Analyse II- semestre de printemps 2014 (cours de L. Dupaigne)

Vos chargés de TD

• Isabelle Chalendar : groupe A
• Louis Dupaigne : groupe B
• Evrard Ngom : groupe C
• Léon Tine :groupe D

Prochaine interrogation : le 16 mai

intégrales I2, I3, I5 de l'exercice 1 de la feuille de TD 6 +

étudier la convergence et évaluer les intégrales généralisées suivantes

Sixième interrogation : le 25 avril

Cinquième interrogation : le 18 avril

• exos de TD 1,2,3 feuille 5 (première partie)
• exos de cours: calculer

Quatrième interrogation : le 4 avril

• Donner une condition suffisante pour qu'une fonction numérique f soit intégrable. Montrer que f(x) = exp(x) est intégrable sur [0,1] et calculer son intégrale
• Rappeler la définition d'une fonction uniformément continue. Montrer que f(x) = arctan(x) est uniformément continue sur R
• Montrer que f(x)=1/x n'est pas uniformément continue sur ]0,1]
• Exercices 1, 3, 5, 6 de la fiche 4

Troisième interrogation : le 21 mars

• calculer sin(0.1) avec une précision de deux chiffres après la virgule
• DL de 1/(1+x^2) à l'ordre n=5 en a=0
• DL de e^x cos(x) à l'ordre n=2 en a=0
• DL de tan x à l'ordre n=5 en a=0
• DL de arccos(x) à l'ordre n=3 en a=0
• DL de e^(ln(1+x)/x) à l'ordre n=2 en a=0
• DL de ln(x)/x^2 à l'ordre n=3 en a=1
• Exercices de TD 2, 4, 6 de la fiche 2 et 4, 6, 7 de la fiche 3

Seconde interrogation : le 28 février

• calcul des limites en -oo et +oo de a^x
• montrer que a^{-x}=1/a^x
• calcul des limites en 0 et +oo de x^a
• montrer que x^{a+b} = x^a x^b
• calcul de arcsin(sin 9π/4)
• Exercices de TD 10, 12, 14, 16, 19

Première interrogation : le 14 février

• démonstration de i^2=-1,
• formules de développement, de linéarisation, de factorisation, de duplication pour les fonctions sinus, cosinus et tangente et leur démonstration
• Calcul de la dérivée de sin(1+t^2)
• La fonction g:R^- → R^+ définie par g(t)=t^2 est bijective. Savoir le démontrer et calculer sa fonction réciproque.
• Exercices de TD 2, 4, 12, 5, 19

Ce qu'il faut retenir du onzième cours

• La définition des intégrales généralisées
• Le calcul effectif de celles-ci lorsque cela est possible
• Le théorème de comparaison et le critère de Riemann
• Les formules de calcul de la longueur d'une courbe, de l'aire et du volume d'un solide de révolution

Ce qu'il faut retenir du dixième cours

• intégration des fractions rationnelles: exemples pratiques
• intégration des fractions de fonctions circulaires (règles de Bioche)
• intégration des fractions de fonctions hyperboliques (chgt de var t=e^x)
• intégration des polynômes de fonctions circulaires (en distingant selon la parité des exposants)
• intégrales abéliennes de première espèce

Ce qu'il faut retenir du neuvième cours

• L'intégration par parties (choix des fonctions u' et v, utilisation itérée de la formule)
• Les changements de variable (forme implicite et directe)
• La décomposition en éléments simples des fractions rationnelles et le principe de leur intégration

Ce qu'il faut retenir du huitième cours

• les deux définitions équivalentes d'une fonction uniformément continue
• l'énoncé du théorème de Heine
• la définition d'une somme de Riemann et son usage pour calculer les intégrales de fonctions continues
• l'inégalité de Cauchy-Schwarz
• le théorème fondamental de l'analyse
• la formule de la moyenne
• les théorèmes de dérivation d'intégrales paramétrées

Ce qu'il faut retenir du septième cours

• Calculer l'aire sous une courbe par approximation par des rectangles
• définitions: subdivision (diamètre, plus fine), fonction en escalier, fonction intégrable, erreur uniforme
• propriétés élémentaires de l'intégrale des fonctions en escalier (linéarité, positivité, valeur absolue)
• toute fonction obtenue comme limite uniforme de fonctions en escalier est intégrable

Ce qu'il faut retenir du sixième cours

• savoir intégrer et composer des DL
• définition et calcul de développement limités généralisés en 0, en un point a, en +oo
• définition d'un équivalent
• équivalents fondamentaux
• lien entre équivalents et DL
• dangers des opérations sur les équivalents: addition et composition
• opérations licites sur les équivalents: produits, quotients, composition par le log ou l'exponentielle sous certaines hypothèses

