Cours du 03/09/2025, révisions de première année. Notion d'espace vectoriel. Familles libres, génératrices et bases. Matrices, opérations : addition, multiplication et multiplication par un scalaire. Notion de matrice inversible. Matrice associée à une application linéaire. Matrice de changement de base, formules de changement de bases.
Cours du 17/09/2025, révisions de première année et groupe symétrique. Notion de sous-espace vectoriel, noyau et image d'une application linéaire, théorème du rang, somme et somme directe de sous-espaces vectoriels, algorithme pour calculer une base du noyau, de l'image d'un endomorphisme, d'une matrice. Groupe symétrique, définition, notion de transposition, de cycle.
Cours du 24/09/2025, Groupe symétrique et déterminants (début). Notion de groupe, de morphisme de groupe. Signature d'un élément, propriétés de la signature. Décomposition d'une permutation en produit de transposition. Signature d'une transposition. Définition du déterminant, premiers exemples. Calcul du déterminant d'une matrice triangulaire supérieure, déterminant par blocs. Calcul du déterminant de la transposée d'une matrice. Linéarité du déterminant par rapport à une colonne. Comportement du déterminant par permutation de colonnes.
Cours du 01/10/2025, Déterminants (fin). Comportement du déterminant par permutation de lignes ou de colonnes. Opérations sur les lignes ou les colonnes d'un déterminant. Calcul du déterminant par développement le long d'une ligne ou d'une colonne. Propriété de multiplicativité du déterminant. Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice carré au moyen du déterminant (démonstration à connaître). Déterminant de l'inverse. Formule de Cramer.
Cours du 08/10/2025, Réduction. Déterminant d'une famille de n vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n, caractérisation de la liberté en terme du déterminant. Interprétation en termes d'aire et de volume. Notions de vecteurs propres, valeurs propres, spectre, sous-espaces propres, pour un endomorphisme et pour une matrice.Polynôme caractéristique d'un endomorphisme en dimension finie, d'une matrice. Caractérisation des valeurs propres comme racines du polynôme caractéristique.
Cours du 15/10/2025, Réduction. Influence du corps des scalaires. Endomorphismes diagonalisables, définition, interprétation matricielle. Indépendance linéaire des vecteurs propres, des sous-espaces propres, conséquences.
Cours du 22/10/2025, réduction, applications de la réduction. Critère de diagonalisation : un endomorphisme/une matrice est diagonalisable si et seulement la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace. Une matrice carrée de taille ayant n valeurs propres distinctes est diagonalisable. Puissances d'une matrice diagonalisable. Résolution des systèmes de suites récurrentes linéaires (dans le cas diagonalisable). Résolution des systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants (dans le cas diagonalisable).
Cours du 05/11, Notion de sous-espace stable. Si f et g commutent, le noyau et l'image de g sont stables par f. Sous-espace stable, interprétation matricielle en termes de matrice par blocs. Rappels sur les polynômes. Polynômes d'endomorphismes et de matrices.
Cours du 19/11, Polynôme minimal, trigonalisation. Existence, unicité et propriétés du polynôme minimal d'un endomorphisme, d'une matrice. Lemme des noyaux. Critère de diagonalisabilité : f est diagonalisable ssi f est annulé par un polynôme scindé à racines simples ssi le polynôme minimal est scindé à racines simples. Racines du polynôme minimal. Notion d'endomorphisme et matrice trigonalisables. Critère de trigonalisation via le polynôme caractéristique. Théorème de Cayley–Hamilton. Sous-espaces caractéristiques. Multiplicités algébriques et géométriques d'un endomorphisme.