Semestre d'automne 2026-2027

Équipe pédagogique

Cours: Tuna Altınel (Bureau: Braconnier 221), Travaux dirigés : Amandine Escalier (groupe A), Rouchdi Bahloul (groupe B), Alexis Tchoudjem (groupe C).

Ressources pédagogiques

Informations pratiques

Emploi du temps
Modalité de contrôle des connaissances et de compétence

Programme

  1. Groupes
    1. Définition, notions et propriétés de base
    2. Exemples
    3. Groupes symétriques
  2. Sous-groupes
    1. Définition, caractérisations, exemples
    2. Relations d'équivalence, classes modulo un sous-groupe
    3. Théorème de Lagrange, applications
    4. Sous-groupes engendrés par un ensemble, générateurs
  3. Morphismes
    1. Définition
    2. Isomorphismes, automorphismes, exemples
    3. Noyau, sous-groupes distingués
    4. Les trois théorèmes d'isomorphisme
    5. Groupes simples, groupes alternés
  4. Action d'un groupe sur un ensemble
    1. Définition, stabilisateurs, orbites, le noyau d'une action, actions fidèles
    2. Action d'un groupe sur lui-même par multiplication, théorème de Cayley
    3. Action d'un groupe sur les classes d'un sous-groupe.
    4. Actions par conjugaison, normalisateurs, centralisateurs, le centre d'un groupe d'ordre p^n (p premier)
  5. Théorème de Sylow
    1. p-groupes, p-sous-groupes, la démostration du théorème
    2. Produit direct d'un nombre fini de sous-groupes d'un groupe
    3. Classifier les groupes finis
  6. Produits semi-directs
    1. Définition, exemples
    2. Produits semi-directs internes et externes
    3. Liens avec produits directs
  7. Groupes et géométrie

Avancement du cours

- 2 septembre (3h). Loi interne. La définition d'un groupe, propriétés de base. Groupes abéliens, notation additive. L'ordre d'un groupe, groupes finis. Exemples: groupes symétriques,(Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+), (Q^*,x), (R^*,x), (C^*,x), (Z/mZ,+), ((Z/pZ)^*,x), (GL_n(K), .), la somme directe d'un nombre fini de groupes. Les puissances d'un élément, l'ordre d'un élément. Le groupe symétrique en détail abordé: le support d'une permutation, la commutation de deux permutations de supports disjoints.

- 9 septembre (3h). La définition d'un k-cycle, les transpositions. La décomposition d'une permutation à support fini en un produit de cycles à supports disjoints. Toute permutation de S_n s'écrit comme un produit de transpositions. La conjugaison préserve la “forme” d'une permutation. Sous-groupes, caractérisations. Exemples de sous-groupes: le sous-groupe trivial, le groupe lui-même, le sous-groupe engendré par un élément, (Z,+) < (Q,+) < (R,+) < (C,+), SL_n(K)< GL_n(K), les sous-groupes de S_3, le centralisateur d'un élément, le centre d'un groupe. Morphismes, propriétés élémentaires.

- 16 septembre (3h). Le noyau d'un morphisme, la caractérisation des morphismes injectifs par le noyau. Exemples de morphismes. Méthodes élémentaires pour montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes. La signature d'une permutation. La parité d'une permutation. Le groupe alterné, A_n. Les classes modulo un sous-groupe. Les propriétés élémentaires des classes modulo un sous-groupe.

- 23 septembre (3h). Exemples de classes de sous-groupes, classes à gauche (ou à droite) modulo un sous-groupe vues comme les classes d'équivalence d'une relation d'équivalence. La bijection entre l'ensemble des classes à gauche et à droite, l'indice d'un sous-groupe. Le théorème de Lagrange. Sous-groupe engendré par un ensemble, générateurs. Sous-groupes distingués, exemples, caractérisations.

- 30 septembre (3h). Normalisateurs. Groupes quotients, exemples de groupes quotients. Les trois théorèmes d'isomorphisme. Qu'est-ce qu'un corps?

- 7 octobre (3h). Annulé

- 14 octobre (3h). Quelques remarques sur les groupes divisibles. Les groupes simples. Les groupes simples abéliens. Le groupe alterné A_n est simple si et seulement si n est différent de 4.

- 21 octobre (CP).

- 4 novembre (1,5h).

- 18 novembre (1,5h).

- 25 novembre (1,5h).

Feuilles de travaux dirigés

Avancement des travaux dirigés