Ce qu'il faut retenir du cinquième cours

• La formule de Taylor-Young
• La définition d'un petit o
• La définition d'un développement limité au point a à l'ordre n.
• Les propriétés élementaires des DL (DL de fonctions paires/impaires en a=0, DL à un ordre inférieur p<n)
• Les DL des fonctions usuelles en a=0 : 1/(1-x), ln(1+x), e^x, (1+x)^alpha, cos x, sin x, ch x, sh x
• Les opérations sur les petits o et les DL (somme, différence et produite de petits o, somme de deux DL, produit de deux DL en effectuant les calculs par puissance croissante, intégration et dérivation d'un DL, quotient de deux DL en utilisant la division euclidienne par puissance croissante)

Ce qu'il faut retenir du quatrième cours

• Les trois formulations du théorème des accroissements finis (géométrique, analytique et numérique)
• Les applications pour le calcul de la valeur approchée d'une fonction en un point, le calcul des limites et le critère de convexité des fonctions deux fois dérivables
• La notion de fonction de classe C^n
• La formule de Taylor-Lagrange
• L'application de cette formule au calcul de la valeur approchée d'une fonction en un point
• L'application de cette formule au développement limité de ln(1-x) et e^x en 0
• La définition d'un petit o.

Ce qu'il faut retenir du troisième cours

• Les graphes et les propriétés élémentaires de toutes les fonctions introduites: ln, exp, puissances des deux types, hyperboliques, trigonométriques réciproques
• Le calcul effectif des fonctions réciproques et de leurs dérivées

Ce qu'il faut retenir du second cours

• Les formules de calcul trigonométrique (calcul modulo pi et modulo pi sur deux, formules de développement, de linéarisation, de factorisation, de duplication), leurs preuves et leurs applications au calcul des primitives et des dérivées
• Connaître les trois définitions de la fonction tangente (dans le triangle, sur le cercle et via les nombres complexes) et savoir construire son graphe (domaine de définition, symétries, valeurs remarquables, dérivée, limite en pi sur deux)
• Savoir utiliser le théorème de dérivation des fonctions composées. Connaître les dérivées et primitives des fonctions t^n, n entier relatif
• Savoir trois définitions équivalentes d'une fonction injective (test des droites horizontales “au plus”, pour chaque y dans Y, il y au plus une solution x appartenant à X à l'équation f(x)=y, f(x)=f(x') implique x=x'), d'une fonction surjective. Connaître des exemples de fonctions injectives, de fonctions non injectives, de fonctions surjectives, de fonctions non surjectives, de fonctions bijectives
• Savoir la définition d'une fonction réciproque et savoir calculer la fonction réciproque pour des exemples simples.

Ce qu'il faut retenir du premier cours

• Savoir modéliser un signal à l'aide d'une fonction mathématique
• Connaître les opérations élémentaires sur les ondes : amplification, changement de fréquence, déphasage, superposition de deux ondes (et l'interprétation pratique pour le karaoké avec audacity). Savoir interpréter ces opérations sur les graphes.
• Connaître la définition d'une fonction et savoir utiliser le test des droites verticales
• Connaître les trois définitions du sinus (dans le triangle, sur le cercle et via les nombres complexes)
• Savoir trouver les propriétés de symétrie d'une fonction (périodique, paire/impaire, symétrie par rapport à un point ou à une droite verticale) et les interpréter en terme de graphe. Savoir construire en particulier le graphe du sinus et du cosinus
• Savoir la définition des nombres complexes, de leur addition et de leur multiplication, être capable de manipulations simples (en coordonnées algébriques et géométriques). Savoir démontrer que i^2=-1
• Savoir la définition de la dérivée d'une fonction
• Connaître la dérivée de l'exponentielle complexe et savoir ainsi retrouver la dérivée des fonctions sinus et cosinus

Fiche4.pdf

Fiche3.pdf

Fiche2.pdf

Fiche1.pdf

Avancement du groupe A :

• Fiche 1: exos 1, 2, 3, 4a), 4c), 6

Avancement du groupe B :

• Fiche 1: 1, 2ab, 3, 4abc, 6, 9, 10bd, 12a, 14a, 15bc, 18, 20
• Fiche 2: finie
• Fiche 3: presque finie

Avancement du groupe C :

• Fiche 1: 1, 2b, 3, 4a et c. 6, 8b, 9, 10b et d, 12a, 14a, 17
• Fiche 2: 1, 3, 5, 7

Avancement du groupe D :

• Fiche 1: exos 1, 2, 3, 4a), 4c), 6, 8c), 9, 10bd), 12a), 13, 14), 15bc), 17, 18, 20.
• Fiche 2: exos 1, 3, 5, 7
• Fiche 3: exos 1

Contrôle continu (soixante pourcents de la note finale) : il y aura huit interrogations écrites. Elles se déroulent durant les travaux dirigés et durent vingt-cinq minutes chacune. Chaque interrogation comporte une question de cours et un ou plusieurs exercices. Toutes les interrogations sont annoncées et toutes les questions sont données à l’avance (au sein d’une liste d'exercices à préparer). On garde les six meilleures notes. Le sujet et le barème sont communs aux quatre groupes.

Examen final (quarante pourcents de la note, probablement la semaine du 02/06).