Math II algèbre (printemps 2010)

Examen : notes du contrôle finale et note TD sur Tomuss à partir de mardi 22 au soir.

Calcul de la note finale : 24% CC1 + 15% CC2 + 15% CC3 + 6% TD + 40% CF

Consultation copies: vendredi 25 à 10h00, amphi Jordan.

• Feuille de TD : Polynômes 1–4, Fractions rationnelles 5–6, Espaces vectoriels 7–10, Applications linéaires 11–13, Matrices 14–19, Polynômes et espaces vectoriels 20–21, Déterminants 22–25.

• CC1 mardi 6 avril 2010 à 8h00 : SALLES Amphi 4 Déambulatoire, Amphi Jordan Braconnier.
• correction_cc1_printemps_2010_version_complete.pdf
• Séquence 2 : CC2 lundi 10 mai 2010 à 16h00 : SALLE Amphi Thémis 11.
• Séquence 4 : CC2 mercredi 12 mai 2010 à 9h00 (pendant le cours) : SALLE Amphi Ampère.
• Séquence 2 : CC3 vendredi 4 juin : 8h15 pendant les TDs.
• Séquence 4 : CC3 mercredi 2 juin de 9h00 à 9h45 : SALLE Amphi Ampère.

• Cours : Lundi 13h45 - 15h45, Amphi Thémis 11
• TD Groupe A avec DEJOU Gaëlle : Vendredi 8h15 - 11h30, salle Thémis 55
• TD Groupe B avec FALIHARIMALALA Hilarion : Vendredi 8h15 - 11h30, salle Thémis 57

• 0. Rappels
  • Définitions de groupe, anneau, anneau intègre
  • Corps commutatifs, exemples
• 1. Polynômes
  • Suites a support fini sur un anneau commutatif A; somme et produit de suites
  • Anneau des polynômes A[X]
  • Degré, degré de la somme et du produit de deux polynômes (cas A intègre ou non)
  • Division euclidienne, PGCD et identité de Bézout d'un nombre fini de polynômes
  • Polynômes irréductibles, lemme de Gauss, Théorème d'existence et unicité de la factorisation en irréductibles
  • Racines des polynômes, polynôme dérivé, racines multiples. Un polynôme de degré n sur un anneau intègre possède au plus n racines (contre-exemple dans un anneau pas intègre)
  • Factorisation dans C[X], polynôme scindé, polynôme conjugué.
  • Irréductibles et factorisation dans R[X].
  • Division selon les puissances croissantes.
  • Relations entre racines et coefficients.
  • Polynômes et fonctions polynomiales.
  • Le corps de fractions rationnelles : définition et construction comme ensemble quotient. Théorème de décomposition en éléments simples.
  • Solution du test d'autoévaluation sur les polynômes : 1-BD ; 2-AC ; 3-CE ; 4-BE ; 5-CD ; 6-AB ; 7-BE ; 8-AD ; 9-AE ; 10-CE.
• 2. Espaces vectoriels
  • Les vecteurs géométriques.
  • Définition d'espace vectoriel. Exemples.
  • Sous-espaces vectoriels. Droite et plan vectoriel.
  • Familles génératrices, libres, liées. Combinaisons linéaires.
  • Bases en dimension finie. Théorème d'existence. Théorème de la base incomplète.
  • Dimension. Toutes les bases ont le même cardinal.
  • Somme directe de deux et plusieurs sous-espaces.
  • Formule de Grassmann.
  • Bases en dimension infinie. Exemple : l'espace des polynômes K[X].
• 3. Applications linéaires
  • Définitions et exemples. L'espace vectoriel des applications linéaires.
  • Application linéaires et bases.
  • Noyau et injectivité.
  • Image et surjectivité.
  • La formule du rang. Critères de bijectivité.
• 4. Matrices
  • Définition et notations. Somme et produit de matrices.
  • L'espace vectoriel des matrices M_{m,n}(K). La base des matrices élémentaires.
  • L'anneau des matrices carrées M_n(K).
  • Matrices et applications linéaires. Matrice de la composée d'applications linéaires.
  • Matrices inversibles.
  • Changements de bases. La matrice de passage de base.
  • Matrices équivalentes et matrices semblables.
  • Rang et équivalence. Relation entre les différentes définitions de rang. Rang de la transposé.
• 5. Déterminants
  • Matrices transvections
  • Définition du déterminant. Matrices semblables ont même déterminant.
  • Une matrice A est inversible ssi det(A) est différent de 0.
  • Déterminant des matrices transvections et unicité du déterminant.
  • Opérations sur les colonnes et déterminants.
  • Développement d'un déterminants par rapport à une ligne ou une colonne.

• Cours : Mercredi 7h45 - 9h45, bât Lippmann Amphi Ampère
• TD Groupe A avec LAVAURS Pierre : Mercredi 10h - 11h30, bât Lippmann salle Ampère et 13h45 - 15h15, Préfa 13
• TD Groupe B avec SAVINIEN Jean : Mercredi 13h45 - 16h45, salle Omega I (sous-sol)

