Analyse IV (Printemps 2017)

Premier cours: jeudi 26 janvier, 7h45- 9h45

Premiers TD: lundi 30 janvier, 9h45 -13h

• 2 Kholles (25%) + 2 CC (25 %) + CF (50%)

• Kholles : Voir TOMUSS pour les dates et creneaux de vos kholles.

• CC1 : 7 mars 2017 (en CM, 1 heure)
• CC2 : 10 avril 2017 (en TD, 1 heure)
• CCF : 10 mai 2017, 11 -13h

• Partiel 1 énoncé
• Partiel 1 corrigé
• Partiel 2 énoncé
• Partiel 2 corrigé

• Chapitre 1: Espaces vectoriels normés
• 1.1 Norme - Définition et exemples
• Déf 1.2 : Norme
• Exemples (sans vérification complète !): norme p, norme infini, norme sur nombre complexes, somme de deux normes, norme sup de fonctions bornées et continues
• 1.2 Définitions topologiques et ses propriétés
• Déf 1.3 : Ouvert
• Thme 1.4 : Réunions et intersections des ouverts (preuve de réunion sur programme des kholles, preuve intersection hors programme de kholles)
• Déf 1.5 : Fermé
• Thme 1.6 : Intersections et réunions des ensembles fermés (preuve intersection sur programme des kholles, preuve réunion hors programme de kholles)
• Déf 1.7 : Voisinage
• Déf 1.8 : Intérieur comme réunion des ouverts contenus

• Déf 1.9 : Adhérent (intersection avec chaque voisinage non-vide)
• Déf 1.10 : Adhérence
• Lemme 1.11 : Adhérence comme intersection des ensembles fermés (preuve hors programme des kholles)
• Thme 1.12 : L'intérieur de A égale A ssi A est ouvert (preuve: TD, programme des kholles)
• Thme 1.13 : L'adhérence de A égale A ssi A est fermé (preuve hors programme des kholles)
• Déf 1.14 : Partie bornée.
• Exemple : Monomes dans l'espace de polynomes avec la norme 1 intégrale sur [0,1].
• Déf 1.15 : Compact
• Déf 1.16 : Dense (+ exemples)
• 1.3 Convergence de suites dans un e.v.n
• Déf 1.17 : Convergence
• Thme 1.18 : Propriétés de limites
• Thme 1.19 : Critère sequentiel pour les points adhérentes (preuve direction adhérent ⇒ il existe une suite sur programme des kholles)

• Cor 1.20 Critère sequentiel de l'ahérence
• Cor 1.21 Critère sequentiel pour parties fermées
• Thme 1.22 Critère sequentiel pour parties compactes
• Déf 1.23 Définition de la frontière
• Lemme 1.24 Caractérisation de voisinage avec des boules
• Déf 1.25 Définition d'une fonction continue (epsilon-delta)
• Thme 1.26 Caractérisations équivalentes (ouverts, parties fermées, suites)
• Thme 1.27 Combinaison linéaire et composition des fonctions continues
• Chapitre 2: Séries des fonctions, résumé et exemples
• Les preuves de CM 3 ne font pas partie de programme des kholles

• Déf 2.1 Convergence simple pour les séries des fonctions + remarques + exemple
• Thme 2.2 (rappel sans preuve) Convergence par majoration, divergence par minoration, termes convergent vers 0, critère de Cauchy
• Déf 2.3 Convergence absolue + remarques + exemples sur réordonnement
• Thme 2.4 (rappel sans preuve) réordonnement, double-somme, absolue implique simple
• Déf 2.5 Convergence uniforme (cv par rapport de la norme infinie) + remarques
• Thme 2.6 avec preuves, uniforme implique simple + même limite, critère de Cauchy pour uniforme
• Thme 2.7 avec preuves, Limite uniforme d'une série continue est continue
• Exemple: une série de Fourier avec limite pas continue
• Déf 2.8 Convergence normale
• Thme 2.9 Équivalence de la convergence normale avec une autre majoration par une suite numérique + exemple
• Sur programme des kholles : Les définitions et énoncés et la preuve de théorème 2.9

