Jeudi 16/1: Algèbre système, matrice, application linéaire définie par l'image des vecteurs de la base canonique, rangés en colonne dans une matrice, multiplication par un scalaire, combinaison linéaire, matrice nulle, produit scalaire entre deux vecteurs, image d'un vecteur par une application linéaire comme produit d'une matrice colonne par la matrice, produit de matrices, matrices carrées, matrice identité, puissances, exemples.
Vendredi 17/1: Analyse comparaisons, o, O, ~, ∀ε ∃δ vs ε(x) dans la démonstration des propriétés (linéarité, transitivité, multiplicativité), théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, théorème de Taylor-Young (démonstration par récurrence sur le degré exigible en colle).
Lundi 21/1: Algèbre opérations élémentaires sur un système, représentation matricielle par multiplication à gauche et opérations sur les lignes; transposée, opérations sur les colonnes et multiplication à droite; noyau et image d'une matrice, opérations sur les lignes préservent le noyau, opérations sur les colonnes l'image; matrice échelonnée, échelonnée réduite; équivalence en ligne, en colonne; méthode du pivot de Gauß, démonstration, exemple.
Jeudi 24/1: Analyse Démonstration des théorèmes de Taylor-Lagrange et Taylor avec reste intégral, définition des développements limités, unicité de la partie régulière en un point et à un ordre donné, propriétés de linéarité et de produit (pas encore la composée).
Lundi 28/1: Algèbre Inversion d'une matrice par la méthode de Gauß. Méthode du pivot de Gauß pour un unique vecteur. Chapitre 2: Espaces vectoriels. Corps commutatifs, combinaisons linéaires, espaces vectoriels, “abstract non-sense” du genre (-1).u=-u.
Jeudi 31/1: Analyse Retour sur le produit, nécessité de tronquer à l'ordre n+1, DL d'une composée, intégration d'un DL, division euclidienne des polynômes par puissances croissantes et DL d'un quotient, DL des fonctions usuelles, exp, cos, sin, 1/(1±x), arctan, ln(1±x), (1+x)^\alpha
Lundi 4/2: Algèbre Colinéarité, combinaison linéaire, famille libre, famille génératrice, sous-espace vectoriel, exemples (droites, plans dans R^3, compréhension géométrique de ax+by+cz=d dans une base orthonormée et de la condition linéaire d=0, matrices, noyau et image d'une matrice, suites récurrentes, convergentes, contrexemple divergentes et cv vers l≠0), intersections de sous-ev, ev engendré Vect(). (xi) libre ⇒ (y∊Vect(xi) ⇔ (y, x1,…,xn) liée). Base=libre + génératrice, coordonnées dans une base, Lemme de Steinitz.
Jeudi 7/2:
Analyse Équations différentielles linéaires. Réelles d'ordre 1. Interprétation graphique de y'=f(x,y)
Exemples en Geogebra, importance de l'exemple y'=y, équation homogène, structure d'ev des solutions, variation de la constante et solution générale. Exemples. Ordre 2: interprétation matricielle d'une réduction à l'ordre 1 (sans entrer dans aucun détail technique).
Lundi 11/2: Algèbre Dimension d'un ev, d'un sous-ev. familles libre ⊆ génératrice ⇒ ∃ base, libre ⊆ base ⊆ génératrice. Théorème de la base incomplète. Deux bases de l'ev des suites $u_{n+1}=a u_n+b u_{n-1}$ (on retrouvera $X^2-aX-b$ et ses racines jeudi avec les équa-diff du 2nd ordre).
Jeudi 14/2: Analyse Implémentation de la méthode d'Euler pour une équa-diff d'ordre 2, le pendule pesant et sa linéarisation: linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, trois types de solutions suivant les racines réelles, double ou complexes conjuguées de l'équation caractéristique. Cas particulier du terme général avec second membre de la forme Q(t)exp(λt) où Q est un polynôme.
Lundi 25/2: Algèbre Sommes de sous-espaces, somme directe, supplémentaire, existence de supplémentaire, formule de Grassmann.
Jeudi 28/2: Analyse Le wronskien de 2 fonctions comme fonction aire du parallélogramme dans l'espace des phases, propriétés, théorème de Cauchy-Lipschitz pour le cas linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants.
Lundi 4/3: Algèbre Applications linéaires. Théorème du rang. Matrice d'une application étant données une base de l'espace de départ et une base de l'espace d'arrivée.
Jeudi 7/3: Analyse Méthode de Laplace de la variation des deux constantes, théorème de Cauchy-Lipschitz pour le cas linéaire non homogène d'ordre 2 à coefficients constants, équations différentielles vectorielles, équivalence d'une équation réelle linéaire d'ordre n avec une équation vectorielle linéaire d'ordre 1 à valeurs dans $\mathbb{R}^n$. Chapitre Intégration: subdivisions d'un intervalle, raffinement, fonctions en escalier constantes par morceaux, définition de l'intégrale pour ces fonctions.
Lundi 11/3:
Algèbre Matrice de passage $\text{Mat}_{\mathcal{B'},\mathcal{B}}(id_{E})\in M_{n}(\mathbb K)$. Matrices équivalentes, matrices semblables. Rang comme invariant caractéristique de classe d'équivalence. Trace d'une matrice.
Mémo de Nicolas Ressayre.
Jeudi π day: Analyse Subdivisions pointées, à gauche, à droite, au milieu. Somme de Riemann, fonctions continues par morceaux, fonctions intégrables. Propriétés: linéarité, positivité, inégalité triangulaire, relation de Chasles, intégrale nulle d'une fonction positive $\Righarrow$ nulle partout sauf en un nombre fini de points. Th: les fonctions continues sont intégrables. Continuité de l'intégrale en sa borne. Formule de la moyenne. Théorème fondamental de l'analyse. Intégration par partie.
Lundi 18/3: Algèbre Circularité de la trace. Trace comme invariant de matrices semblables, trace d'un endomorphisme. Sous-espaces vectoriels et endomorphismes. Tout sous-espace vectoriel est le noyau d'une application linéaire (bis repetita). Équation cartésienne d'un hyperplan. Projection sur E parallèlement à F, symétrie de E parallèlement à F. Un endomorphisme $p$ tel que $p^2=p$ est la projection sur $\text{im}(p)$ parallèlement à $\text{ker}(p)$, un endomorphisme tel que $s^2=\text{id}$ est la symétrie de $\text{ker}(\text{id}-s)$ parallèlement à $\text{ker}(\text{id}+s)$.
Jeudi 21/3: Analyse Changement de variable. Intégration de fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$. Quelques familles d'exemples: $x\mapsto P(x)e^{\lambda x}$ avec $P\in\mathbb K[X], \lambda\in\mathbb K$ par intégration par parties successives. Corollaire $x\mapsto P(x)\sin(\omega x)$, $x\mapsto \cos(x)e^{\lambda x}$. Polynômes trigonométriques $x\mapsto \cos^k(x)\sin^\ell(x)$, linéarisation de $\cos^{2k}(x)$.
Lundi 25/3: Algèbre: Fractions rationnelles, éléments simples dans $\mathbb C(X)$ et $\mathbb R(X)$. Décomposition en éléments simples. Quelques exemples de méthodes pour résoudre le système.