Introduction aux bases de Gröbner et à leurs applications
Xavier Roblot (responsable du cours), Rouchdi Bahloul, Jean-Christophe Bénière, Thomas Blossier (chargés des TD et TP)
Organisation
Cours : lundi de 14h à 16h (Attention. 1er cours : vendredi 22 janvier de 10h à 12h – Amphi Lavoisier)
TD & TP : vendredi de 10h à 13h
2 CC de 1h durant le semestre comptant pour 20%
1 note de TP (travail à préparer en groupe et à présenter) comptant pour 20%
CF comptant pour 40%
Cours
Cours 1 (vendredi 22 janvier). Présentation du cours. Chapitre I. Définitions de groupe, corps et anneau (commutatifs). Division euclidienne dans Z. Anneaux euclidiens. Polynômes à une indéterminée (définitions de base).
Cours 2 (lundi 25 janvier). Division euclidienne et relation de Bezout pour les polynômes en une indéterminée. Rappels sur les racines d'un polynôme. Chapitre II. Définitions et notations pour les polynômes en plusieurs indéterminées. Ensembles algébriques affines. Union et intersection des ensembles algébriques affines. Définition d'idéal et d'idéal d'un ensemble algébrique affine.
Cours 3 (lundi 1 février). Idéaux de type fini. Relation entre idéaux et variétés affines. Chapitre III. Structures des idéaux d'un anneau euclidien. Théorème. Euclidien implique Principal. Idéaux de K[x]. PGCD et algorithme d'Euclide dans K[x]. Chapitre I. Relations d'ordre.
Cours 4 (lundi 8 février). Ordre total et bon ordre. Chapitre III. Ordres monomiaux. Ordres lexicographiques et lexicographiques gradués. Coefficient, terme et monôme de plus haut degré et multidegré d'un polynôme en plusieurs indéterminées.
Cours 5 (lundi 15 février). Algorithme de division en plusieurs indéterminées. Notions de réduction de f par g ou par une famille de polynômes F. Formes normales d'un polynôme modulo une famille de polynômes. Paire confluente. Chapitre IV. Idéaux monomiaux.
Cours 6 (lundi 7 mars). Lemme de Dickson. Théorème de la base de Hilbert avec corollaire : toute suite croissante d'idéaux est stationnaire ; V(I) est une variété affine pour tout idéal I. Définition de base de Gröbner. Existence et premières propriétés des bases de Gröbner.
Cours 7 (lundi 14 mars). Chapitre V. Paires critiques. S-polynômes. Liens entre paires critiques et S-polynômes. Critère de Buchberger.
Cours 8 (lundi 21 mars). Algorithme de Buchberger. Bases de Gröbner réduites.
Cours 9 (lundi 4 avril). Chapitre VI. Application des bases de Gröbner : description et le test d'appartenance à un idéal, résolution d'équations polynomiales, élimination de variables. Chapitre VII. Premier exemple de traduction d'un problème géométrique en un problème algébrique avec résolution par les bases de Gröbner.
Cours 10 (lundi 25 avril). Méthode générale pour la résolution d'un problème géométrique à l'aide des bases de Gröbner. Définition du radical d'un idéal et test d'appartenance au radical d'un idéal. Hypothèse implicite de générosité. Chapitre VIII. Application des bases de Gröbner au coloriage des cartes.