• Déf 2.8 convergence normale (série des normes infinies converge)
• Thme 2.9 Equivalence avec majoration par une série numérique convergente (preuve sur le programme des kholles)
• Thme 2.10 cv. normale implique cv. absolue et uniforme (preuve sur le programme des kholles)
• Déf 2.11 cv. compacte
• Thme 2.12 cv. compacte d'une série des fonctions continues donne une fonction continue (preuve hors programme des kholles)
• Thme 2.13 Une série des fonctions continues avec cv uniforme permet l'intégration terme par terme sur un intervalle compact (preuve hors programme des kholles)
• Thme 2.14 Si les fonctions sont de classe C1, la série des derivées cv uniformement et la série cv dans un point, la série cv vers une fonction dans C1 et on peut dériver terme par terme (preuve hors programme des kholles)
• Cor 2.15 Classe C infini (preuve hors programme des kholles)
• Exemple: e^(-x/n)/n^2
• Thme 2.16 Rappel: Echange des limites pour les suites des fonctions (preuve hors programme des kholles)
• Cor 2.17: Formulation pour les séries (preuve hors programme des kholles)
• Exemple Calcul de l'integrale de 0 a l'infini de la série des fonctions 1/(n^4+x^2)

• Partiel
• Thme 2.18 (Abel-Dirichlet) Règle d'Abel uniforme
• Exemple

• Chapitre 3 : Séries entières
• Déf 3.1 : lim sup comme plus grande valeur d'adhérence
• Thme 3.2 : Critère de Cauchy avec lim sup (preuve hors programme des kholles)
• Déf 3.3 : Série entière
• Déf 3.4 : Rayon de convergence comme sup |z| tq la série converge pour z
• Thme 3.5 : Convergence normale sur B(0,r), r< R et divergence grossiere à l'extérieur (preuve sur programme de kholles)
• Thme 3.6 : Formules pour R (preuve hors programme des kholles)
• Thme 3.7 : Continuité, derivée, primitive et coefficents d'une série entière (preuve sur programme de kholles)
• Thme 3.8 : Somme et produit des séries entières (preuve hors programme de kholles)
• Rappel Taylor-Lagrange
• Série entière autour d'un autre point

• Thme 3.10 Rayon de convergence par comparaison (si les coefficients sont équivalents, les rayons de convergence sont idéntiques) (preuve hors programme des kholles)
• Thme 3.11 Unicité de la série entière (sur une disque autour de 0) (preuve sur programme des kholles)
• Developpements en séries entières usuels: exp, cos, sin, ch, sh, 1/(1-x), ln(1+x), (1+x)^al, arctan (preuves sur programme des kholles)
• Exemple: (1+x)^(-1/2)
• arcsin
• Déf 3.12 : exp, cos, sin, ch, sh sur les nombres complexes comme série entière
• Exemple : x f(²)(x) + 3 f'(x) - 4 x^3 f(x)=0 et f(0)=1, solutions séries entières
• Exemple : Identité pour les coefficients de 1/sqrt(1-x) * 1/sqrt(1-x) = 1/(1-x)

• Programme de kholles 2/5: tous les théorèmes sans preuves
• Chapitre 4 : Calcul différentiel
• Déf 4.1 : fonction continue e.v.n (rappel)
• Thme 4.2 : Caractérisation séquentielle de la continuité
• Thme 4.3 : (rappel) f^-1(ouvert), f^-1(fermé), f(compacte)
• Thme 4.4 : somme de deux fonctions continues est continue
• Thme 4.5 : produit de deux fonctions continues dans R est continu
• Thme 4.6 : composition de deux fonctions continues est continue
• Thme 4.7 : normes équivalentes → même fonctions continues
• Thme 4.8 : projection dans dimension finie est continue
• Exemple : Déterminant
• Thme 4.9 : Applications linéaires: Sont équivalents : f continue / f continue dans 0 / f(B(0,1)) borné
• Cor 4.10 : Applications linéaires en dimension finie sont continues
• Déf 4.11 : Différentiable
• Déf 4.12 : Dérivée directionnelle

• Thme 4.14 Unicité de la différentielle
• Thme 4.15 Différentiable implique continue
• Preuve de 4.13
• Thme 4.16 (Composition de fonctions différentiables)
• Thme 4.17 (Combinaisons linéaires de fonctions différentiables)
• Déf + thme 4.18 (norme d'opérateur = norme subordonnée) trois formules
• Exemple : Dérivée directionnelle au point matrice identité dans la direction A égale la trace de A.

