Algèbre II - Algèbre linéaire - sequence 4

• 27 janvier : Chapitre 1 : Polynômes. 1. Définition et opérations : somme, produit, exemples. 2. Divisibilité : définition, division euclidienne, exemples, notion de polynôme irréductible. 3. Racines d'un polynôme : définition, relation avec l'irréductibilite. 4. Rappels pour les racines des polynômes de degré 2 (sur R ou C). 5. Décomposition en facteurs irréductibles sur R et sur C. 6. Formule de Taylor pour les polynômes.
• 3 février : Chapitre 2 : Fractions rationnelles sur R. Définition, éléménts simples, décomposition en éléments simples. Chapitre 3 : Calcul matriciel. 1. Définition : déf., exemples, matrices colonne, ligne, carrées, triangulaires. 2. Opérations : somme, produit par scalaire, multiplication, puissance d'une matrice carrée, transposée. Propriétés des opérations.
• 10 février : Chapitre 3 (suite). 3. Inverse d'une matrice, propriétés. Chapitre 4 : Systèmes d'équations linéaires. 1. Méthode du pivot de Gauss. 2. Matrices élémentaires.
• 17 février : Chapitre 4 (suite). 3. Calcul de l'inverse d'une matrice. Chapitre 5 : Déterminants. Définition. Propriétés.
• 2 mars : Chapitre 6 : Introduction aux espaces vectoriels. Exemples d'espaces vectoriels : R^n, espace de matrices, espaces de fonctions, espace de polynômes. Définition, propriétés. Sous-espaces vectoriels, exemples. Combinaison linéaire de vecteurs, espace engendré par un ensemble de vecteurs. Indépendance linéaire.
• 9 mars : Chapitre 7 : Bases et dimension. Définition d'une base, exemples. Coordonnées. Existence d'une base, compléter un ensemble de vecteurs l.i. en une base. Dimension.
• 23 mars : Chapitre 7 (suite). Espaces des colonnes et des lignes d'une matrice, rang comme dimension de cet espace. Theoreme du rang (sans preuve). Application : trouver une base pour un sous-espace donné. Opérations sur les sous-espaces : intersection, somme, somme directe, formule de Grassman. Méthode pour trouver un base pour l'intersection et la somme de deux sous-espaces.
• 30 mars : Chapitre 8 : Applications linéaires. Rappels sur les applications : injectivité, surjectivité, inverse. Définition d'une application linéaire, exemples. Matrice associée à une application linéaire dans des bases données.
• 6 avril : Chapitre 8 (suite). Matrice de changement de base, lien avec les matrices d'une application linéaire dans des bases différentes. Noyau et image d'une application linéaire, exemples.
• 13 avril : Chapitre 8 (suite). Lien avec l'injectivité et la surjectivité d'une app. linéaire. Notion d'isomorphisme. Espaces vectoriels isomorphes.

Fiche 1, Fiche 1(version 2 pages sur 1) Fiche 2,fiche 2(version 2 pages sur 1), Fiche 3, Fiche 3(version 2 pages sur 1), Fiche 4, Fiche 4(version 2 pages sur 1), Fiche 5, Fiche 6, Fiche 6(version 2 pages sur 1).

Six Contrôles Continus de vingt minutes toutes les deux semaines au début des TD (à partir du troisième) : 60%

Contrôle Final : 40%

François Liret et Dominique Martinais, Algèbre 1re année, Dunod.

Dans cette page vous trouverez les CCF des années passées ainsi que des exercices corrigés.

1. Polynômes sur R : degré, somme, produit, divisibilité, division euclidienne, racines, rappels pour le degré 2, décomposition en facteurs irréductibles sur R et sur C. Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles sur R.

2. Calcul matriciel : addition, produit, règles de calcul, définition des matrices inversibles, opérations élémentaires sur les lignes, méthode du pivot de Gauss, caractérisation des matrices inversibles et calcul de l'inverse, résolution de systèmes, calcul d'un déterminant par développement par ligne ou colonne pour montrer qu’une famille est une base et qu’une matrice est inversible.

3. Espaces vectoriels : définition, exemples, sous-espaces vectoriels de R^n, intersection, somme, somme directe, sous-espace engendré par une partie, combinaisons linéaires, familles libres, familles liées, bases, coordonnées, théorème de la base incomplète, formule de Grassmann.

4. Applications linéaires : définition, exemples (rotations du plan, projections, symétries par rapport à une droite ou un plan dans l'espace), noyau, image, théorème du rang (admis), matrice d'une application linéaire, changement de bases (exemples : projections, symétries).