• 0. Rappels
  • Définitions d'anneau, anneau intègre, corps (commutatifs), exemples
  • Corps de fractions
• 1. Polynômes
  • Anneau des polynômes R[X], somme et du produit de deux polynômes
  • Degré d'un polynôme, degré de la somme et du produit
  • Division euclidienne, PGCD et identité de Bézout d'un nombre fini de polynômes
  • Polynômes irréductibles, lemme de Gauss, Théorème d'existence et unicité de la factorisation en irréductibles
  • Racines des polynômes, polynôme dérivé, racines multiples. Un polynome de degré n sur un anneau intègre possède au plus n racines (contre-exemple dans un anneau pas intègre et dans les quaternions)
  • Factorisation dans C[X], polynôme scindé
  • Irréductibles et factorisation dans R[X]
  • Division selon les puissances croissantes
  • Relations entre coefficients et racines d'un polynôme scindé, racines d'unité
  • Fractions rationnelles comme corps de fraction de K[X]
  • Décomposition en éléments simples
  • Polynômes et fonctions polynômiales
• 2. Espaces vectoriels
  • Définition d'espace vectoriel. Exemples
  • Combinaisons linéaires, espace engendré
  • Sous-espaces vectoriels
  • Familles génératrices, libres, liées, bases
  • Théorème d'existence des bases (extraction d'une famille generatrice, prolongement d'une famille libre) dans le cas de type fini
  • Bases comme famille génératrice minimale ou famille libre maximale. Existence dans le cas général (esquisse)
  • Base de monômes pour K[X]
  • Sous-espaces : somme, intersection, formule de Grassmann
  • Somme directe de plusieurs sous-espaces, espace supplémentaire d'un sous-espace
• 3. Applications linéaires
  • Définitions et exemples. L'espace vectoriel des applications linéaires.
  • Application linéaires et bases.
  • Noyau et injectivité, image et surjectivite
  • Liens entre injectivité et surjetivite d'une part, familles libres ou génératrices et leurs images d'autre part.
  • La formule du rang.
  • Critères de bijectivité.
• 4. Matrices
  • Définitions et notations ; opérations sur les matrices, produit matriciel.
  • Structure d'un espace véctoriel.
  • Associativité de la multiplication et distributivité sur l'addition.
  • Les matrices carrés comme anneau.
  • Matrices élémentaires comme base.
  • Matrices symétriques.
  • Matrices inversibles ; critères d'inversibilité.
  • Matrice associée à une application élémentaire ; dépendance des bases.
  • Changement de base ; matrice de passage.
  • Composition d'applications linéaires et matrices.
  • Matrices équivalentes et matrices semblables.
  • Rang et équivalence. Relation entre les différentes définitions de rang. Rang de la transposé.
• 5. Déterminants
  • Matrices transvections
  • Définition du déterminant. Matrices semblables ont même déterminant.
  • Une matrice A est inversible ssi det(A) est différent de 0.
  • Déterminant des matrices transvections et unicité du déterminant.
  • Opérations sur les colonnes et déterminants.
  • Développement d'un déterminants par rapport à une ligne ou une colonne.

Cours 1. Définition des polynômes sur un anneau. Somme, produit, composée. Degré d'un polynôme. Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Egalité de deux polynômes. Arithmétique des polynômes : diviseur, division euclidienne. PGCD de deux polynômes, de plusieurs polynômes. Début des polynômes irreductibles.

corrige_de_devoir_maison_1._polynomes.pdf

Cours 2. Polynômes irréductibles, décomposition d'un polynôme en produit de polynômes irréductibles. Racine d'un polynôme, factorisation par X-a. Racine multiple d'un polynôme (définition). Fonction polynômiale. Formule de Taylor et retour aux racines multiples d'un polynôme équivalence avec l'annulation des dérivées successives du polynôme. Théorème de D'Alembert-Gauss et décomposition d'un polynôme dans C[X], dans R[X]. Polynômes scindés. Division suivant les puissances croissantes.

Cours 3. Relation entre les racines d'un polynôme et ses coefficients. Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples.

corrige_de_devoir_maison_2_polynomes.pdf

Cours 4. Espace vectoriel R^n. Ensemble endendré par un système de vecteurs, sous-espace vectoriel.

Controle 1.

correction_de_devoir_surveille_1_printemps_2010.pdf

Cours 5. Sous-espaces vectoriels. Système générateur, système libre, bases, propriétés de ces systèmes. Matrices coordonnées. Espaces vectoriels R^n. Somme et intersection d'espace vectoriel. Dimension. Système libre maximaux et système générateur minimaux. Existence de base, théorème de la base incomplète. Définition de la dimension d'un espace vectoriel.

Cours 6. Formule de Grassmann. Somme directe de plusieurs sous-espace vectoriels, de deux sous-espaces vectoriels et les propriétés sur les dimensions et sur l'intersection dans ce dernier cas. Applications linéaires. Isomorphisme, endomorphisme, automorphisme. Restriction d'une application linéaire à un sous-espace vectoriel. La bijection réciproque d'un isomorphisme est linéaire. Image réciproque d'un espace vectoriel.

Cours 7. Noyau et injectivité, image et surjectivité. Formule du rang. Critère de bijectivité lorsque dim(E)=dim(F)

Cours 8. Définition d'une matrice. Somme, multiplication par un scalaire. Produit des matrices. Identité. Base de M(m,n)(K). Transposée d'une matrice, transposée d'un produit de matrices. Matrice d'une application linéaire. Relation entre les coordonnées de f(x), x et de la matrice de f. Matrice de fog. Matrices inversibles.

Cours 9. Matrices de passage. Théorème de changement de base. Contrôle 2

devoir_surveille_2_printemps_2010.pdf

Cours 10. Fin du théorème de changement de base. Déterminants. n-linéarité, alternance. Développement par rapport à une ligne ou une colonne.

correction_de_devoir_maison_3_printemps_2010.pdf

Cours 11. Fin des déterminants et contrôle continu 3

correction_de_devoir_surveille_3_printemps_2010.pdf