 12, 15

• Mardi 31/01: Tutorat (1h30)
  • Groupe A →Exercice 7)a) ; 10)a),b) ; 11)a) ; 14)a)
  • Groupe B → Exercices 9, 2

• Jeudi 2/02: TD (3h)
  • Groupe A → Exercices 10, 15, 17 2a), 18, 11, 19 b)
  • Groupe B → Exercices 7 d), 13 1), 16, 17, 18

• Mardi 07/02: Tutorat (1h30) → annulé

• Jeudi 09/02: CC1 (sujet et corrigé)

• Mardi 21/02: CM (3h) → le complexes et les tranformations du plan: translations, homothéties, rotations, similitudes directes. Les polynômes: définition, opérations sur K[X]; identification de K avec un sous-ensemble de K[X]; degré d'un polynôme, degré de la somme, degré du produit; intégrité de K[X] et éléments inversibles. Division eucldienne: définition de divisibilité, polynômes associés.

• Jeudi 23/02: TD (3h)
  • Groupe A → Feuille 1 : exercices 8, 20 (sauf similitude) + retour CC1 + Feuille 2 : exercices 1 1), 2.
  • Groupe B → Exercice 20 sauf similitude (feuille 1) + composition de polynômes et degré de P(Q(X)) + Feuille 2 : Exercice 1 1) et 2), ainsi que 2 et 4 probablement trop rapidement… Pas eu le temps d'aborder la division euclidienne.

• Mardi 28/02: Tutorat (1h30) →

• Jeudi 02/03: TD (3h)
  • Groupe A → Feuille 1 : exercice 14 a)c) + Feuille 2 : exercices 1 2)3), 3
  • Groupe B → Feuille 1 : Exercice 14 a)b)c) + Feuille 2 : Exercices 1 3), 3, 12 (TVI), explication de l'algorithme de division euclidienne sur un exemple, notion de racine, exercice 15, lien entre \alpha est une racine de P et P se factorise par (X-\alpha), évocation des similarités entre K[X] et Z, en particulier théorème de décomposition en facteurs premiers/ irréductibles comme sous-tendant notre compréhension de la structure multiplicative de l'un et l'autre. Preuve de “z racine de P\in R[X] implique que le conjugué de z est aussi racine de P”.

• Mardi 07/03: CC2 (sujet)

• Jeudi 09/03: Pas de TD (forum avenir)

• Mardi 14/03: CM (1h30) → théorème de division euclidienne; fonctions polynomiales, racines d'un polynôme, relation entre le degré et le nombre de racines distinctes, racines multiples, caractérisation de la multiplicité d'une racine par divisibilité; polynômes dérivés, caractérisation de la multiplicité d'une racine par polynômes dérivés.

• Jeudi 16/03: TD (3h)
  • Groupe A → Feuille 2 : exercice 15, Livre-référence CM : 21.26 (p.794) 1)4), 21.35 (p.797), retour sur le CC2
  • Groupe B → Correction exhaustive du CC2, Feuille 2 : Exercice 6.

• Mardi 21/03: CM (1h30) → polynômes scindés sur K, théorème fondamental de l'algèbre, polynômes conjugués; factorisation d'un polynôme dans C[X] et dans R[X]; polynômes irréductibles de C[X] et de R[X]. Propriétés de la divisibilité.

• Jeudi 23/03: TD (3h)
  • Groupe A → Livre-référence CM : 21.6 (p.788) 1), Feuille 2 : 6, 10 3)6).
  • Groupe B (rattrapé lundi 27/03) → Livre-référence CM : 21.6 (p.788) 1) 2), Un exemple supplémentaire de division euclidienne, Feuille 2 : Ex 7, 10 3) + un mot sur 1)

• Mardi 28/03: Tutorat (1h30)
  • Groupe A : exercice 7 de la feuille 2 et petit rappel sur les critère d'irreductibilité sur les polynomes dans R et dans C.
  • Groupe B : exercice 9a) de la feuille 2 et petit rappel sur les critère d'irreductibilité sur les polynomes dans R et dans C.

• Jeudi 30/03: CC3 (sujet)

• Mardi 04/04: CM (1h30) → PGCD: définition et propriétés; théorème de Bezout et algorithme d'Euclide; polynômes entiers entre eux, proposition de Bezout; lemme de Gauss. Retour sur les polynômes irréductibles; théorème de décomposition en produits de facteurs irréductibles. Relation coefficients-racines (exemples).

• Jeudi 06/04: TD (3h)
  • Groupe A : correction CC3, 2-16 1)2), 21.17 (p.792).
  • Groupe B : Correction ​CC3 deux derniers exercices + Exos 10 1) (avec n=3) 6) 5) méthode changement de variables, 16 1) 2) 4)
• Mardi 18/04: Tutorat (3h)

• Jeudi 20/04: TD (3h)
  • Groupe A : 21.36 (p.797), 2-10 1) (avec n=3) 4) 5), 2-16 4), 2-17.
  • Groupe B : Exercice du livre 21.17 (p 792), Exos 17, 19 de la feuille de TD. Légère discussion sur les relations coefficients-racines à la fin de l'exercice 19.

• Mardi 25/04: CC4 (sujet)

• Jeudi 27/04: Tutorat (3h)