• Fiche 1: Normes
• Fiche 2: Topologie
• Fiche 3: Topologie_bis
• Fiche 4: Séries de fonctions
• Fiche 5: Séries de fonctions - Entraînement (pas sur le programme de kholles)
• Fiche 6: Séries entières 1
• Fiche 7: Séries entières 2
• Fiche 8: Continuité et calcul différentiel

• A: Tuna Altınel
• B: Nadine Badr
• C: Theresia Eisenkölbl

• A: Fiche 1: Exercices 1, 2, 3.5, 4.
• B: Fiche 1: Exercices 1,2, 3.1, 4.
• C: Fiche 1: Exercices 1, 2, 4

• A: Fiche 1: Exercices 3 (3.4 laissé comme exercice),5,6,7. Fiche 2: Exercice 1.
• B: Fiche 1: Exercices 3,5,6,7. Fiche 2: Exercice 1.
• C: Fiche 1: Exercices 3,5,6,7

• A : Fiche 2: Exercices 2 , 3, 4 (seulement R et R^2) , 7.1 .
• B :Fiche 2: Exercices 2 , 3, 4, 5.
• C : Fiche 2: Exercices 1, 2, 3, 4 (jusqu'à deuxième exemple de R^2)

• A : Fiche 2 finie. Fiche 3: exercices 2, 3.
• B : Fiche 2: exercice 7. Fiche 3: exercices 2, 3, 5.
• C : Fiche 2 : exercices 4, 7. Fiche 3 : exercices 2, 3, 5.

• A : Fiche 3 : exercices 4, 5. Fiche 4 : exercices 1 , 2 les deux premières séries.
• B :Fiche 3, Ex 1 (1 et 3). Fiche 4: Ex 1 à 4.
• C : Fiche 4 : exercices 1, 2, 5

• A : Fiche 4 terminée. Fiche 5 : exercices 1 à 3.
• B :Fiche 4 terminée. Fiche 5: Ex 1 à 4.
• C : Fiche 4 terminée.

• A : Fiche 5 terminée. Fiche 6 : exercice 1.1-1.5 .
• B :Fiche 5 terminée. Fiche 6 : exercice 1, 2, 3.
• C : Fiche 5 terminée. Fiche 6 : exercice 1 (sans 1.7), exercice 2, exercice 3.

• A : Fiche 6 terminée.
• B :
• C : Fiche 6: Ex: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (1.-3.)

• A : Fiche 7: Exercices 1-5.
• B : Fiche 7 terminée
• C : Fiche 6 terminée, Fiche 7 : Exercices 1-3

Partiel 2

Fiche 7 terminée

• A : Fiche 8 : Ex 1, 2, 3, 5, 6.1, 6.2 a,b, 8.
• B : Fiche 8 : Ex 1, 2, 3, 4, 5, 6.1, 6. 2 a,b, 7.
• C : Fiche 8 : Ex 1, 2, 3, 4.1, 5, 8, 10.

• CM 6, CM 7, CM 8/9, CM 10
• TD Fiche 6, TD Fiche 7, TD Fiche 8, Ex 1, 2, 3, 5

Groupes et dates de kholles: Tomuss

Salles de kholles

• K1 : Thémis 39 (sous-sol)
• K2 : Thémis 47 (sous-sol)
• K3 : Darwin C salle Caullery
• K4 : Omega D1

Theresia Eisenkoelbl eisenkoelbl@math.univ-lyon1.fr